Definizione Insiemistica dei Numeri Naturali
Ciao a tutti,
Inizio questo thread citando un paragrafo da Wikipedia:
"[...] Specifically, there are at least four points:
Zero is defined to be the number of things satisfying a condition which is satisfied in no case. It is not clear that a great deal of progress has been made.
It would be quite a challenge to enumerate the instances where Russell (or anyone else reading the definition out loud) refers to "an object" or "the class", phrases which are incomprehensible if one does not know that the speaker is speaking of one thing and one thing only.
The use of the concept of a relation, of any sort, presupposes the concept of two. For the idea of a relation is incomprehensible without the idea of two terms; that they must be two and only two. [...]"
Mi chiedo se sia possibile dare una definizione di ciascun numero naturale, semplicemente assumendo "1", "2" quali nozioni primitive assieme al concetto di insieme e alla relazione primitiva di "appartenenza".
Ad esempio ponendo 3={1,2}, 4={1, {1,2}} e così via.
Grazie in anticipo
Daniele
Inizio questo thread citando un paragrafo da Wikipedia:
"[...] Specifically, there are at least four points:
Zero is defined to be the number of things satisfying a condition which is satisfied in no case. It is not clear that a great deal of progress has been made.
It would be quite a challenge to enumerate the instances where Russell (or anyone else reading the definition out loud) refers to "an object" or "the class", phrases which are incomprehensible if one does not know that the speaker is speaking of one thing and one thing only.
The use of the concept of a relation, of any sort, presupposes the concept of two. For the idea of a relation is incomprehensible without the idea of two terms; that they must be two and only two. [...]"
Mi chiedo se sia possibile dare una definizione di ciascun numero naturale, semplicemente assumendo "1", "2" quali nozioni primitive assieme al concetto di insieme e alla relazione primitiva di "appartenenza".
Ad esempio ponendo 3={1,2}, 4={1, {1,2}} e così via.
Grazie in anticipo
Daniele
Risposte
Non occorre assumere \( 1 \) e \( 2 \) come nozioni primitive: nell'ambito di una Teoria Assiomatica degli Insiemi le uniche nozioni primitive sono il concetto di insieme e la relazione di appartenenza. Posto ciò, il modello di \( \mathbb{N} \) che se ne ricava prevede proprio che ciascun numero naturale sia l'insieme dei suoi predecessori.
Grazie per la risposta! Che spiegazione daresti ai tre punti sopracitati?
Quali tre punti?
Intendevo le tre istanze citate da Wikipedia all'inizio del primo messaggio...
Non riesco a trovare su Wikipedia l'articolo dal quale hai estratto quei tre punti. Me lo linki per favore?
@anto_zoolander
Grazie
@Tellegen
Quelle citate da Wikipedia sono alcune delle argomentazioni portate "contro" il riduzionismo insiemistico e segnatamente tendono a porre il evidenza il fatto che la definizione/riduzione insiemistica dei numeri naturali di fatto non chiarisce cosa siano i numeri naturali da un punto di vista ontologico, sicché se è a ciò che si è interessati, la riduzione insiemistica dei numeri naturali non può essere considerata una "definizione" dei numeri naturali e di conseguenza la teoria che li riguarda nell'ambito della Teoria degli Insiemi non può essere considerata una Teoria dei Numeri.
Stiamo parlando di questioni che propriamente appartengono alla Filosofia Matematica e in generale alla Filosofia della Scienza.
Grazie
@Tellegen
Quelle citate da Wikipedia sono alcune delle argomentazioni portate "contro" il riduzionismo insiemistico e segnatamente tendono a porre il evidenza il fatto che la definizione/riduzione insiemistica dei numeri naturali di fatto non chiarisce cosa siano i numeri naturali da un punto di vista ontologico, sicché se è a ciò che si è interessati, la riduzione insiemistica dei numeri naturali non può essere considerata una "definizione" dei numeri naturali e di conseguenza la teoria che li riguarda nell'ambito della Teoria degli Insiemi non può essere considerata una Teoria dei Numeri.
Stiamo parlando di questioni che propriamente appartengono alla Filosofia Matematica e in generale alla Filosofia della Scienza.
Eccomi e grazie per aver linkato la pagina 
. Appunto dicevo che non sembra che la teoria degli insiemi preceda quella dei numeri. Mi sembra peró che assumendo "1" e "2" quali concetti base, questa circolarità possa essere evitata. Anzi, i problemi citati su Wikipedia non avrebbero ragione di essere e sarebbe possibile dare una definizione rigorosa dei naturali da 3 in poi.
. Appunto dicevo che non sembra che la teoria degli insiemi preceda quella dei numeri. Mi sembra peró che assumendo "1" e "2" quali concetti base, questa circolarità possa essere evitata. Anzi, i problemi citati su Wikipedia non avrebbero ragione di essere e sarebbe possibile dare una definizione rigorosa dei naturali da 3 in poi.
E una volta assunti \( 1 \) e \( 2 \) come concetti base, quale sarebbe la natura ontologica dei numeri naturali?
Perché la definizione insiemistica dei numeri naturali non sarebbe rigorosa? Sotto quale aspetto mancherebbe di rigore?
Perché la definizione insiemistica dei numeri naturali non sarebbe rigorosa? Sotto quale aspetto mancherebbe di rigore?
Ti porto come esempio la definizione del numero "1" nella costruzione usuale. Si pone 1={{}}, ma il significato stesso di "1" giace alla base di "insieme che contiene uno ed un solo elemento". Una situazione simile accade con il numero "2": se si scrive 2={{},{{}}} implicitamente si ammette il concetto di "insieme che contiene esattamente due elementi". Dal numero 3 in poi, ammettendo 1 e 2, questa cosa non succede in quanto ogni numero può essere scritto come insieme contenente 2 elementi.
Probabilmente mi sono espresso male: la definizione usuale dei Numeri Naturali è rigorosa ovviamente, ma cade in "circolarità" ogni qualvolta si usa la parola "uno" o "due" prima di averli effettivamente definiti.
Tra gli assiomi di Peano troviamo l' "assioma del numero successivo", l'esistenza di una funzione che ad ogni numero associa il seguente. Di nuovo il concetto di funzione si fonda sul concetto di coppia il quale a sua volta prescinde quello di "2".
Scrivo senza presunzione, sia chiaro, vorrei solo capire dove sbaglio nel mio ragionamento. Grazie ancora!
Probabilmente mi sono espresso male: la definizione usuale dei Numeri Naturali è rigorosa ovviamente, ma cade in "circolarità" ogni qualvolta si usa la parola "uno" o "due" prima di averli effettivamente definiti.
Tra gli assiomi di Peano troviamo l' "assioma del numero successivo", l'esistenza di una funzione che ad ogni numero associa il seguente. Di nuovo il concetto di funzione si fonda sul concetto di coppia il quale a sua volta prescinde quello di "2".
Scrivo senza presunzione, sia chiaro, vorrei solo capire dove sbaglio nel mio ragionamento. Grazie ancora!
"Tellegen":
Ciao a tutti,
Mi chiedo se sia possibile dare una definizione di ciascun numero naturale, semplicemente assumendo "1", "2" quali nozioni primitive assieme al concetto di insieme e alla relazione primitiva di "appartenenza".
Ad esempio ponendo 3={1,2}, 4={1, {1,2}} e così via.
Grazie in anticipo
Daniele
Se vuoi definire i naturali insiemisticamente allora tutto deve essere insieme (o almeno klasse), perciò anche 1 e 2 devono essere insiemi, e se tali sono, quando dici "concetti primitivi" per gli insiemi 1 e 2 intendi dire che non sono successori di nessun altro insieme preso nel tuo modello di naturali? Se si, sembra quasi un assurdo qualora 1 e 2 sono non uguali (se sono uguali lascio a te le conclusioni)!
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No, è esattamente ció che non voglio fare. Voglio invece fornire una definizione formale dei numeri naturali da 3 compreso in poi. Tutto questo assumendo l'esistenza di due elementi, 1 e 2. Nel mio ragionamento la teoria degli insiemi non precede quella dei numeri, anzi l'esistenza dei primi due naturali è data.
In particolare: Esistono due numeri naturali, "1" e "2".
3={1,2}
4={1,3}
5={1,4}
.
.
.
In questo contesto ogni numero da 3 compreso in poi è definito come un insieme avente esattamente due elementi.
In particolare: Esistono due numeri naturali, "1" e "2".
3={1,2}
4={1,3}
5={1,4}
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In questo contesto ogni numero da 3 compreso in poi è definito come un insieme avente esattamente due elementi.
Postulata l'esistenza del numero "2" (con tutto il suo significato) è quindi possibile definire il concetto di coppia ordinata (ad esempio avvalendosi della definizione di Kouratowski) e conseguentemente quello di funzione. Ora si tratta di comporre la funzione successore ponendo:
s(1)=2
s(n)={1,n} se n è diverso da 1
s(1)=2
s(n)={1,n} se n è diverso da 1
"Tellegen":
Voglio invece fornire una definizione formale dei numeri naturali da 3 compreso in poi. Tutto questo assumendo l'esistenza di due elementi, 1 e 2. Nel mio ragionamento la teoria degli insiemi non precede quella dei numeri, anzi l'esistenza dei primi due naturali è data.
In particolare: Esistono due numeri naturali, "1" e "2".
3={1,2}
4={1,3}
5={1,4}
.
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In questo contesto ogni numero da 3 compreso in poi è definito come un insieme avente esattamente due elementi.
quindi 3,4,5,.. sono insiemi, 1 e 2 invece non lo sono? Devono esserlo in qualche modo sennó facciamo insalate.. che poi perché non definire anche 2={1,1} e 1={1,0}...e fai partire tutto da 0
"Tellegen":
Postulata l'esistenza del numero "2" (con tutto il suo significato) è quindi possibile definire il concetto di coppia ordinata (ad esempio avvalendosi della definizione di Kouratowski) e conseguentemente quello di funzione. Ora si tratta di comporre la funzione successore ponendo:
s(1)=2
s(n)={1,n} se n è diverso da 1
nella tua funzione successore mi spieghi come definisci l´ordine o la disuguaglianza o uguaglianza? Cosa é per te una funzione? Cosa é una coppia (ordinata)? Sono tutti concetti che prendi aldifuori dell´insiemistica?
P.S.= leggi qui
Non capisco perchè anche "1" e "2" debbano essere insiemi. Mi sembra tutto coerente...
Non definisco 2={1,1} e 1={1,0} per un motivo analogo a quanto riferito nel messaggio precedente: non posso scrivere che "1" e "2" sono insiemi di 2 elementi se "2" non è ancora stato definito.
Per quanto riguarda la seconda obiezione è presto detto: dati 2 elementi distinti a, b definisco "coppia ordinata di primo elemento a e secondo elemento b" l'insieme {{a}, {a,b}}.
A questo punto dati 2 insiemi A, B definisco "funzione di dominio A e codominio B" un sottoinsieme (con le usuali proprietà) del prodotto cartesiano AxB i cui elementi sono esattamente le coppie definite sopra.
Da notare che tutte le definizioni date implicitamente richiamano il concetto di "2".
Non definisco 2={1,1} e 1={1,0} per un motivo analogo a quanto riferito nel messaggio precedente: non posso scrivere che "1" e "2" sono insiemi di 2 elementi se "2" non è ancora stato definito.
Per quanto riguarda la seconda obiezione è presto detto: dati 2 elementi distinti a, b definisco "coppia ordinata di primo elemento a e secondo elemento b" l'insieme {{a}, {a,b}}.
A questo punto dati 2 insiemi A, B definisco "funzione di dominio A e codominio B" un sottoinsieme (con le usuali proprietà) del prodotto cartesiano AxB i cui elementi sono esattamente le coppie definite sopra.
Da notare che tutte le definizioni date implicitamente richiamano il concetto di "2".
Ho letto quanto riportato nella pagina che hai linkato, ma di nuovo non comprendo come si possa parlare di funzione successore se prima non si sia definito il concetto di "coppia" o equivalentemente introdotto il numero "2". Non credo che questa domanda possa avere risposta, semplicemente mi sembra ragionevole assumere 1 e 2 quali elementi di partenza (senza darne definizione) e costruire senza patemi tutto il resto.
"Tellegen":
Ho letto quanto riportato nella pagina che hai linkato, ma di nuovo non comprendo come si possa parlare di funzione successore se prima non si sia definito il concetto di "coppia" ...
Ma perché ?
Una funzione mette in relazione un oggetto con un altro. Punto. La coppia ce la vedi tu a "posteriori" ma non viene ne "nominata" ne "sottintesa" (e nemmeno il numero due ...). E semplicemente con questa relazione costruisci i naturali, col successore del successore del successore ... ad libitum ...
Cordialmente, Alex
"Tellegen":
Non definisco 2={1,1} e 1={1,0} per un motivo analogo a quanto riferito nel messaggio precedente: non posso scrivere che "1" e "2" sono insiemi di 2 elementi se "2" non è ancora stato definito.
peró ammetti l´esistenza di due elementi (senza avere definito cosa é quel due[nota]cosa facciamo, metamatematica?[/nota], o due non é inteso in quel caso come "2"?), cioé 1 e 2. Che poi, insiemi di 2 elementi significa, se vogliamo essere formali, insiemi di cardinalitá 2 ed é tutta un´altra storia..
divertiamo lo stesso a farci del male
, vediamo cosa esce fuori 
sperando di non fare errori dato l´orario. Wie dem auch[nota]comunque sia[/nota], seguendo il tuo modo di ragionare, possiamo ammettere che esiste l´insieme \(\emptyset \) e definiamo \(\overline{\emptyset}\), definiamo ora la seguente:\begin{align*}
3&= \left \{ \overline{\emptyset}, \emptyset\right \} \\
4&= \left \{ \left \{ \emptyset,\overline{\emptyset} \right \}, \emptyset \right \}\\
5&= \left \{ \left \{ \left \{ \emptyset,\overline{\emptyset} \right \}, \emptyset \right \}, \emptyset \right \}\\
6&= \left \{ \left \{ \left \{ \left \{ \emptyset,\overline{\emptyset} \right \}, \emptyset \right \}, \emptyset \right \}, \emptyset \right \}\\
\vdots \\
n&= \left \{ \underbrace{\left \{ \left \{ \left \{ \left \{ \cdots \left \{\emptyset,\overline{\emptyset} \right \}, \emptyset \right \}, \emptyset \right \}, \emptyset \right \}\cdots \right \}}_{n-1}, \emptyset \right \}
\end{align*} alla fine ti accorgi o ti poni di avere \(1=\emptyset\) e \(2=\overline{\emptyset}\) ergo non sono definiti ne come coppia ne come singoletto e tutti gli \(n> 2\) sono definiti usando una coppia (proprio come volevi), ed la tua funzione successore sarebbe: $$S(n)=\begin{cases}
2& \text{ if } n=1 \\
\{n,1\}& \text{ if } n\geq 2
\end{cases}$$$$\text{ con } \nexists n:(S(n)=1)$$ ti piace cosí?
p.s.=perché il tuo modo di prima, ovvero:
"Tellegen":non andava bene? Semplice, per me non ha significato alcuno, vedo solo stringhe di simboli proprio perché \(1\) e \(2\) sono primitivi ergo su di loro non sappiamo niente, ho cercato di formalizzare dando un po di significato
In particolare: Esistono due numeri naturali, "1" e "2".
3={1,2}
4={1,3}
5={1,4}
.
.
.
"garnak.olegovitc":
... cosa facciamo, metamatematica?
Precisamente.
La discussione è molto interessante e come ho già detto è una discussione che riguarda la Filosofia della Matematica perché il problema è la definizione ontologica del concetto di numero.
Le obiezioni mosse da Tellegen sono pienamente legittime, il problema è che state affrontando la discussione mettendo assieme problemi di Filosofia della Matematica con problemi matematici veri e propri. Come ho già detto prima.
Vi lascio con questo spunto di riflessione.
Mi pare che tutti quanti in questo topic sappiamo che il concetto di coppia ordinata si definisce secondo Kuratowski con la posizione \( \left ( a, b \right ) := \left \{ \left \{ a \right \}, \left \{ a, b \right \} \right \} \).
Bene:
1. tale definizione di coppia ordinata non è l'unica possibile, è quella più diffusa semplicemente perché è quella più "pratica" da usare;
2. tale definizione di coppia ordinata non chiarisce, in verità, quale sia la natura ontologica del concetto di coppia ordinata, i.e. da un punto di vista ontologico non è una definizione di cosa sia una coppia ordinata.
"G.D.":
[quote="garnak.olegovitc"]
... cosa facciamo, metamatematica?
Precisamente.
[/quote] lo avevo intuito..
e da parte mia trovo il topic interessante poiché mi diverte a fare/pensare cose un po fuori i canoni o i standard. Ho letto tardi il tuo messaggio mentre editavo il mio di prima ed anzi mi piacerebbe avere qualche parere da un matematico (io purtroppo non lo sono) se la soluzione é almeno costruita correttamente (ovviamente non ci interrroghiamo su cosa sia il complementare del vuoto \(\overline{\emptyset}\) , ci affidiamo all´intuizione[nota]e ce ne vuole intuizione[/nota] cantoriana 
al di fuori di una qualsiasi assiomatica degli insiemi 
), peró ho cercato, o almeno spero, di fare o di ragionare come l´autore del post..
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