Definizione gruppo di Galois
x@hydro.
Ho aperto un nuovo post qui, in quanto per un problema tecnico non riesco a rispondere nel precedente!
Sia $E//F$ estensione di campi.
Allora il gruppo di Galois di $E//F$ é l'insieme di tutti gli automorfismi di $E$ che lasciano fisso ogni elemento di $F$. Giusto?
Ho aperto un nuovo post qui, in quanto per un problema tecnico non riesco a rispondere nel precedente!
Sia $E//F$ estensione di campi.
Allora il gruppo di Galois di $E//F$ é l'insieme di tutti gli automorfismi di $E$ che lasciano fisso ogni elemento di $F$. Giusto?
Risposte
No. Devi aggiungere tra le ipotesi che $E/F$ sia normale e separabile.
Ma no, non c'è bisogno, il gruppo di Galois è quello.
Sia $p(x)$ un polinomio irriducibile in $Q$, insieme dei razionali, ed $E$il campo di spezzamento delle sue radici, la proposizione afferma che $[E]=|Gal(p(x)|$, non mi sembra tanto intuitiva,vorrei provare a di mostrarla ma non so neanche come iniziare.
"otta96":
Ma no, non c'è bisogno, il gruppo di Galois è quello.
non secondo la nomenclatura standard che si usa in letteratura. Quello e’ il gruppo degli automorfismi di \(E/F\), il gruppo di Galois e’ definito solo per estensioni di Galois.
"francicko":
Sia $ p(x) $ un polinomio irriducibile in $ Q $, insieme dei razionali, ed $ E $il campo di spezzamento delle sue radici, la proposizione afferma che $ [E]=|Gal(p(x)| $, non mi sembra tanto intuitiva,vorrei provare a di mostrarla ma non so neanche come iniziare.
Rinnovo la domanda, conosci la definizione di gruppo di Galois di un polinomio?
"hydro":
non secondo la nomenclatura standard che si usa in letteratura. Quello e’ il gruppo degli automorfismi di \(E/F\), il gruppo di Galois e’ definito solo per estensioni di Galois.
Sinceramente lo ignoravo, a me lo avevano definito per ogni estensione di campo, ora lo so, meglio così.
Sia $p(x) $ un polinomio a coefficienti razionali, e radici complesse $alpha_1,alpha_2,...,alpha_n$, si definisce gruppo di Galois del polinomio $p(x)$ il sottogruppo di $S_n$ costituito da tutte quelle permutazioni che lasciano invariate le relazioni delle radici a valori in $Q$; giusto?
"francicko":No, non ci sei andato neanche lontanamente vicino, purtroppo.
Sia $p(x) $ un polinomio a coefficienti razionali, e radici complesse $alpha_1,alpha_2,...,alpha_n$, si definisce gruppo di Galois del polinomio $p(x)$ il sottogruppo di $S_n$ costituito da tutte quelle permutazioni che lasciano invariate le relazioni delle radici a valori in $Q$; giusto?
"francicko":
vorrei provare a di mostrarla ma non so neanche come iniziare.
Tra l'altro vorrei capire una cosa: ma non pensi che il fatto che tu non sappia neanche come iniziare possa voler dire che vuoi fare una cosa troppo oltre al tuo livello?
[ot]
Sinceramente lo ignoravo, a me lo avevano definito per ogni estensione di campo, ora lo so, meglio così.[/quote]
Cose da non dormirci la notte...
[/ot]
"otta96":
[quote="hydro"]non secondo la nomenclatura standard che si usa in letteratura. Quello e’ il gruppo degli automorfismi di \(E/F\), il gruppo di Galois e’ definito solo per estensioni di Galois.
Sinceramente lo ignoravo, a me lo avevano definito per ogni estensione di campo, ora lo so, meglio così.[/quote]
Cose da non dormirci la notte...
[/ot]
Sia $p(x)$ un polinomio a coefficienti razionali con radici complesse $alpha_1,alpha_2,....,alpha_n$, si definisce gruppo di Galois, il sottogruppo di $S_n$ costituito da tutte quelle permutazioni $sigma$ con la proprietà che, per ogni funzione razionale $h(X_1,...,X_n) $ $in$ $Q(X_1,...X_n)$ si ha:
$h(alpha_1,...,alpha_n)$ $=h(alpha_(sigma_1) ,...alpha_(sigma_n)) $ se e solo se $h(alpha_1,...alpha_n)$ $in$ $Q$
Questa definizione è tratta da un testo, ed è, stando a quanto riporta il testo, quella fornita originariamente dallo stesso Galois.
$h(alpha_1,...,alpha_n)$ $=h(alpha_(sigma_1) ,...alpha_(sigma_n)) $ se e solo se $h(alpha_1,...alpha_n)$ $in$ $Q$
Questa definizione è tratta da un testo, ed è, stando a quanto riporta il testo, quella fornita originariamente dallo stesso Galois.
"francicko":Secondo questa definizione la permutazione identità $sigma=1$ (cioè quella definita da $sigma(i)=i$ per ogni $i=1,...,n$) non appartiene al gruppo di Galois, perché evidentemente in generale non è vero che $h(alpha_1,...,alpha_n) in QQ$ per ogni $h(X_1,...,X_n) in QQ(X_1,...,X_n)$. Infatti se scegliamo $h(X_1,...,X_n)=X_i$ per un fissato $i in {1,...,n}$ otteniamo che dovrebbe essere $alpha_i in QQ$, che in generale è falso.
Sia $p(x)$ un polinomio a coefficienti razionali con radici complesse $alpha_1,alpha_2,....,alpha_n$, si definisce gruppo di Galois, il sottogruppo di $S_n$ costituito da tutte quelle permutazioni $sigma$ con la proprietà che, per ogni funzione razionale $h(X_1,...,X_n) $ $in$ $Q(X_1,...X_n)$ si ha:
$h(alpha_1,...,alpha_n)$ $=h(alpha_(sigma_1) ,...alpha_(sigma_n)) $ se e solo se $h(alpha_1,...alpha_n)$ $in$ $Q$
Questa definizione è tratta da un testo, ed è, stando a quanto riporta il testo, quella fornita originariamente dallo stesso Galois.
D'altra parte perché $G$ sia sottogruppo di $S_n$ deve come minimo contenere la permutazione identità (per definizione di sottogruppo).
Io ci starei molto attento. Da che testo l'hai presa?
La definizione è tratta da un estratto dal testo del libro "Teoria delle equazioni e Teoria di Galois" di Stefania Gabelli.
Hai ragione, ho mandato una email a Stefania Gabelli chiedendo delucidazioni. Grazie.
Se un polinomio di terzo grado irriducibile in $Q$ ha una radice reale e due complesse non reali, il gruppo di Galois consta solo di due permutazioni, quella identica, e quella che fissa la fissa la radice reale, e scambia tra loro le radici complesse, quindi risulta essere $S_2$.
Ora nel caso abbia tre radici reali distinte, le permutazioni ammissibili dovrebbero essere tutte quindi $6$ ed il gruppo di Galois risulta $S_3$ giusto?
Ora consideriamo il seguente polinomio $p(x) =x^3 +3x^2-1$ irriducibile in $Q$, dal punto di vista analitico si deduce facilmente che ha tutte e tre le radici appartenenti al campo dei numeri reali $R$, quindi tutte reali, le indichiamo con $alpha_1,alpha_2,alpha_3$, sia $E=Q(alpha_1,alpha_2,alpha_3)$ il campo di spezzamento, trovare una base vettoriale dello spazio $E//Q$, potete darmi qualche delucidazione?
Grazie!
Ora nel caso abbia tre radici reali distinte, le permutazioni ammissibili dovrebbero essere tutte quindi $6$ ed il gruppo di Galois risulta $S_3$ giusto?
Ora consideriamo il seguente polinomio $p(x) =x^3 +3x^2-1$ irriducibile in $Q$, dal punto di vista analitico si deduce facilmente che ha tutte e tre le radici appartenenti al campo dei numeri reali $R$, quindi tutte reali, le indichiamo con $alpha_1,alpha_2,alpha_3$, sia $E=Q(alpha_1,alpha_2,alpha_3)$ il campo di spezzamento, trovare una base vettoriale dello spazio $E//Q$, potete darmi qualche delucidazione?
Grazie!
"francicko":Neanche per idea. Il gruppo di Galois su $QQ$ di un polinomio irriducibile su $QQ$ e di grado $3$ è $A_3$ se il discriminante è un quadrato in $QQ$, e $S_3$ altrimenti. Ne avevamo già parlato. Ho l'impressione che dopo che parliamo di qualcosa fai un reset mentale.
Se un polinomio di terzo grado irriducibile in $Q$ ha una radice reale e due complesse non reali, il gruppo di Galois consta solo di due permutazioni, quella identica, e quella che fissa la fissa la radice reale, e scambia tra loro le radici complesse, quindi risulta essere $S_2$.
Ora nel caso abbia tre radici reali distinte, le permutazioni ammissibili dovrebbero essere tutte quindi $6$ ed il gruppo di Galois risulta $S_3$ giusto?No. Dipende dal discriminante.
Ora consideriamo il seguente polinomio $p(x) =x^3 +3x^2-1$ irriducibile in $Q$, dal punto di vista analitico si deduce facilmente che ha tutte e tre le radici appartenenti al campo dei numeri reali $R$, quindi tutte reali, le indichiamo con $alpha_1,alpha_2,alpha_3$, sia $E=Q(alpha_1,alpha_2,alpha_3)$ il campo di spezzamento, trovare una base vettoriale dello spazio $E//Q$, potete darmi qualche delucidazione?Hai calcolato il discriminante?
Grazie!
"Martino":Neanche per idea. Il gruppo di Galois su $QQ$ di un polinomio irriducibile su $QQ$ e di grado $3$ è $A_3$ se il discriminante è un quadrato in $QQ$, e $S_3$ altrimenti. Ne avevamo già parlato. Ho l'impressione che dopo che parliamo di qualcosa fai un reset mentale.
[quote="francicko"]Se un polinomio di terzo grado irriducibile in $Q$ ha una radice reale e due complesse non reali, il gruppo di Galois consta solo di due permutazioni, quella identica, e quella che fissa la fissa la radice reale, e scambia tra loro le radici complesse, quindi risulta essere $S_2$.
[/quote]
Gliel'ho ripetuto almeno in 2 post differenti. Mi sembra una battaglia persa.
x@hydro,chiedo scusa hai ragione!!
Abbiate pazienza Sto facendo uno sforzo non indifferente per capire,e molte volte mi creo delle idee, che poi si rivelano errate!
Sono partito dal polinomio $x^3 - 2$ perché a mio parere era un esempio chiave, in cui si vede bene la completa simmetria tra le radici, visto che nel piano complesso possono essere rappresentate ai vertici di un triangolo equilatero, pertanto completamente interscambiabili, permutabili, infatti il gruppo che rappresenta la simmetria di un triangolo equilatero è $D_3$ gruppo diedrico isomorfo ad $S_3$.
Poi sono passato allo studio di altri polinomi di terzo grado di forma differente da quello sopra, tipo $x^3+3x^2 - 1$ sempre irriducibile in $Q$ aventi tre radici reali ed erroneamente pensavo che fossero completamente interscambiali, perché trascuravo la funzione discriminante, che in questo caso risulta $Delta $ $=81$ ed $delta=sqrt(Delta)$ $ =8$ $in$ $Q$, pertanto il gruppo di Galois è $C_3$. Ora mi chiedo in quest'ultimo caso quale è una base del campo di spezzamento visto come spazio vettoriale su $Q$?
Se prendo due polinomi di terzo grado irriducibili che hanno tre radici reali, e $Delta$ $in$ $R$, I loro campi di spezzamento come spazi vettoriali su $Q$ risultano isomorfi?
Scusate ancora se le domande sono poco comprensibili, ma sto sforzando di capire.
Grazie!
Abbiate pazienza Sto facendo uno sforzo non indifferente per capire,e molte volte mi creo delle idee, che poi si rivelano errate!
Sono partito dal polinomio $x^3 - 2$ perché a mio parere era un esempio chiave, in cui si vede bene la completa simmetria tra le radici, visto che nel piano complesso possono essere rappresentate ai vertici di un triangolo equilatero, pertanto completamente interscambiabili, permutabili, infatti il gruppo che rappresenta la simmetria di un triangolo equilatero è $D_3$ gruppo diedrico isomorfo ad $S_3$.
Poi sono passato allo studio di altri polinomi di terzo grado di forma differente da quello sopra, tipo $x^3+3x^2 - 1$ sempre irriducibile in $Q$ aventi tre radici reali ed erroneamente pensavo che fossero completamente interscambiali, perché trascuravo la funzione discriminante, che in questo caso risulta $Delta $ $=81$ ed $delta=sqrt(Delta)$ $ =8$ $in$ $Q$, pertanto il gruppo di Galois è $C_3$. Ora mi chiedo in quest'ultimo caso quale è una base del campo di spezzamento visto come spazio vettoriale su $Q$?
Se prendo due polinomi di terzo grado irriducibili che hanno tre radici reali, e $Delta$ $in$ $R$, I loro campi di spezzamento come spazi vettoriali su $Q$ risultano isomorfi?
Scusate ancora se le domande sono poco comprensibili, ma sto sforzando di capire.
Grazie!
"francicko":
Sono partito dal polinomio $x^3 - 2$ perché a mio parere era un esempio chiave, in cui si vede bene la completa simmetria tra le radici, visto che nel piano complesso possono essere rappresentate ai vertici di un triangolo equilatero, pertanto completamente interscambiabili, permutabili, infatti il gruppo che rappresenta la simmetria di un triangolo equilatero è $D_3$ gruppo diedrico isomorfo ad $S_3$.
Diedrale, non diedrico. Vedi, il problema è che tu ragioni per slogan, mentre la matematica è molto più profonda di così. Non puoi pensare di capire la teoria di Galois raccontando storielle sulle simmetrie e sullo scambiare le radici, non funziona così. Devi avere chiari in testa il concetto di spazio vettoriale, di automorfismo, eccetra e poi digerire l'astrazione. Fino a che non lasci perdere questo modo di fare da libro di divulgazione non hai speranze di imparare la teoria nella sua complessità.
"francicko":Vuoi dire $9$.
$delta=sqrt(Delta)$ $ =8$ $in$ $Q$
Ora mi chiedo in quest'ultimo caso quale è una base del campo di spezzamento visto come spazio vettoriale su $Q$?Il grado (cioè la dimensione) del campo di spezzamento su $QQ$ è uguale all'ordine del gruppo di Galois, cioè $3$. Siccome il polinomio è irriducibile di grado $3$, ogni sua radice genera un'estensione di $QQ$ di grado $3$ e che quindi coincide col campo di spezzamento (perché questo ha grado $3$ e contiene le radici). Ne segue che se $u$ è una qualsiasi radice del polinomio, una base del campo di spezzamento (in questo caso particolare!) è ${1,u,u^2}$.
Tutto questo se il tuo calcolo del discriminante è corretto (non ho controllato).
Se prendo due polinomi di terzo grado irriducibili che hanno tre radici reali, e $Delta$ $in$ $R$, I loro campi di spezzamento come spazi vettoriali su $Q$ risultano isomorfi?No, dipende dal discriminante.
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