Definizione gruppo di Galois
x@hydro.
Ho aperto un nuovo post qui, in quanto per un problema tecnico non riesco a rispondere nel precedente!
Sia $E//F$ estensione di campi.
Allora il gruppo di Galois di $E//F$ é l'insieme di tutti gli automorfismi di $E$ che lasciano fisso ogni elemento di $F$. Giusto?
Ho aperto un nuovo post qui, in quanto per un problema tecnico non riesco a rispondere nel precedente!
Sia $E//F$ estensione di campi.
Allora il gruppo di Galois di $E//F$ é l'insieme di tutti gli automorfismi di $E$ che lasciano fisso ogni elemento di $F$. Giusto?
Risposte
Si é $delta=9$.
Sia ora $p(x) $ un polinomio generico di terzo grado, irriducibile nel campo dei razionali $Q$ il cui $delta$ non appartenga a $Q$, sicuramente il suo gruppo di Galois è $S_3$ di ordine $6$, indichiamo con $alpha_1,alpha_2,alpha_3$le radici distinte, e con $E=Q(alpha_1,alpha_2,alpha_3)$ il suo campo di spezzamento, la dimensione di $E//Q$ visto come spazio vettoriale sarà $[E] =6$ quale sarà una base?
$1,alpha_1,alpha_1^2, alpha_2, alpha_2^2,? $
Sia ora $p(x) $ un polinomio generico di terzo grado, irriducibile nel campo dei razionali $Q$ il cui $delta$ non appartenga a $Q$, sicuramente il suo gruppo di Galois è $S_3$ di ordine $6$, indichiamo con $alpha_1,alpha_2,alpha_3$le radici distinte, e con $E=Q(alpha_1,alpha_2,alpha_3)$ il suo campo di spezzamento, la dimensione di $E//Q$ visto come spazio vettoriale sarà $[E] =6$ quale sarà una base?
$1,alpha_1,alpha_1^2, alpha_2, alpha_2^2,? $
Nel caso che hai descritto (polinomio di grado $3$ irriducibile su $QQ$ con gruppo di Galois $S_3$ su $QQ$), chiamando $u=alpha_1$ (una delle radici) e, come hai scritto, [tex]\delta=\sqrt{\Delta} \notin \mathbb{Q}[/tex] (dove $Delta$ è il discriminante), una base di $E$ su $QQ$ (ma non l'unica ovviamente) è
${1,u,u^2,delta,delta u,delta u^2}$.
Questo segue da semplici considerazioni come la formula dei gradi, da cui in particolare segue che [tex]\delta \notin \mathbb{Q}(u)[/tex]. Se vuoi ti scrivo i dettagli.
Ti consiglio di interessarti molto di più alle dimostrazioni, perché noi possiamo fare questo botta e risposta ma finché non ti è chiaro il motivo per cui valgono le cose continuerai a dimenticarti tutto subito dopo averlo letto.
${1,u,u^2,delta,delta u,delta u^2}$.
Questo segue da semplici considerazioni come la formula dei gradi, da cui in particolare segue che [tex]\delta \notin \mathbb{Q}(u)[/tex]. Se vuoi ti scrivo i dettagli.
Ti consiglio di interessarti molto di più alle dimostrazioni, perché noi possiamo fare questo botta e risposta ma finché non ti è chiaro il motivo per cui valgono le cose continuerai a dimenticarti tutto subito dopo averlo letto.
Hai ragione, solo che incontro molte difficoltà nella comprensione di certi teoremi.
Che $ [Q(x_1,x_2,x_3):Q] =6$ mi è chiaro, basta applicare la formula dei gradi $[Q(u):Q]=3$ e $Q(delta) :Q] =2$ trattandosi di un estensione quadratica, pertanto il prodotto delle dimensioni è $6$.
Daltronde infatti se $delta$ $in$ $Q$ la base si riduce ad
${1,u,u^2} $ ed il gruppo di galois del polinomio ad $A_3~~C_3$
Quello che non mi è chiaro è come fa ad essere $Q(u,delta)=Q(u, x_2,x_3)$ ed ${1,u,u^2, delta,(delta)u,(delta) u^2}$ una sua base.
Che $ [Q(x_1,x_2,x_3):Q] =6$ mi è chiaro, basta applicare la formula dei gradi $[Q(u):Q]=3$ e $Q(delta) :Q] =2$ trattandosi di un estensione quadratica, pertanto il prodotto delle dimensioni è $6$.
Daltronde infatti se $delta$ $in$ $Q$ la base si riduce ad
${1,u,u^2} $ ed il gruppo di galois del polinomio ad $A_3~~C_3$
Quello che non mi è chiaro è come fa ad essere $Q(u,delta)=Q(u, x_2,x_3)$ ed ${1,u,u^2, delta,(delta)u,(delta) u^2}$ una sua base.
"francicko":Questo è perché è chiaro che $QQ(u,delta)$ è contenuto in $QQ(u,x_2,x_3)$, per definizione di discriminante (qui $u=x_1$, $x_2$ e $x_3$ sono le tre radici del polinomio) e d'altra parte hanno entrambi dimensione $6$ su $QQ$, quindi sono uguali. Il fatto che $QQ(x_1,x_2,x_3)$ ha dimensione $6$ su $QQ$ segue dal fatto che in generale il grado di un campo di spezzamento sul campo base coincide con l'ordine del gruppo di Galois. Il fatto che $QQ(u,delta)$ ha dimensione $6$ su $QQ$ segue dalla formula dei gradi:
$Q(u,delta)=Q(u, x_2,x_3)$
$|QQ(u,delta):QQ| = |QQ(u)(delta):QQ(u)|*|QQ(u):QQ| = 2*3 = 6$.
${1,u,u^2, delta,(delta)u,(delta) u^2}$ una sua base.
Siccome ha $6$ elementi, per mostrare che è una base basta mostrare che è linearmente indipendente. Se una sua combinazione lineare è nulla, diciamo
$a+bu+cu^2+d delta + e delta u + f delta u^2 = 0$, con $a,b,c,d,e,f in QQ$,
allora
$(a+bu+cu^2)+(d+eu+fu^2)delta=0$,
da cui segue che $a+bu+cu^2=0$ e $d+eu+fu^2=0$ perché $delta$ ha grado $2$ su $QQ(u)$, e ora siccome $1,u,u^2$ sono linearmente indipendenti su $QQ$ (perché $u$ ha grado $3$ su $QQ$), segue $a=0$, $b=0$, $c=0$, $d=0$, $e=0$, $f=0$.
Se qualcosa di quello che ho detto qui non ti è chiaro significa che devi tassativamente riguardarti la teoria base delle estensioni di campi (field extensions).
Ti prego, ti prego, studiati la teoria base delle estensioni di campi, altrimenti è un dialogo tra sordi.
Grazie del consiglio, mi sono procurato degli appunti in rete che parlano delle estensioni di campo.
Ritornando al gruppo di Galois di un polinomio di terzo grado irriducibile in $Q$ a radici nel campo dei reali $R$ se $Q(x_1)$ non risulta essere il campo di spezzamento, allora lo sarà sicuramente $Q(x_1,x_2)$ in quanto conterrà necessariamente anche la terza radice, Giusto?
Ora essendo che in questo specifico caso una base deve contenere esattamente $6$ vettori linearmente indipendenti, che generano tutta l'estensione, come spazio vettoriale, un altra base non dovrebbe essere ${1,x_1,x_1^2,x_2,x_2x_1,x_2x_1^2} $ dove $x_2^2 $ $in$ $Q(x_1)$?
Ritornando al gruppo di Galois di un polinomio di terzo grado irriducibile in $Q$ a radici nel campo dei reali $R$ se $Q(x_1)$ non risulta essere il campo di spezzamento, allora lo sarà sicuramente $Q(x_1,x_2)$ in quanto conterrà necessariamente anche la terza radice, Giusto?
Ora essendo che in questo specifico caso una base deve contenere esattamente $6$ vettori linearmente indipendenti, che generano tutta l'estensione, come spazio vettoriale, un altra base non dovrebbe essere ${1,x_1,x_1^2,x_2,x_2x_1,x_2x_1^2} $ dove $x_2^2 $ $in$ $Q(x_1)$?
Ma in base a cosa? Stai sparando a caso. In matematica bisogna supportare le proprie affermazioni con dimostrazioni.
@ Martino: [ot]
Saputo poi nulla?[/ot]
"Martino":
Hai ragione, ho mandato una email a Stefania Gabelli chiedendo delucidazioni. Grazie.
Saputo poi nulla?[/ot]
@Gugo [ot]
Questa formulazione mi sembra più ragionevole.
Mi ha dato come riferimento pagina 74 del libro (item 9 della bibliografia)
9. E. Galois, Scritti Matematici, a cura di L. Toti Rigatelli, Bollati Boringhieri,
Torino, 2000.
Questo libro non è reperibile ma mi ha allegato la pagina col teorema, con cui concordo:
[/ot]
Sì, mi ha risposto ma ho l'impressione che non ci siamo ben capiti. Continuo a credere che quel passaggio debba essere rivisto. Comunque mi ha scritto"Martino":
Hai ragione, ho mandato una email a Stefania Gabelli chiedendo delucidazioni. Grazie.
Saputo poi nulla?
"Stefania":
"Intendevo che:
se PER TUTTE le $sigma$ nel gruppo $h(alpha)=h(sigma(alpha))$, allora $h(alpha)$ è razionale.
Viceversa, se $h(alpha)$ è razionale e $sigma$ sta nel gruppo allora $h(alpha)=h(sigma(alpha))$."
Questa formulazione mi sembra più ragionevole.
Mi ha dato come riferimento pagina 74 del libro (item 9 della bibliografia)
9. E. Galois, Scritti Matematici, a cura di L. Toti Rigatelli, Bollati Boringhieri,
Torino, 2000.
Questo libro non è reperibile ma mi ha allegato la pagina col teorema, con cui concordo:
[/ot]
Sia $p(x)$ di $3°$ irriducibile in $Q$ con radici in $R$, e risulti $Delta$ non un quadrato perfetto, quindi il discriminante $delta$ non apparterra a $Q$, allora denotato con $E$ il campo di spezzamento di $p(x)$ avremo $Gal(E//Q)~~S_3$ quindi $|Gal(E//Q)| =6$, questo implica che dimensione $|E:Q|=6$, pertanto una base di $E//Q$ deve contenere esattamente $6$ vettori linearmente indipendenti, indicando con $x_1,x_2,x_3$ le radici, sarà $E=Q(x_1,x_2)=Q(x_1)(x_2)$, inoltre
sarà $|Q(x_1):Q|=3$ avendo $x_1$ il polinomio $p(x)$ come polinomio minimo, la cui base è ${1, x_1,x_1^2}$, giusto?
Dovrà essere inoltre $|Q(x_1,x_2):Q(x_1)|=2$ e quindi $x_1^2 $ $in$ $Q(x_1)$, una base di $E $ sarà ${1,x_1,x_1^2}xx{1,x_2}={1,x_1,x_1^2, x_1x_2,x_1x_2^2, x_2}$ giusto?
sarà $|Q(x_1):Q|=3$ avendo $x_1$ il polinomio $p(x)$ come polinomio minimo, la cui base è ${1, x_1,x_1^2}$, giusto?
Dovrà essere inoltre $|Q(x_1,x_2):Q(x_1)|=2$ e quindi $x_1^2 $ $in$ $Q(x_1)$, una base di $E $ sarà ${1,x_1,x_1^2}xx{1,x_2}={1,x_1,x_1^2, x_1x_2,x_1x_2^2, x_2}$ giusto?
"francicko":
Dovrà essere inoltre $|Q(x_1,x_2):Q(x_1)|=2$ e quindi $x_1^2 $ $in$ $Q(x_1)$, [...] giusto?
Immagino volessi scrivere $x_2^2\in \mathbb Q(x_1)$, visto che è ovvio che $x_1^2\in \mathbb Q(x_1)$. E in tal caso no, non è giusto.
Si, scusate,ho sbagliato appunto volevo scrivere, $x_2^2$ $in$ $Q(x_1)$, puoi spiegarmi perché non è giusto?
Se fosse $x_2$ $in$ $Q(x_1)$ questo implicherebbe che ${1, x_1,x_1^2}$ sia una base, ma allora sarebbe il gruppo di galois $~~A_3$ e $delta$ $ in$ $Q$,in contraddizione con la supposizione, vero?
Se fosse $x_2^2 $ $in$ $Q(x_1)$ allora una base è ${1,x_1,x_1^2,x_2,x_2x_1,x_2x_1^2}$
Se invece $x_2^2$ non appartiene a $Q(x_1)$ allora quale potrebbe essere una base?Sicuramente deve avere un elemento quadratico?
Se fosse $x_2$ $in$ $Q(x_1)$ questo implicherebbe che ${1, x_1,x_1^2}$ sia una base, ma allora sarebbe il gruppo di galois $~~A_3$ e $delta$ $ in$ $Q$,in contraddizione con la supposizione, vero?
Se fosse $x_2^2 $ $in$ $Q(x_1)$ allora una base è ${1,x_1,x_1^2,x_2,x_2x_1,x_2x_1^2}$
Se invece $x_2^2$ non appartiene a $Q(x_1)$ allora quale potrebbe essere una base?Sicuramente deve avere un elemento quadratico?
L'elemento $x_2^2$ non sta in $QQ(x_1)$. Provi pure con $p(x)=x^3-2$.
Ma questo non contraddice il fatto che $\{1,x_1,x_1^2,x_2,x_2x_1,x_2x_1^2\}$ e' una base.
Infatti, se $p(x)=x^3+ax^2+bx+c$ con $a,b,c\inQQ$,
si ha che $x_2^2=-b-ax_1-x_1^2-ax_2-x_2x_1$.
Ma questo non contraddice il fatto che $\{1,x_1,x_1^2,x_2,x_2x_1,x_2x_1^2\}$ e' una base.
Infatti, se $p(x)=x^3+ax^2+bx+c$ con $a,b,c\inQQ$,
si ha che $x_2^2=-b-ax_1-x_1^2-ax_2-x_2x_1$.
Giusto Stickelberger, quindi solo per riassumere: se il gruppo di Galois è $S_3$ allora
${1,x_1,x_1^2,x_2,x_1x_2,x_1^2x_2}$
è sempre una base del campo di spezzamento su $QQ$. Questo si vede usando la definizione di indipendenza lineare e il fatto che $x_2$ ha grado $2$ su $QQ(x_1)$.
Tuttavia, $x_2^2$ non appartiene mai a $QQ(x_1)$.
${1,x_1,x_1^2,x_2,x_1x_2,x_1^2x_2}$
è sempre una base del campo di spezzamento su $QQ$. Questo si vede usando la definizione di indipendenza lineare e il fatto che $x_2$ ha grado $2$ su $QQ(x_1)$.
Tuttavia, $x_2^2$ non appartiene mai a $QQ(x_1)$.
Grazie molte per le risposte!
Scusate, ma da dove si ricava l'espressione $x_2^2 =-b-ax_1-x_1^2 - ax_2-x_2x_1$?
Scusate, ma da dove si ricava l'espressione $x_2^2 =-b-ax_1-x_1^2 - ax_2-x_2x_1$?
sottrarre $x_1^3+ax_1^2+bx_1+c=0$ di $x_2^3+ax_2^2 +bx_2 + c=0$ e dividere per $x_1-x_2$.
Quindi se ho ben capito per un polinomio generico di terzo grado $p(x) = x^3 +ax^2 +bx+c$ una base del suo campo di spezzamento è data da ${1, x_1,x_1^2, x_2,x_1x_2,x_1^2 x_2}$, mi chiedevo per un polinomio generico di quarto grado $x^4+dx^3 +ax^2 +bx+c$ con gruppo di galous $S_4$ quale sarà una base del suo campo di spezzamento?
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