Definizione di sottoinsieme
Vorrei chiedere gentilmente un aiuto sulla definizione di A⊆B.
Scriviamo $A⊆B$ quando $\forall x(x inA =>x inB)$
cioè quando è vera la proposizione nella parentesi scrivo a diritto A⊆B.
Tra le altre cose ne discende che l'insieme vuoto è contenuto in ogni insieme B, infatti se A della definizione fosse il vuoto avrei che la proposizione nella parentesi è vera poiché (F=>V) è vera dalla definizione di implicazione logica.
Tuttavia mi incastro su un dubbio, il seguente. Se prendo ogni $x in A$ per cui tale prima proposizione sia falsa (cioè prendo tutti gli elementi che non fanno parte di un insieme A -anche non vuoto- ossia sono elementi di un terzo insieme C) per cui però valga $x inB$ (cioè fanno parte di B), a questo punto avrei: $\forallx(x inA =>x inB)$ vera (sempre per la questione F=>V), dunque l'insieme degli elementi di B che non fanno parte di un sottoinsieme A mi fanno scrivere che $A⊆B$, ma non ne afferro il senso. Deve sfuggirmi qualcosa di basilare
.
Scriviamo $A⊆B$ quando $\forall x(x inA =>x inB)$
cioè quando è vera la proposizione nella parentesi scrivo a diritto A⊆B.
Tra le altre cose ne discende che l'insieme vuoto è contenuto in ogni insieme B, infatti se A della definizione fosse il vuoto avrei che la proposizione nella parentesi è vera poiché (F=>V) è vera dalla definizione di implicazione logica.
Tuttavia mi incastro su un dubbio, il seguente. Se prendo ogni $x in A$ per cui tale prima proposizione sia falsa (cioè prendo tutti gli elementi che non fanno parte di un insieme A -anche non vuoto- ossia sono elementi di un terzo insieme C) per cui però valga $x inB$ (cioè fanno parte di B), a questo punto avrei: $\forallx(x inA =>x inB)$ vera (sempre per la questione F=>V), dunque l'insieme degli elementi di B che non fanno parte di un sottoinsieme A mi fanno scrivere che $A⊆B$, ma non ne afferro il senso. Deve sfuggirmi qualcosa di basilare
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Risposte
"moenia":
Tuttavia mi incastro su un dubbio, il seguente. Se prendo ogni $x in A$ per cui tale prima proposizione sia falsa (cioè prendo tutti gli elementi che non fanno parte di un insieme A
Prendi tutti gli elementi di $A$ che non sono in $A$?
"moenia":
Scriviamo $A⊆B$ quando $\forall x(x inA =>x inB)$
cioè quando è vera la proposizione nella parentesi scrivo a diritto A⊆B.
No. La formula tra parentesi è un predicato, non una proposizione. Un predicato che è vero o falso a seconda del valore particolare che assume $x$. Questo predicato munito del quantificatore diventa una proposizione, sicché la proposizione che deve essere vera non è semplicemente la formula tra parentesi ma tutta la formula, quantificatore compreso.
@G.D. ti ringrazio per la risposta e ovviamente hai ragione. In realtà ho detto tra parentesi per dire quella parte che non era A⊆B della mia frase, ma volevo dire in effetti tutta la proposizione e non solo l'enunciato aperto tra parentesi.
@ghira: il punto è che anche quando prendo tutti gli elementi dell'insieme vuoto mi sembra di fare qualcosa di simile. Ed è qui che mi incastro, non vedo bene la differenza nei due casi: da una parte prendo gli elementi che stanno in A=nullo in modo falso perché non ha elementi, nel mio esempio invece predno tutti gli elementi che stanno in un A non vuoto in modo falso (quindi gli elementi esterni ad A); insomma prendo sempre in modo che sia falso $x in A$. Ti ringrazio!
PS: formalmente della $\forall x(x inA =>x inB)$ voglio rendere falso il predicato $x in A$ il che è lecito, basta non prendere gli elementi di A, ma rendere vera la seconda parte $x inB$ il che è lecito perché basta che stiano in B. Questo rende vera la proposizione in virtù de "ex falso sequitur quodlibet" e quindi poiché vera l'implicazione A⊆B; ma sarebbe evidentemente un assurdo e non scovo l'errore.
@ghira: il punto è che anche quando prendo tutti gli elementi dell'insieme vuoto mi sembra di fare qualcosa di simile. Ed è qui che mi incastro, non vedo bene la differenza nei due casi: da una parte prendo gli elementi che stanno in A=nullo in modo falso perché non ha elementi, nel mio esempio invece predno tutti gli elementi che stanno in un A non vuoto in modo falso (quindi gli elementi esterni ad A); insomma prendo sempre in modo che sia falso $x in A$. Ti ringrazio!
PS: formalmente della $\forall x(x inA =>x inB)$ voglio rendere falso il predicato $x in A$ il che è lecito, basta non prendere gli elementi di A, ma rendere vera la seconda parte $x inB$ il che è lecito perché basta che stiano in B. Questo rende vera la proposizione in virtù de "ex falso sequitur quodlibet" e quindi poiché vera l'implicazione A⊆B; ma sarebbe evidentemente un assurdo e non scovo l'errore.
"moenia":
PS: formalmente della $\forall x(x inA =>x inB)$ voglio rendere falso il predicato $x in A$ il che è lecito, basta non prendere gli elementi di A
Ma cosa dici? $\forall x$ vuol dire che deve valere per ogni $x$.
Uhm mi sfugge qualcosa.
Noi abbiamo la proposizione $\forall x(x inA =>x inB)$ che può essere vera o falsa. Se vera possiamo scrivere $A⊆B$, non è detto sia per forza vera, quando falsa non scriveremo $A⊆B$.
Io ho detto che ci sono diversi modi per renderla vera, uno di questi è prendere gli x in A quando vale anche che questi stessi x sono in B è vera tale proposizione.
Ma non è l'unico modo: posso anche prendere l'insieme vuoto, questo fasi che non sia vero che valga $x inA$ ergo da "ex falso sequitur quodlibet" la proposizione è vera e posso scrivere A⊆B (in virtù del valore di verità da essa -proposizione- assunto).
Tuttavia mi pare del tutto lecito anche prendere ogni x che renda falsa $x inA$ in altro modo, posso non prendere gli elementi di A (per ogni x non di A, ossia per ogni x per cui $x inA$ è falsa). E questo rende automaticamente vera la proposizione fregandocene del valore di verità di tutto quello che viene dopo ($x inB$ V o F non importa) poiché la proposizione è comunque vera e posso scrivere l'inclusione.
Noi abbiamo la proposizione $\forall x(x inA =>x inB)$ che può essere vera o falsa. Se vera possiamo scrivere $A⊆B$, non è detto sia per forza vera, quando falsa non scriveremo $A⊆B$.
Io ho detto che ci sono diversi modi per renderla vera, uno di questi è prendere gli x in A quando vale anche che questi stessi x sono in B è vera tale proposizione.
Ma non è l'unico modo: posso anche prendere l'insieme vuoto, questo fasi che non sia vero che valga $x inA$ ergo da "ex falso sequitur quodlibet" la proposizione è vera e posso scrivere A⊆B (in virtù del valore di verità da essa -proposizione- assunto).
Tuttavia mi pare del tutto lecito anche prendere ogni x che renda falsa $x inA$ in altro modo, posso non prendere gli elementi di A (per ogni x non di A, ossia per ogni x per cui $x inA$ è falsa). E questo rende automaticamente vera la proposizione fregandocene del valore di verità di tutto quello che viene dopo ($x inB$ V o F non importa) poiché la proposizione è comunque vera e posso scrivere l'inclusione.
"moenia":
posso non prendere gli elementi di A (per ogni x non di A, ossia per ogni x per cui $x inA$ è falsa).
No! Non decidi tu quali $x$ "prendere" e quali no. $\forall x$ vuol dire tutti gli $x$ nel contesto in cui stai lavorando. Non solo quelli che scegli tu.
Sì esatto, pensavo proprio a quello, però anche quando prendo le x per cui sia vero che $x in A$ sto prendendo tutte (per ogni x) che sono effettivamente in A.
La mia idea era di poter prendere tutte le x che rendono falso $x in A$ cioè quelle che non stanno in A (diciamo che stanno in un C)
Forse uno stupido disegno aiuta.
L'ellissi nera contiene il per ogni x per cui $x in A$ vera
Quella rossa il per ogni x con $x in A$ falsa
(oss: si noti che in entrambi i casi le x appartengono a B rendendo vera l'enunciato $x in B$)
In entrambi i casi restringo l'insieme da cui pescare x e mi sembrano leciti entrambi. In entrambi i casi non prendo TUTTE le x esistenti, ma quelle utili allo scopo.
Dannazione, mi sento un idiota ma non capisco 'sto cavolo di errore
.
La mia idea era di poter prendere tutte le x che rendono falso $x in A$ cioè quelle che non stanno in A (diciamo che stanno in un C)
Forse uno stupido disegno aiuta.
L'ellissi nera contiene il per ogni x per cui $x in A$ vera
Quella rossa il per ogni x con $x in A$ falsa
(oss: si noti che in entrambi i casi le x appartengono a B rendendo vera l'enunciato $x in B$)
In entrambi i casi restringo l'insieme da cui pescare x e mi sembrano leciti entrambi. In entrambi i casi non prendo TUTTE le x esistenti, ma quelle utili allo scopo.
Dannazione, mi sento un idiota ma non capisco 'sto cavolo di errore
.
"moenia":
In entrambi i casi restringo l'insieme da cui pescare x
No.
Sai che non riesco a capire perché, anche graficamente mi pare così 
Allora è lì l'errore!
Allora è lì l'errore!
"moenia":
Sì esatto, pensavo proprio a quello, però anche quando prendo le x per cui sia vero che $x in A$ sto prendendo tutte (per ogni x) che sono effettivamente in A.
La mia idea era di poter prendere tutte le x che rendono falso $x in A$ cioè quelle che non stanno in A (diciamo che stanno in un C)
Forse uno stupido disegno aiuta.
L'ellissi nera contiene il per ogni x per cui $x in A$ vera
Quella rossa il per ogni x con $x in A$ falsa
(oss: si noti che in entrambi i casi le x appartengono a B rendendo vera l'enunciato $x in B$)
In entrambi i casi restringo l'insieme da cui pescare x e mi sembrano leciti entrambi. In entrambi i casi non prendo TUTTE le x esistenti, ma quelle utili allo scopo.
Dannazione, mi sento un idiota ma non capisco 'sto cavolo di errore
Scusa ma dal tuo disegno si vede che tutti gli $x$ di $A$ sono in $B$ per cui $A$ è contenuto in $B$. C'è anche $C$ ma questo che c'entra? Per dimostrare che l'insieme $A$ è contenuto in $B$ basta che comunque io prendo un elemento del primo questo appartiene al secondo ed è fatta. Se, viceversa, esiste un elemento di$A$ che non appartiene a $B$ allora $A$ non è contenuto in $B$, ne basta uno.
L.
Diciamo che io sto cercando di capire la definizione che mi han dato in algebra: $\forall x(x inA =>x inB)$ di inclusione. Quando quella proposizione è vera allora si parla di inclusione di A in B.
Tuttavia mi sono incastrato in un dubbio, ossia come cercavo di esplicitare che se rendo falsa $x inA$ avremo che quella proposizione della prima riga (per la tavola di verità dell'implicazione) è sempre vera!
Questo mi disturba perché se prendo il complementare di A, allora tutti gli elementi del complementare rendono falsa $x inA$ e quindi automaticamente vera $\forall x(x inA =>x inB)$ e quindi possibile la scrittura $A⊆B$.
Questo vorrebbe dire che A è sottoinsieme di B anche quando prendo tutte le x del complementare e noto che rendono falsa $x inA$ qualunque sia il valore dell'enunciato $x inB$. E questo è un bel problema perché mi fa apparire inconsistente la definizione data.
Siccome invece è palesemente giusta (poiché riconosciuta da tutti) sbaglio qualcosa io nell'interpretarla, ma non capisco cosa e vorrei capire XD
Tuttavia mi sono incastrato in un dubbio, ossia come cercavo di esplicitare che se rendo falsa $x inA$ avremo che quella proposizione della prima riga (per la tavola di verità dell'implicazione) è sempre vera!
Questo mi disturba perché se prendo il complementare di A, allora tutti gli elementi del complementare rendono falsa $x inA$ e quindi automaticamente vera $\forall x(x inA =>x inB)$ e quindi possibile la scrittura $A⊆B$.
Questo vorrebbe dire che A è sottoinsieme di B anche quando prendo tutte le x del complementare e noto che rendono falsa $x inA$ qualunque sia il valore dell'enunciato $x inB$. E questo è un bel problema perché mi fa apparire inconsistente la definizione data.
Siccome invece è palesemente giusta (poiché riconosciuta da tutti) sbaglio qualcosa io nell'interpretarla, ma non capisco cosa e vorrei capire XD
"moenia":
prendo tutte le x del complementare
$\forall$ non vuol dire "decido io cosa prendere e cosa no".
"ghira":
[quote="moenia"]prendo tutte le x del complementare
$\forall$ non vuol dire "decido io cosa prendere e cosa no".[/quote]
Ho capito l'obiezione, ma anche quando prendo gli elementi di A e dico che rendono vera $x in A$ decido di prendere gli elementi di A, non vedo la differenza come ti dicevo
E credo tu abbia individuato l'errore, è ovviamente lì... ma perché io non riesco a vederlo davvero.
Che scelga il per ogni x con x nell'insieme definizione complementare o che scelga il per ogni x nell'insieme definizione A che rende vera $x in A$ mi sembra identico.
Se riuscissi a capire perché c'è differenza forse sbloccherei il dubbio
"moenia":
decido di
Non decidi tu. Ecco.
"moenia":
Diciamo che io sto cercando di capire la definizione che mi han dato in algebra: $\forall x(x inA =>x inB)$ di inclusione. Quando quella proposizione è vera allora si parla di inclusione di A in B.
Tuttavia mi sono incastrato in un dubbio, ossia come cercavo di esplicitare che se rendo falsa $x inA$ avremo che quella proposizione della prima riga (per la tavola di verità dell'implicazione) è sempre vera!
Questo mi disturba perché se prendo il complementare di A, allora tutti gli elementi del complementare rendono falsa $x inA$ e quindi automaticamente vera $\forall x(x inA =>x inB)$ e quindi possibile la scrittura $A⊆B$.
Questo vorrebbe dire che A è sottoinsieme di B anche quando prendo tutte le x del complementare e noto che rendono falsa $x inA$ qualunque sia il valore dell'enunciato $x inB$. E questo è un bel problema perché mi fa apparire inconsistente la definizione data.
Siccome invece è palesemente giusta (poiché riconosciuta da tutti) sbaglio qualcosa io nell'interpretarla, ma non capisco cosa e vorrei capire XD
Sicuro che la definizione giusta non sia questa: $\forall x$ se $x inA =>x inB$?
L.
"ghira":
[quote="moenia"] decido di
Non decidi tu. Ecco.[/quote]
ok ma quando scrivo $∀x(x∈A⇒x∈B)$ e prendo le x per cui è vera $x∈A$ sto scegliendo le x in A, non è una scelta alla pari di scegliere il complementare?
In effetti $x∈A$ non è vera per ogni x, ma solo per le x ristrette all'insieme A.
Sceglo un insieme A e prendo il per ogni x in A e vedo che è vero che $x∈A$.
"cionilorenzo":
Sicuro che la definizione giusta non sia questa: $\forall x$ se $x inA =>x inB$?
L.
Devo dire che il professore l'ha data come scritta da me, in effetti il "se" obbligherebbe a scegleire le x in A.
"moenia":
ok ma quando scrivo $∀x(x∈A⇒x∈B)$ e prendo le x per cui è vera $x∈A$ sto scegliendo le x in A
NO! $\forall$ non ti dice di "prendere le $x$ per cui...". Devi considerare tutti i possibili valori. Chiaramente, per gli $x$ non in $A$ l'implicazione è vera. Ma non stai decidendo quali $x$ considerare. Devi considerarli tutti. La "considerazione" per $x$ non in $A$ è banale, ok, ma...
Riporto sotto poiché ho sbagliato ma c'èstata una risposta nel mentre compivo l'editing
"moenia":
$(x∈A⇒x∈B)$ è vera tranne il caso in cui $x in A$ è vera e $x in B$ falsa.
Certamente. E se ci sono $x$ così, $A$ non è un sottoinsieme di $B$.
Ah ok, questo mi sfuggiva: io pensavo di poter restringere l'universo. Mi sa che ora ho capito: prendendo tutte le x che stanno in A e B rendono sicuramente vera $(x∈A⇒x∈B)$, così come tutte le x che non sono in A e che rendono automaticamente vero l'enunicato (e considero tutte le x dell'insieme universo).
Se tuttavia A avesse delle x che non sono in B allora non varrebbe $x∈B$ per certe x dell'insieme universo ed avrei che $(x∈A⇒x∈B)$ non è più vera per ogni x!
D'altra parte questo vale anche per l'insieme vuoto perché tutte le x dell'universo non appartengono ad A e rendono falsa l'antecedente e di conseguenza tutta l'implicazione SEMPRE.
Penso ora sia corretto, sbagliavo proprio l'impostazione dell'insieme su cui valutare il per ogni e ne stavo uscendo pazzo. Eppure sembrava tornare per molte cose. Ti ringrazio molto per la pazienza, senza il tuo aiuto mi sa che non me ne sarei MAI accorto.
Se tuttavia A avesse delle x che non sono in B allora non varrebbe $x∈B$ per certe x dell'insieme universo ed avrei che $(x∈A⇒x∈B)$ non è più vera per ogni x!
D'altra parte questo vale anche per l'insieme vuoto perché tutte le x dell'universo non appartengono ad A e rendono falsa l'antecedente e di conseguenza tutta l'implicazione SEMPRE.
Penso ora sia corretto, sbagliavo proprio l'impostazione dell'insieme su cui valutare il per ogni e ne stavo uscendo pazzo. Eppure sembrava tornare per molte cose. Ti ringrazio molto per la pazienza, senza il tuo aiuto mi sa che non me ne sarei MAI accorto.
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