Definizione di sottoinsieme
Vorrei chiedere gentilmente un aiuto sulla definizione di A⊆B.
Scriviamo $A⊆B$ quando $\forall x(x inA =>x inB)$
cioè quando è vera la proposizione nella parentesi scrivo a diritto A⊆B.
Tra le altre cose ne discende che l'insieme vuoto è contenuto in ogni insieme B, infatti se A della definizione fosse il vuoto avrei che la proposizione nella parentesi è vera poiché (F=>V) è vera dalla definizione di implicazione logica.
Tuttavia mi incastro su un dubbio, il seguente. Se prendo ogni $x in A$ per cui tale prima proposizione sia falsa (cioè prendo tutti gli elementi che non fanno parte di un insieme A -anche non vuoto- ossia sono elementi di un terzo insieme C) per cui però valga $x inB$ (cioè fanno parte di B), a questo punto avrei: $\forallx(x inA =>x inB)$ vera (sempre per la questione F=>V), dunque l'insieme degli elementi di B che non fanno parte di un sottoinsieme A mi fanno scrivere che $A⊆B$, ma non ne afferro il senso. Deve sfuggirmi qualcosa di basilare
.
Scriviamo $A⊆B$ quando $\forall x(x inA =>x inB)$
cioè quando è vera la proposizione nella parentesi scrivo a diritto A⊆B.
Tra le altre cose ne discende che l'insieme vuoto è contenuto in ogni insieme B, infatti se A della definizione fosse il vuoto avrei che la proposizione nella parentesi è vera poiché (F=>V) è vera dalla definizione di implicazione logica.
Tuttavia mi incastro su un dubbio, il seguente. Se prendo ogni $x in A$ per cui tale prima proposizione sia falsa (cioè prendo tutti gli elementi che non fanno parte di un insieme A -anche non vuoto- ossia sono elementi di un terzo insieme C) per cui però valga $x inB$ (cioè fanno parte di B), a questo punto avrei: $\forallx(x inA =>x inB)$ vera (sempre per la questione F=>V), dunque l'insieme degli elementi di B che non fanno parte di un sottoinsieme A mi fanno scrivere che $A⊆B$, ma non ne afferro il senso. Deve sfuggirmi qualcosa di basilare
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Risposte
Vediamo di mettere un punto fermo. Se $A={1,2,3,4,5}$, $B={1,2,3,4,5,6,7}$ visto che ogni $x$ di $A$ appartiene a $B$ allora $A$ è un sottoinsieme di $B$ (proprio visto che $6$ e $7$ sono elementi di $B$ ma non di $A$). L'elemento $6$ è un elemento del complementare di $A$ che appartiene a $B$ (lo stesso dicasi per il $7$) mentre, assumendo per universo l'insieme $N$ dei naturali, l'elemento $9$ appartiene al complementare di $B$ per cui non appartiene né ad $A$ né a $B$. Tutto il resto sono esercizi manuali per filosofi. 
L.
L.
"moenia":
Ah ok, questo mi sfuggiva: io pensavo di poter restringere l'universo. Mi sa che ora ho capito: prendendo tutte le x che stanno in A e B rendono sicuramente vera $(x∈A⇒x∈B)$, così come tutte le x che non sono in A e che rendono automaticamente vero l'enunicato (e considero tutte le x dell'insieme universo).
Se tuttavia A avesse delle x che non sono in B allora non varrebbe $x∈B$ per certe x dell'insieme universo ed avrei che $(x∈A⇒x∈B)$ non è più vera per ogni x!
D'altra parte questo vale anche per l'insieme vuoto perché tutte le x dell'universo non appartengono ad A e rendono falsa l'antecedente e di conseguenza tutta l'implicazione SEMPRE.
Penso ora sia corretto, sbagliavo proprio l'impostazione dell'insieme su cui valutare il per ogni e ne stavo uscendo pazzo. Eppure sembrava tornare per molte cose. Ti ringrazio molto per la pazienza, senza il tuo aiuto mi sa che non me ne sarei MAI accorto.
Guarda che è proprio l'opposto: se l'antecedente è falsa l'implicazione è sempre vera indipendentemente dal valore di verità del conseguente. L'unico caso in cui l'implicazione è falsa è quello di antecedente vero e conseguente falso ovvero il vero non può implicare il falso.
Tutto il resto è noia....
L.
se l'antecedente è falsa l'implicazione è sempre vera indipendentemente dal valore di verità del conseguente
Forse mi son spiegato male, ma è ciò che ho scritto
(o comunque che intendevo 
).--------------------------------------
@ghira:
Ad ogni modo pensavo di aver risolto ma non credo, nel senso che ora ho un mega dubbio, ma nella definizione (x∈A⇒x∈B) il "=>" è una implicazione logica o materiale?
Perché noi l'abbiamo intesa come materiale, ma se fosse logica tutto il discorso che abbiamo fatto non avrebbe senso.
Questo perché l'implicazione logica dice solo che se x in A èvera x in B lo è, mentre abbiamo fatto un ragionamento di falsità anche dell'antecedente con i valori assunti da x.
Moenia, come vuoi che i sottoinsiemi siano definiti?
Credo di non aver capito la domanda XD, vorrei che siano definiti in modo da rispettare delle condizioni che in modo ingenuo conosco dalle superiori. Però non ho capito cosa c'entri con l'implicazione logica o materiale.
Intendo cioè dire che potrei anche definirli con una implicazione logica e non materiale come invece abbiamo fatto prima. Ad esempio dico un sottoinsieme è quell'insieme di x che se x è in A allora x è in B (e questa mi pare una implicazione logica non materiale). Se è vero che è in A automaticamente è in B allora è un sottoinsieme.
Ricordando che l'implicazione logica (non materiale) garatisce che se è vero A è vero B, ma non è un connettivo logico.
Mi spiego meglio, siccome quando una implicazione materiale è una tautologia si ha che l'implicazione materiale può essere sostituita dalla implicazione logica, allora se io prendo la definizione $forallx (x∈A⇒x∈B)$ so che quando vera scrivo A contenuto in B, ebbene quando A è sottoinsieme di B $forallx (x∈A⇒x∈B)$ tale implicazione è sempre vera (ossia una tautologia qualunque sia il valore di x), quindi se anziché scrivere $forallx (x∈A⇒x∈B)$ scrivessi con l'implicazione logica -> (e non la materiale =>) potrei dire che A è sottoinsieme di B se $x∈A->x∈B$.
Non so se ho espresso bene il dubbio.
Intendo cioè dire che potrei anche definirli con una implicazione logica e non materiale come invece abbiamo fatto prima. Ad esempio dico un sottoinsieme è quell'insieme di x che se x è in A allora x è in B (e questa mi pare una implicazione logica non materiale). Se è vero che è in A automaticamente è in B allora è un sottoinsieme.
Ricordando che l'implicazione logica (non materiale) garatisce che se è vero A è vero B, ma non è un connettivo logico.
Mi spiego meglio, siccome quando una implicazione materiale è una tautologia si ha che l'implicazione materiale può essere sostituita dalla implicazione logica, allora se io prendo la definizione $forallx (x∈A⇒x∈B)$ so che quando vera scrivo A contenuto in B, ebbene quando A è sottoinsieme di B $forallx (x∈A⇒x∈B)$ tale implicazione è sempre vera (ossia una tautologia qualunque sia il valore di x), quindi se anziché scrivere $forallx (x∈A⇒x∈B)$ scrivessi con l'implicazione logica -> (e non la materiale =>) potrei dire che A è sottoinsieme di B se $x∈A->x∈B$.
Non so se ho espresso bene il dubbio.
"moenia":
Ad esempio dico un sottoinsieme è quell'insieme di x che se x è in A allora x è in B (e questa mi pare una implicazione logica non materiale).
"quell'insieme di $x$"?
Mi sono espresso male , il senso era: delle (dato dalle) x. Però il resto del dubbio rimane coerente poiché lì stavo solo spiegando a parole questo:
, il senso era: delle (dato dalle) x. Però il resto del dubbio rimane coerente poiché lì stavo solo spiegando a parole questo:"moenia":
Ricordando che l'implicazione logica (non materiale che indico con ->) garatisce che se è vero A è vero B, ma non è un connettivo logico (come è =>).
Mi spiego meglio, siccome quando una implicazione materiale è una tautologia si ha che l'implicazione materiale può essere sostituita dalla implicazione logica, allora se io prendo la definizione $forallx (x∈A⇒x∈B)$ so che quando vera scrivo A contenuto in B; ebbene quando A è sottoinsieme di B $forallx (x∈A⇒x∈B)$ tale implicazione è sempre vera (ossia una tautologia qualunque sia il valore di x), quindi se anziché scrivere $forallx (x∈A⇒x∈B)$ scrivessi con l'implicazione logica -> (e non la materiale =>) potrei dire che A è sottoinsieme di B se $x∈A->x∈B$.
Mi dispiace. Non capisco la tua obiezione o il tuo problema o ... qualunque cosa sia.
Posso chiederti su cosa?
Intendo sulla questione implicazione logica vs implicazione materiale o proprio sul ragionamento della tautoloiga?
Chiedo per provare a riformularlo se capisco il punto in cui mi sono spiegato male
Grazie ancora.
Intendo sulla questione implicazione logica vs implicazione materiale o proprio sul ragionamento della tautoloiga?
Chiedo per provare a riformularlo se capisco il punto in cui mi sono spiegato male
Grazie ancora.
"moenia":
Posso chiederti su cosa?
Intendo sulla questione implicazione logica vs implicazione materiale o proprio sul ragionamento della tautoloiga?
Chiedo per provare a riformularlo se capisco il punto in cui mi sono spiegato male
Grazie ancora.
Credo di essere venuto a capo della faccenda. La proposizione $AA x(x \in A => x \in B)$ è vera se per ogni valore di $x$ è vera la $(x \in A => x \in B)$. Ora ogni $x$ o sta in $A$ o sta in $A^C$. Se sta in $A^C$ l'antecedente è falso per cui l'implicazione $(x \in A => x \in B)$ è vera sia che $x \in B$ sia che $x \notin B$. Fin qui ci siamo. Se $x \inA$ l'implicazione $(x \in A => x \in B)$ è vera solo se $x \in B$ (perché il vero non può implicare il falso oppure perché la combinazione vero falso per antecedente e conseguente rende falsa l'implicazione per cui fa saltare la condizione necessaria posta all'inizio). Anche in questo caso ci siamo. Perché sia $A \sube B$ deve essere che per tutti gli $x$ se $x \notin A$ allora $x$ può stare in tutto $A^C$ ma la cosa non ci interessa (e non inficia il valore di verità della proposizione $AA x(x \in A => x \in B)$) ma se $x in A$ allora è necessariamente $x \in B$ da cui la tesi tanto agognata.
E con questo la faccenda credo sia chiusa.
Lorenzo
Ero giunto alla stessa conclusione, sono contento di aver fatto capire il dubbio (inizialmente non eravamo sulla stessa lunghezza d'onda, seppur avessi capito le te risposte precedenti, era proprio di questo che discutevo con ghira). Sono contento della tua risposta che conferma il non essermela risposta in modo insensato ma razionale e ti ringrazio MOLTISSIMO.
Buona giornata
e ti ringrazio MOLTISSIMO.Buona giornata
Scusami cionilorenzo forse non ho capito io, ma in
$∀x(x∈A⇒x∈B) $ se $x in A$ essendo per ipotesi $A sube B$ non é una condizione sufficiente per dire che $x in B$ e non necessaria.
Grazie
$∀x(x∈A⇒x∈B) $ se $x in A$ essendo per ipotesi $A sube B$ non é una condizione sufficiente per dire che $x in B$ e non necessaria.
Grazie
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