Curiosità di Algebra (storia e stato dell'arte attuale)
Non sapevo se inserire in generale o in algebra, ho letto una breve introduzione alla storia dell'agenda classica che mi é piaciuta moltissimo, però non so bene se ho capito effettivamente quello che ho letto, inoltre mi sono sorte alcune altre domande.
Per quel che ho letto l'algebra classica é incentrata sullo studio delle equazioni algebriche in una variabile, chiamate anche polinomi in una variabile. La storia classica fa partire questo studio più o meno 3000 anni fa con le civiltà antiche dove si trovano i primi documenti scritti in cui compare la soluzione generale di un equazione di secondo grado (con particolare attenzione nell'evitare soluzioni non razionali), e termina intorno alla fine del 1700 con la teoria di Galois, in cui si ha la comprensione "definitiva" dei polinomi in una variabile. (Dico bene, o sono in errore?)
L'algebra lineare si occupa invece dei sistemi di polinomi lineari in più variabili ed é fortemente legata alla geometria, di fatti alcuni la chiamano algebra lineare altri geometria.
L'algebra che si occupa dello studio dei sistemi di polinomi in più variabili ho letto che prende il nome di geometria algebrica.
Premetto che non conosco la teoria di Galois, ma, mi chiedevo, se questo é vero allora l'algebra classica ha come naturale continuazione la geometria e la geometria algebrica...
Perché non ho mai sentito parlare di teoria di Galois in geometria? (Non so per la geometria algebrica, ma a geometria1,2 non ho mai sentito neanche accennare questa teoria, mentre ad algebra qualsiasi testo base finisce con la teoria di Galois).
Inoltre anche per la geometria e la geometria algebrica si é arrivati ad una teoria "definitiva" nello stesso esempio della teoria di Galois per l'algebra classica?
Per quel che ho letto l'algebra classica é incentrata sullo studio delle equazioni algebriche in una variabile, chiamate anche polinomi in una variabile. La storia classica fa partire questo studio più o meno 3000 anni fa con le civiltà antiche dove si trovano i primi documenti scritti in cui compare la soluzione generale di un equazione di secondo grado (con particolare attenzione nell'evitare soluzioni non razionali), e termina intorno alla fine del 1700 con la teoria di Galois, in cui si ha la comprensione "definitiva" dei polinomi in una variabile. (Dico bene, o sono in errore?)
L'algebra lineare si occupa invece dei sistemi di polinomi lineari in più variabili ed é fortemente legata alla geometria, di fatti alcuni la chiamano algebra lineare altri geometria.
L'algebra che si occupa dello studio dei sistemi di polinomi in più variabili ho letto che prende il nome di geometria algebrica.
Premetto che non conosco la teoria di Galois, ma, mi chiedevo, se questo é vero allora l'algebra classica ha come naturale continuazione la geometria e la geometria algebrica...
Perché non ho mai sentito parlare di teoria di Galois in geometria? (Non so per la geometria algebrica, ma a geometria1,2 non ho mai sentito neanche accennare questa teoria, mentre ad algebra qualsiasi testo base finisce con la teoria di Galois).
Inoltre anche per la geometria e la geometria algebrica si é arrivati ad una teoria "definitiva" nello stesso esempio della teoria di Galois per l'algebra classica?
Risposte
termina intorno alla fine del 1700 con la teoria di Galois, in cui si ha la comprensione "definitiva" dei polinomi in una variabile
Siano $k\le n$ due interi positivi, e $t_1,...,t_s$ degli altri interi la cui somma è $n$. Qual è il coefficiente di $X^k$ nel polinomio
\[
\prod_{\ell=1}^s (1+X^{t_\ell})
\]
Ops, non si sa: è un problema aperto che generalizza il trovare una forma chiusa per la funzione di partizione di un intero. E allora questa "comprensione definitiva" in cosa consiste?
E' una storia molto lunga quella che chiedi. Ti rispondo io (voialtri state zitti, ché non sapete rispondere), ma lo faccio appena ho tempo sufficiente a organizzare un discorso completo (=qualche ora).
( Scherzo ovviamente: qualcun altro di voi sa certamente rispondere 
)
)
Avevo sonno ieri.
Mi sono ricordato che questa conversazione un po' risponde alla tua domanda. viewtopic.php?p=888279#p888279
Quello che ti interessa è la "teoria di Galois differenziale": la stessa cosa della teoria di Galois, ma con gruppi di Galois di equazioni differenziali e non di polinomi (la se $D$ è una derivazione in un anello, non c'è poi una differenza enorme tra gli operatori differenziali che sono elementi di \(k[D] = \{\sum a_i D^i \mid a_i \in k\}\) e polinomi, no?).
Mi sono ricordato che questa conversazione un po' risponde alla tua domanda. viewtopic.php?p=888279#p888279
Quello che ti interessa è la "teoria di Galois differenziale": la stessa cosa della teoria di Galois, ma con gruppi di Galois di equazioni differenziali e non di polinomi (la se $D$ è una derivazione in un anello, non c'è poi una differenza enorme tra gli operatori differenziali che sono elementi di \(k[D] = \{\sum a_i D^i \mid a_i \in k\}\) e polinomi, no?).
Non ho capito, ho letto l'intervento di Killing ma già non conosco la teoria di Galois classica (torno ad i miei umili giochi-passatempo matematici 
)
Indrjo ragazzi in inglese é ok, in tedesco non esiste
)Indrjo ragazzi in inglese é ok, in tedesco non esiste
L'hai messa tu in mezzo la teoria di Galois.. 
Un libro espressamente dedicato alla storia dell'algebra è il seguente:
John Derbyshire - Ignote quantità - Storia reale e immaginaria dell'algebra (tit. orig: Unknown Quantity. A Real and Imaginary History of Algebra) Bollati Boringhieri, Torino, 2011. pp. 362, € 32.
Comincia dai Mesopotamici e dagli Egizi, ed arriva fino ai giorni nostri. Oltre alla storia vera e propria, contiene dei capitoli (chiamati "Sillabari Matematici") che forniscono un'introduzione ai concetti che saranno esposti nei capitoli successivi.
Devo dire che a mano a mano che ci si avvicina ai giorni nostri, l'esposizione si fa un po' oscura e difficile da seguire; d'altronde, non è facile spiegare a parole i concetti dell'algebra moderna.
Un altro libro che fa diffusamente la storia dell'algebra è il classico di Morris Kline, Storia del Pensiero Matematico (tit. orig. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, 1972); Einaudi, Torino, 1991 (la copia in mio possesso ha il prezzo cancellato, tra l'altro non so se il libro sia ancora in catalogo).
Un libro invece dedicato all'algebra medievale e rinascimentale (fino agli algebristi italiani del XV- XVI secolo) è il seguente:
Catastini-Ghione-Rashed - Algebra - Origini e sviluppi tra mondo arabo e mondo latino - Carocci, Roma, 2016, € 21.
Questo libro contiene la prima traduzione italiana del testo di Al Khwarizmi (Kitab al-jabr al-muqabala).
Hope this may help.
John Derbyshire - Ignote quantità - Storia reale e immaginaria dell'algebra (tit. orig: Unknown Quantity. A Real and Imaginary History of Algebra) Bollati Boringhieri, Torino, 2011. pp. 362, € 32.
Comincia dai Mesopotamici e dagli Egizi, ed arriva fino ai giorni nostri. Oltre alla storia vera e propria, contiene dei capitoli (chiamati "Sillabari Matematici") che forniscono un'introduzione ai concetti che saranno esposti nei capitoli successivi.
Devo dire che a mano a mano che ci si avvicina ai giorni nostri, l'esposizione si fa un po' oscura e difficile da seguire; d'altronde, non è facile spiegare a parole i concetti dell'algebra moderna.
Un altro libro che fa diffusamente la storia dell'algebra è il classico di Morris Kline, Storia del Pensiero Matematico (tit. orig. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, 1972); Einaudi, Torino, 1991 (la copia in mio possesso ha il prezzo cancellato, tra l'altro non so se il libro sia ancora in catalogo).
Un libro invece dedicato all'algebra medievale e rinascimentale (fino agli algebristi italiani del XV- XVI secolo) è il seguente:
Catastini-Ghione-Rashed - Algebra - Origini e sviluppi tra mondo arabo e mondo latino - Carocci, Roma, 2016, € 21.
Questo libro contiene la prima traduzione italiana del testo di Al Khwarizmi (Kitab al-jabr al-muqabala).
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