Costruzione del campo di spezzamento
Che esista un campo di spezzamento per un polinomio è evidente, basta aggiungere le radici a partire dal campo base ottenendo così successive estensioni sino al campo di spezzamento , quello che non riesco a capire è perché questo procedimento , conduca sempre ad un campo di spezzamento isomorfo e quindi unico.
Si può dimostrare solo con l'induzione?
Si può dimostrare solo con l'induzione?
Risposte
"francicko":
Questo risultato è generale , cioè valido scegliendo un qualsiasi polinomio, e ci assicura che il campo di spezzamento a meno di isomorfismi è unico, giusto?
Assolutamente no, tu hai fatto una supposizione cruciale, questa:
supposti nei rispettivi campi i polinomi $p_1(x)$ ed $p_2(x)$ irriducibili
Senza questa ipotesi quello che dici qui
$(F[alpha](x))//(x^2-alphax+alpha^2)~~(F[beta](x))//(x^2-phi(alpha)x+phi(alpha)^2)$
è falso.
E comunque ti faccio osservare che continui a fare affermazioni senza dimostrare niente. Non è così che funziona la matematica.
D'accordo, però posso dire che se i due polinomi $p_1(x)$ ed $p_2(x)$ se non sono irriducibili hanno un fattore irriducibile? Giusto?
Sì lo puoi dire.
Sia $F$ un campo ed, $p(x)$ un polinomio ivi riducibile, con $p(x)=s(x)t(x)$ ed $s(x)$ , $t(x)$ irriducibili in $F$
sia $alpha$ una radice di $s(x)$ ed $beta$ una radice di $t(x)$, posso considerare le estensioni di campo
$F[alpha]~~F//(s(x))=F_1$ ed $F[beta]~~F//((t(x))=F_2$
ed l'estensione di campo
$F_1//((t(x))~~F_1[beta]$ in quanto $t(x)$ irriducibile in $F_1$, risulterà così $F_1[beta]$ essere campo di spezzamento di $p(x)$ come lo sara analogamente $F_2[alpha]$, mi sbaglio?
sia $alpha$ una radice di $s(x)$ ed $beta$ una radice di $t(x)$, posso considerare le estensioni di campo
$F[alpha]~~F//(s(x))=F_1$ ed $F[beta]~~F//((t(x))=F_2$
ed l'estensione di campo
$F_1//((t(x))~~F_1[beta]$ in quanto $t(x)$ irriducibile in $F_1$, risulterà così $F_1[beta]$ essere campo di spezzamento di $p(x)$ come lo sara analogamente $F_2[alpha]$, mi sbaglio?
Ti sbagli.
Hai ragione sto facendo confusione!!
Sia $F$ è un campo , un polinomio$p(x)$ a coefficienti in $F$ si dice irriducibile se non si puo decomporre nel prodotto di due o piu polinomio , non ridotti a delle costanti, aventi anch'essi coefficienti in $F$.
Questa definizione va bene?
Sia $F$ un campo $p(x)$ un polinomi ivi riducibile , sia inoltre $p(x)=p_1(x)p_2(x)....p_i(x)$ con $p_1(x),p_2(x),...,p_i(x)$ irriducibili,
Sia $alpha_1$ una radice del polinomio $p_1(x)$, $F[alpha_1]=F_1$ risulterà ovviamente un campo,
sia $alpha_2$ una radice del polinomio $p_2(x)$
il polinomio $p_2(x)$ risulterà irriducibile anche in $F_1$?
Sia $F$ è un campo , un polinomio$p(x)$ a coefficienti in $F$ si dice irriducibile se non si puo decomporre nel prodotto di due o piu polinomio , non ridotti a delle costanti, aventi anch'essi coefficienti in $F$.
Questa definizione va bene?
Sia $F$ un campo $p(x)$ un polinomi ivi riducibile , sia inoltre $p(x)=p_1(x)p_2(x)....p_i(x)$ con $p_1(x),p_2(x),...,p_i(x)$ irriducibili,
Sia $alpha_1$ una radice del polinomio $p_1(x)$, $F[alpha_1]=F_1$ risulterà ovviamente un campo,
sia $alpha_2$ una radice del polinomio $p_2(x)$
il polinomio $p_2(x)$ risulterà irriducibile anche in $F_1$?
No. Ma poi scusami eh, quando si formula una domanda è buona norma, per sé stessi e per rispetto degli altri, provare a formulare qualche esempio il più semplice possibile. Da come scrivi sembra che tu formuli delle domande a caso e le posti qua, senza pensarci nemmeno un minuto. Ti rendi conto del fatto che così facendo non imparerai mai niente, vero?
Hai ragione! Faccio confusione!
Su Wikipedia leggevo la seguente argomentazione, sia $K$ un campo $p(x)$ un polinomio a coefficienti in tale campo che si fattorizzi in $K[x]$ , con $p(x)=p_1(x)•p_2(x)•......•p_n(x)$ allora l'anello quoziente
$K_2[x]~~K[x]//(p(x))$ è un campo che contiene $K$ ed una radice di $p_1(x)$, fin qui tutto bene. Poi però afferma il procedimento può essere ripetuto ai fattori$p_2(x),p_3(x),....p_n(x)$, e termina dal momento che il grado di $p(x)$ è finito, il campo che si ottiene cosi è esattamente un campo di spezzamento di $p(x)$ su $K$, questo mi sembra palesemente errato, perché preso un $K_(i-1)[x]//(p_i(x))$, il polinomio $p_i(x)$ non è detto che sia irriducibile in $K_(i-1)$, se prendo invece ad esempio il polinomio $p(x)=(x^2-2)(x^2-3)$ a coefficienti in $QQ$, indicati con $p_1(x)=(x^2-2)$ ed $p_2(x)=(x^2-3)$, avremo che $QQ[x]//(p_1(x))~~QQ[sqrt2]=QQ_1$ ed $E=QQ_1//(p_2(x))$ campo di spezzamento, avente base come spazio vettoriale ${a_0+a_1sqrt2+a_2sqrt3+a_3sqrt2sqrt3}$ , proprio perche in questo particolare caso posso facilmente stabilire che $p_2(x)=(x^2-3)$ è irriducibile in $QQ_1$, inoltre si osserva facilmente che se inizio il procedimento dal polinnomio $p_2(x)$ ottengo il campo di spezzamento $E'~~E$ secondo l'isomorfismo $phi$ che porta $phi(sqrt2)=sqrt3$ ed $phi(sqrt3)=sqrt2$, potreste darmi qualche delucidazioni a riguardo?
Scusatemi se faccio confusione!
$K_2[x]~~K[x]//(p(x))$ è un campo che contiene $K$ ed una radice di $p_1(x)$, fin qui tutto bene. Poi però afferma il procedimento può essere ripetuto ai fattori$p_2(x),p_3(x),....p_n(x)$, e termina dal momento che il grado di $p(x)$ è finito, il campo che si ottiene cosi è esattamente un campo di spezzamento di $p(x)$ su $K$, questo mi sembra palesemente errato, perché preso un $K_(i-1)[x]//(p_i(x))$, il polinomio $p_i(x)$ non è detto che sia irriducibile in $K_(i-1)$, se prendo invece ad esempio il polinomio $p(x)=(x^2-2)(x^2-3)$ a coefficienti in $QQ$, indicati con $p_1(x)=(x^2-2)$ ed $p_2(x)=(x^2-3)$, avremo che $QQ[x]//(p_1(x))~~QQ[sqrt2]=QQ_1$ ed $E=QQ_1//(p_2(x))$ campo di spezzamento, avente base come spazio vettoriale ${a_0+a_1sqrt2+a_2sqrt3+a_3sqrt2sqrt3}$ , proprio perche in questo particolare caso posso facilmente stabilire che $p_2(x)=(x^2-3)$ è irriducibile in $QQ_1$, inoltre si osserva facilmente che se inizio il procedimento dal polinnomio $p_2(x)$ ottengo il campo di spezzamento $E'~~E$ secondo l'isomorfismo $phi$ che porta $phi(sqrt2)=sqrt3$ ed $phi(sqrt3)=sqrt2$, potreste darmi qualche delucidazioni a riguardo?
Scusatemi se faccio confusione!
È sottinteso che ogni volta aggiunge una radice di un fattore irriducibile (e l'irriducibilità dei $p_i(x)$ ovviamente può cambiare nel passare da un campo all'altro). Cioè il fattore che prende di volta in volta non è necessariamente uno dei $p_i$.
L'argomento lo capiresti molto meglio se tu studiassi il principio di induzione (che non è altro che una riformulazione del principio del buon ordinamento di $NN$).
La funzione $phi$ di cui parli alla fine non è un isomorfismo di campi perché se chiamiamo $a=sqrt(2)$, $b=sqrt(3)$, se $phi$ fosse omomorfismo di campi avremmo
$2=1+1=phi(1)+phi(1)=phi(1+1)=phi(2)=phi(a^2)=phi(a)^2=b^2=3$
una contraddizione.
L'argomento lo capiresti molto meglio se tu studiassi il principio di induzione (che non è altro che una riformulazione del principio del buon ordinamento di $NN$).
La funzione $phi$ di cui parli alla fine non è un isomorfismo di campi perché se chiamiamo $a=sqrt(2)$, $b=sqrt(3)$, se $phi$ fosse omomorfismo di campi avremmo
$2=1+1=phi(1)+phi(1)=phi(1+1)=phi(2)=phi(a^2)=phi(a)^2=b^2=3$
una contraddizione.
Grazie per le risposte ed la pazienza!
Nell'esempio che ho riportato, hai ragione ho sbagliato, infatti $QQ[sqrt2]$ ed $QQ[sqrt3]$ sono isomorfi come spazio vettoriali, ma non come campi, un isomorfismo può essere ad esempio $phi(sqrt2)=-sqrt2$, $phi(sqrt2)=-sqrt(2)$, $phi(sqrt3)=-sqrt3$, $phi(-sqrt3)=sqrt3$, giusto?
Ritornando al discorso dell'unicità del campo di spezzamento, per potere utilizzare un argomentazione induttiva si ha bisogno di una grandezza a valori interi, e per l'estensione di campo viene naturale utilizzare la dimensione di $E$ sul campo di partenza $F$, mi sbaglio?
Per $|E:F|=1$ è banalmente vero perché $E=F$.
Anche per $|E:F|=2$ è vero perché si ha $E=F(a)=F(b)$ con $a$ e $b$ radici di un polinomio di secondo grado, irriducibile, ed$F[a]~~F$ secondo l' isomorfismo che porta $a$ in $b$ giusto?
Quindi la base dell'induzione è assicurata.
Ora per poter dimostrare che è vero per ogni $n$ devo far vedere che ciò implica che sia vero anche per $n+1$ , come posso fare agendo sulla dimensione?
Nell'esempio che ho riportato, hai ragione ho sbagliato, infatti $QQ[sqrt2]$ ed $QQ[sqrt3]$ sono isomorfi come spazio vettoriali, ma non come campi, un isomorfismo può essere ad esempio $phi(sqrt2)=-sqrt2$, $phi(sqrt2)=-sqrt(2)$, $phi(sqrt3)=-sqrt3$, $phi(-sqrt3)=sqrt3$, giusto?
Ritornando al discorso dell'unicità del campo di spezzamento, per potere utilizzare un argomentazione induttiva si ha bisogno di una grandezza a valori interi, e per l'estensione di campo viene naturale utilizzare la dimensione di $E$ sul campo di partenza $F$, mi sbaglio?
Per $|E:F|=1$ è banalmente vero perché $E=F$.
Anche per $|E:F|=2$ è vero perché si ha $E=F(a)=F(b)$ con $a$ e $b$ radici di un polinomio di secondo grado, irriducibile, ed$F[a]~~F$ secondo l' isomorfismo che porta $a$ in $b$ giusto?
Quindi la base dell'induzione è assicurata.
Ora per poter dimostrare che è vero per ogni $n$ devo far vedere che ciò implica che sia vero anche per $n+1$ , come posso fare agendo sulla dimensione?
"francicko":Studiando
come posso fare agendo sulla dimensione?
sono cose che trovi sul libro "basic algebra I" di Jacobson. Io non sono disponibile a scriverti qui tutta la dimostrazione.
"francicko":
Anche per $|E:F|=2$ è vero perché si ha $E=F(a)=F(b)$ con $a$ e $b$ radici di un polinomio di secondo grado, irriducibile, ed$F[a]~~F$ secondo l' isomorfismo che porta $a$ in $b$ giusto?
No, non è giusto. Se non scrivi tutti i dettagli di tutte le dimostrazioni non farai mai neanche un passo in avanti nella tua comprensione dell’argomento. Inoltre, come sia io che Martino ti ripetiamo da anni, tu non hai bisogno di un testo di teoria di Galois, tu hai bisogno di cancellare tutto quel poco che credi di sapere di teoria di Galois, aprire un libro di Algebra I e studiarlo da pagina 1 in poi, facendo tutti gli esercizi. Poi devi fare la stessa cosa con un libro di algebra lineare. Dopodichè puoi iniziare a pensare di capire qualcosina di teoria di Galois.
Appena posso mi procurerò il testo basic in algebra, come mi avete consigliato, nel frattempo però riporto la dimostrazione del testo di cui sono in possesso.
Premetto che se voglio dimostrare che due campi di spezzamento di uno stesso polinomio sono isomorfi,attraverso il processo induttivo devo usare un indicatore a valori interi, e cosa di piu naturale se non la dimensione dell'estensione sul campo base, giusto?
Cioè supponiamo che il risultato sia vero per ogni campo
$F_0$ e per ogni polinomio $f(x)$ a coefficienti in $F_0$ , tali che$|E:F_0|
Andiamo ora direttamente al teorema da dimostrare:
Sia $f(x)$ un polinomio irriducibile di $F[x]$ con $F$ campo, e sia $E_1$ un un campo di spezzamento di $f$ su $F$ , sia $E_2$ un campo di spezzamento di $f'$ $in$ $F'[x]$ su $F'$ allora esiste un isomorfismo $sigma :$ $E_1->E_2$
con $sigma|F=phi'$
Procedendo per induzione sul grado $|E_1:F|$, se
$E_1:F|=1$ si ha $E_1=F$ quindi $F$ contiene tutte le radici $alpha_i$ di $f$ ed $E_2$ di conseguenza contiene tutte le radici $alpha'_i$ di $f'$ pertanto sara $E_2=F'$ , avremo allora $sigma$ $=$ $phi'$
Supponiamo ora che sia $ |E_1:F|>1$, sia inoltre $alpha_1$ $in$ $E_1$ una radice di $f$ ed $alpha_2$ una radice di $f'$ $in$ $E_2$, sappiamo che esiste un isomorfismo tale che $F[alpha_1] ~~F'[alpha _2]$ e che manda $a$ in $a'$ per ogni $a$ $in$ $F$.
Osserviamo che $|E:F|=|E_1:F[alpha_1]||F[alpha_1]:F|$ per
la formula dei gradi, e poiché $F[alpha_1]:F>1$ segue che
$|E_1:F|>|E_1:F[alpha_1]$.
Inoltre $E_1$ è un campo di spezzamento di $f$ su $F[alpha_1]$ mentre $E&2$ è un campo di spezzamento di $f'$ su $F[a_2]$
Conclude dato che $| E_1:F|>|E_1: F[alpha_1]|$ possiamo concludere per induzione..Ecco quest'ultima parte non l'ho capita!
Premetto che se voglio dimostrare che due campi di spezzamento di uno stesso polinomio sono isomorfi,attraverso il processo induttivo devo usare un indicatore a valori interi, e cosa di piu naturale se non la dimensione dell'estensione sul campo base, giusto?
Cioè supponiamo che il risultato sia vero per ogni campo
$F_0$ e per ogni polinomio $f(x)$ a coefficienti in $F_0$ , tali che$|E:F_0|
Andiamo ora direttamente al teorema da dimostrare:
Sia $f(x)$ un polinomio irriducibile di $F[x]$ con $F$ campo, e sia $E_1$ un un campo di spezzamento di $f$ su $F$ , sia $E_2$ un campo di spezzamento di $f'$ $in$ $F'[x]$ su $F'$ allora esiste un isomorfismo $sigma :$ $E_1->E_2$
con $sigma|F=phi'$
Procedendo per induzione sul grado $|E_1:F|$, se
$E_1:F|=1$ si ha $E_1=F$ quindi $F$ contiene tutte le radici $alpha_i$ di $f$ ed $E_2$ di conseguenza contiene tutte le radici $alpha'_i$ di $f'$ pertanto sara $E_2=F'$ , avremo allora $sigma$ $=$ $phi'$
Supponiamo ora che sia $ |E_1:F|>1$, sia inoltre $alpha_1$ $in$ $E_1$ una radice di $f$ ed $alpha_2$ una radice di $f'$ $in$ $E_2$, sappiamo che esiste un isomorfismo tale che $F[alpha_1] ~~F'[alpha _2]$ e che manda $a$ in $a'$ per ogni $a$ $in$ $F$.
Osserviamo che $|E:F|=|E_1:F[alpha_1]||F[alpha_1]:F|$ per
la formula dei gradi, e poiché $F[alpha_1]:F>1$ segue che
$|E_1:F|>|E_1:F[alpha_1]$.
Inoltre $E_1$ è un campo di spezzamento di $f$ su $F[alpha_1]$ mentre $E&2$ è un campo di spezzamento di $f'$ su $F[a_2]$
Conclude dato che $| E_1:F|>|E_1: F[alpha_1]|$ possiamo concludere per induzione..Ecco quest'ultima parte non l'ho capita!
Per ipotesi induttiva, il risultato vale per gradi minori di $|E_1:F|$. A me sembra chiaro. Se non lo capisci è perché devi studiare cosa significa dimostrazione per induzione.
La cosa che mi lascia perplesso è la seguente :
sia $p^n(x)$ un polinomio a coefficienti nel campo $F$ ed ivi irriducibile , siano $alpha_1$ ed $alpha_2$ due sue radici, risulterà $F[alpha_1]~~F[alpha_2]$ , supponiamo che $p_1^(n-1)(x)=(p(x))/(x-alpha_1)$ risulti irriducibile sul campo $F[alpha_1]$ ciò non implichi che $p_2^(n-1)=(p^n(x))/(x-alpha_2)$ lo sia su $F[alpha_2]$.
Potreste supportarlo con un esempio?
Grazie!
sia $p^n(x)$ un polinomio a coefficienti nel campo $F$ ed ivi irriducibile , siano $alpha_1$ ed $alpha_2$ due sue radici, risulterà $F[alpha_1]~~F[alpha_2]$ , supponiamo che $p_1^(n-1)(x)=(p(x))/(x-alpha_1)$ risulti irriducibile sul campo $F[alpha_1]$ ciò non implichi che $p_2^(n-1)=(p^n(x))/(x-alpha_2)$ lo sia su $F[alpha_2]$.
Potreste supportarlo con un esempio?
Grazie!
Scusate l'insistenza, sopra riporto delle note di algebra, dove si dimostra l'unicità del campo di spezzamento, prendendo come esempio proprio la costruzione del campo di spezzamento del polinomio $x^3-2$ , ed afferma che il procedimento illustrato è proprio l'idea chiave per la dimostrazione dell'unicità, inoltre in seguito per la dimostrazione generale non fa nemmeno uso
dell'induzione , potete darmi delle delucidazioni a riguardo?
Grazie!
Scusate se le foto non sono proprio chiarissime!
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