Costruzione del campo di spezzamento
Che esista un campo di spezzamento per un polinomio è evidente, basta aggiungere le radici a partire dal campo base ottenendo così successive estensioni sino al campo di spezzamento , quello che non riesco a capire è perché questo procedimento , conduca sempre ad un campo di spezzamento isomorfo e quindi unico.
Si può dimostrare solo con l'induzione?
Si può dimostrare solo con l'induzione?
Risposte
L'esistenza non è evidente per niente. Riguardo l'unicità (a meno di isomorfismo), l'unica dimostrazione che conosco è per induzione, e dubito che si possa dimostrare senza usare l'induzione.
Ad esempio nel caso di un polinomio di grado $n=3$ irriducibile nel campo base , $F$, sia $E$ campo di spezzamento, se si raggiunge tale campo semplicemente
aggiungendo una qualsiasi radice del polinomio, avremo esattamente tre copie isomorfe , $E=F[x_1]=F[x_2]=F[x_3]$, avendo indicato con ${x_1,x_2,x_3}$ le distinte radici del polinomio, se cio non avviene allora aggiungendo le radici nell'ordine al campo base, otterremo $E=F[x_1,x_2]=F[x_1,x_3]=F[x_2,x_1]=F[x_2,x_3]=F[x_3_x_1]=F[x_3,x_2]$ , cioe esattanente $6$ copie isomorfe, quindi anche per $n=3$ e' vero , banalmente lo è ovviamente per $n=1$ ed $n=2$. Giusto?
aggiungendo una qualsiasi radice del polinomio, avremo esattamente tre copie isomorfe , $E=F[x_1]=F[x_2]=F[x_3]$, avendo indicato con ${x_1,x_2,x_3}$ le distinte radici del polinomio, se cio non avviene allora aggiungendo le radici nell'ordine al campo base, otterremo $E=F[x_1,x_2]=F[x_1,x_3]=F[x_2,x_1]=F[x_2,x_3]=F[x_3_x_1]=F[x_3,x_2]$ , cioe esattanente $6$ copie isomorfe, quindi anche per $n=3$ e' vero , banalmente lo è ovviamente per $n=1$ ed $n=2$. Giusto?
Non si capisce di cosa tu stia parlando, inoltre non mi sembra che ti sia chiaro cosa significhi isomorfismo.
Scusa, sicuramente faccio molta confusione, cerco di riformulare la domanda.
Sia $F$ un campo e sia $p^3(x)$ un polinomio di grado $3$ ivi irraggiungibile, indico con ${alpha_1,alpha_2,alpha_3}$ le radici distinte, essendo irriducibile sarà $(F[x])/(p^3(x))~~F[alpha_1]$, ed anche $(F[x])/(p^3(x))~~F[alpha_2]$, supponiamo inoltre che siano rispettivamente $(p^3(x))/(x-alpha_1)=p_1^2(x)$ ed
$(p^3(x))/(x-alpha_2)=p_2^2(x)$ polinomi irriducibili in
$F[alpha_1]=F_1$ ed $F[alpha_2]=F_2$
Procedendo per la costruzione di un campo di
spezzamento, avrò:
$F[alpha_1]=F_1$ ed $(F_1)/(p_1^2(x))~~F_1[alpha_2]=E_1$
Campo di spezzamento .
$F[alpha_2]=F_2$, ed $F_2/(p_2^2(x))~~F_2[alpha_1]=E_2$
Campo di spezzamento.
Dovrei fare vedere che $E_1~~E_2$ come si può fare ?
Sicuramente dovrei trovare un isomorfiso, giusto?
Sia $F$ un campo e sia $p^3(x)$ un polinomio di grado $3$ ivi irraggiungibile, indico con ${alpha_1,alpha_2,alpha_3}$ le radici distinte, essendo irriducibile sarà $(F[x])/(p^3(x))~~F[alpha_1]$, ed anche $(F[x])/(p^3(x))~~F[alpha_2]$, supponiamo inoltre che siano rispettivamente $(p^3(x))/(x-alpha_1)=p_1^2(x)$ ed
$(p^3(x))/(x-alpha_2)=p_2^2(x)$ polinomi irriducibili in
$F[alpha_1]=F_1$ ed $F[alpha_2]=F_2$
Procedendo per la costruzione di un campo di
spezzamento, avrò:
$F[alpha_1]=F_1$ ed $(F_1)/(p_1^2(x))~~F_1[alpha_2]=E_1$
Campo di spezzamento .
$F[alpha_2]=F_2$, ed $F_2/(p_2^2(x))~~F_2[alpha_1]=E_2$
Campo di spezzamento.
Dovrei fare vedere che $E_1~~E_2$ come si può fare ?
Sicuramente dovrei trovare un isomorfiso, giusto?
Ma $F_1[alpha_2]$ e $F_2[alpha_1]$ sono uguali tra loro (per costruzione). Sono entrambi uguali a $F[alpha_1,alpha_2]$. Essendo uguali, sono ovviamente isomorfi.
Per questo dico che secondo me non ti è chiaro cosa significhi isomorfismo.
Per questo dico che secondo me non ti è chiaro cosa significhi isomorfismo.
Lasciando perdere per ora il campo di spezzamento, pongo un altra domanda:
Sia $F$ un campo $p^n(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile, ${alpha_1,alpha_2,...,alpha_n}$ le sue radici distinte, indichiamo con:
$F[alpha_1]=F_1~~F[alpha_2]=F_2,....,~~F[alpha_n]=F_n$
i rispettivi campi isomorfi.
Indichiamo inoltre con:
$p_1^(n-1)(x)=(p^n(x))/(x-alpha_1),$ $p_2^(n-1)(x)=(p^n(x))/(x-alpha_2)$ $,$ $.......,$ $p_n^(n-1)(x)=(p^n(x))/(x-alpha_n)$
I polinomi di grado $n-1$ che supponiamo irriducibili rispettivamente in $F_1,F_2,..F_n$
Mi chiedevo se i campi
$F_1//p_1^(n-1)(x),$ $F_2//p_2^(n-1)(x)$ $,.....$ $,F_n//p_n^(n-1)(x)$ risultano tutti tra loro isomorfi?
Sia $F$ un campo $p^n(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile, ${alpha_1,alpha_2,...,alpha_n}$ le sue radici distinte, indichiamo con:
$F[alpha_1]=F_1~~F[alpha_2]=F_2,....,~~F[alpha_n]=F_n$
i rispettivi campi isomorfi.
Indichiamo inoltre con:
$p_1^(n-1)(x)=(p^n(x))/(x-alpha_1),$ $p_2^(n-1)(x)=(p^n(x))/(x-alpha_2)$ $,$ $.......,$ $p_n^(n-1)(x)=(p^n(x))/(x-alpha_n)$
I polinomi di grado $n-1$ che supponiamo irriducibili rispettivamente in $F_1,F_2,..F_n$
Mi chiedevo se i campi
$F_1//p_1^(n-1)(x),$ $F_2//p_2^(n-1)(x)$ $,.....$ $,F_n//p_n^(n-1)(x)$ risultano tutti tra loro isomorfi?
Ha senso la domanda che ho posto?
Sì ha senso e direi che la risposta è sì, ma la dimostrazione che ho in mente non è troppo elementare.
Dovrebbe essere si la risposta perché diversamente il procedimento porterebbe alla costruzione di campi di spezzamento diversi, non isomorfi, quindi verrebbe meno l'unicità?
Inoltre si potrebbe provare a dimostrare l'asserzione in oggetto, semplicemente usando il principio induttivo?
Inoltre si potrebbe provare a dimostrare l'asserzione in oggetto, semplicemente usando il principio induttivo?
No, se lo vuoi dimostrare devi scriverne una dimostrazione formale, non basta un'idea vaga. Inoltre l'induzione secondo me in questo caso non funziona.
Se $F_1//(p_1^(n-1))~~F_2//(p_2^(n-1)(x))$ con $F_1~~F_2$ ed $p_1^(n-1)(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_(n-1)x^(n-1)$ allora se $phi$ è un isomorfismo di $F_1$ in $F_2$ dovrà essere $p_2^(n-1)=phi(a_0)+phi(a_1)(x)+phi(a_2)(x^2)+,.....,phi(a_(n-1))(x^(n-1))$ giusto?
No, dipende dall'isomorfismo.
Se è unico?
Scusa se insisto, prendiamo l'esempio del polinomio $p(x)=x^3-5$ irriducibile in $QQ$ , consideriamo le estensioni:
$F_1=QQ(root(3)(5))$ ed $F_2=QQ(root(3)(5)j)$ con $j$ radice ennesima dell'unità,
in questo caso risulta $p_1(x)=(p(x))/((x-root(3)(5)))=(x^2+root(3)(5)x+root(3)(25))$ ed
$p_2(x)=(p(x))/((x-root(3)(5)j)$ $=(x^2-root(3)(5)jx+root(3)(25)j^2)$
$(F_1[x])//(p_1(x))~~(F_2[x])//(p_2(x))$ con l'isomorfismo $phi$ tale che $phi(root(3)(5))=root(3)(5)j$ giusto?
$F_1=QQ(root(3)(5))$ ed $F_2=QQ(root(3)(5)j)$ con $j$ radice ennesima dell'unità,
in questo caso risulta $p_1(x)=(p(x))/((x-root(3)(5)))=(x^2+root(3)(5)x+root(3)(25))$ ed
$p_2(x)=(p(x))/((x-root(3)(5)j)$ $=(x^2-root(3)(5)jx+root(3)(25)j^2)$
$(F_1[x])//(p_1(x))~~(F_2[x])//(p_2(x))$ con l'isomorfismo $phi$ tale che $phi(root(3)(5))=root(3)(5)j$ giusto?
No, quello che scrivi non ha senso, a cominciare dalla notazione $F_1/(p_1(x))$ che non ha senso. Dovresti scrivere semmai $(F_1[x])/((p_1(x)))$. Sai cos'è un quoziente di un anello? (Sospetto di no).
Inoltre $phi$ non è determinato dal valore che assume in [tex]\sqrt[3]{5}[/tex], dato che [tex]\sqrt[3]{5}[/tex] appartiene a $F_1$.
In ogni caso come vedi l'isomorfismo lo hai scelto tu (e non è unico).
Inoltre $phi$ non è determinato dal valore che assume in [tex]\sqrt[3]{5}[/tex], dato che [tex]\sqrt[3]{5}[/tex] appartiene a $F_1$.
In ogni caso come vedi l'isomorfismo lo hai scelto tu (e non è unico).
Sia $F$ un campo e sia $p(x)$ un polinomio ivi irriducibile ,siano $alpha_1$ ed $alpha_2$ due radici distinte ed $F[alpha_1]$ ed $F[alpha_2]$ le due rispettive estensioni distinte , un isomorfismo $phi$ porterà l'elemento generico di $F[alpha_1]$ , $phi(a_0+a_1alpha_1+a_2alpha_1^2+...+a_(n-1)alpha_1^(n-1))$ $=$ $a_0+a_1alpha_2+a_2alpha_2^2+....+a_(n-1)alpha_2^(n-1)$ giusto?
Sia ora $g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_ix^i$ un polinomio a coefficienti in $F[alpha_1]$ ed ivi irriducibile $(F[x_1](x))//g(x)$ sara un campo , giusto?
Se considero il polinomio $t(x)=phi(b_0)+phi(b_1)x+phi(b_2)x^2+....phi(b_i)^i$
$(F[x_1](x))//g(x)$ ed $(F[x_2](x))//t(x)$ non risultano isomorfi?
Sia ora $g(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_ix^i$ un polinomio a coefficienti in $F[alpha_1]$ ed ivi irriducibile $(F[x_1](x))//g(x)$ sara un campo , giusto?
Se considero il polinomio $t(x)=phi(b_0)+phi(b_1)x+phi(b_2)x^2+....phi(b_i)^i$
$(F[x_1](x))//g(x)$ ed $(F[x_2](x))//t(x)$ non risultano isomorfi?
Risultano isomorfi sì. Ma la dimostrazione va scritta, altrimenti avrai sempre bisogno di qualcuno che ti conferma le affermazioni. Capisci il problema?
La tua non voglia di studiare (e scrivere) le dimostrazioni è il vero problema da affrontare.
La tua non voglia di studiare (e scrivere) le dimostrazioni è il vero problema da affrontare.
Ti ringrazio per le esaustive risposte , non è che non abbia letto le dimostrazioni nei testi, ultimamente mi sono procurato le fotocopie dell'Herstein, solo che trovo le dimostrazioni molto formali e farraginose, non presentano l'idea che c'è
dietro, e questo mi spiazza, probabilmente sono limitato nell'apprendimento, ma ti assicuro che provo molto interesse per la materia , appena ho tempo posto la dimostrazione dell'unicita del campo di spezzamento, in cui trovo molta difficoltà, perché è fondamentale per il proseguo.
dietro, e questo mi spiazza, probabilmente sono limitato nell'apprendimento, ma ti assicuro che provo molto interesse per la materia , appena ho tempo posto la dimostrazione dell'unicita del campo di spezzamento, in cui trovo molta difficoltà, perché è fondamentale per il proseguo.
L'Herstein non è un buon libro per un principiante. Ti suggerisco l'ottimo libro "Basic Algebra I" di N. Jacobson.
Appena posso mi procuro il testo che hai citato.
Ricapitolando, Sia $F$ un campo ed $p^n(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile, siano $alpha$ e $beta$ due radici distinte, avremo $F_1F[x]//p(x)~~F[alpha]~~F[beta]$ indichiamo con
$F_1=F[alpha]$ ed $F_2=F[beta]$ l'isomorfismo $phi$ che lascia fisso il campo $F$ tale che $phi(alpha)=beta$
può essere esteso ad i campi $(F_1[x])//(p_1^(n-1)(x))$ ed $(F_2[x])//(p^(n-2)(x))$ , supposti nei rispettivi campi i polinomi $p_1(x)$ ed $p_2(x)$ irriducibili, avremo quindi $(F_1[x])//(p_1(x))~~F_2//(p_2(x)$.
Preso ad esempio un polinomio di terzo grado del tipo $p(x)=x^3-k$ con $k$ $in$ $Q$ , ed indicato con $alpha$ e $beta$ due radici distinte, avremo :
$p(x)=(x-alpha)(x^2-alphax+alpha^2)$ ed
$p(x)= (x-beta)(x^2-betax+beta^2)$
avendo che $phi(alpha)=beta$ possiamo scrivere
$p(x)=(x-beta)(x^2-phi(alpha)x+phi(alpha)^2)$ da qui si ha
$(F[alpha](x))//(x^2-alphax+alpha^2)~~(F[beta](x))//(x^2-phi(alpha)x+phi(alpha)^2)$
Questo risultato è generale , cioè valido scegliendo un qualsiasi polinomio, e ci assicura che il campo di spezzamento a meno di isomorfismi è unico, giusto?
Ricapitolando, Sia $F$ un campo ed $p^n(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile, siano $alpha$ e $beta$ due radici distinte, avremo $F_1F[x]//p(x)~~F[alpha]~~F[beta]$ indichiamo con
$F_1=F[alpha]$ ed $F_2=F[beta]$ l'isomorfismo $phi$ che lascia fisso il campo $F$ tale che $phi(alpha)=beta$
può essere esteso ad i campi $(F_1[x])//(p_1^(n-1)(x))$ ed $(F_2[x])//(p^(n-2)(x))$ , supposti nei rispettivi campi i polinomi $p_1(x)$ ed $p_2(x)$ irriducibili, avremo quindi $(F_1[x])//(p_1(x))~~F_2//(p_2(x)$.
Preso ad esempio un polinomio di terzo grado del tipo $p(x)=x^3-k$ con $k$ $in$ $Q$ , ed indicato con $alpha$ e $beta$ due radici distinte, avremo :
$p(x)=(x-alpha)(x^2-alphax+alpha^2)$ ed
$p(x)= (x-beta)(x^2-betax+beta^2)$
avendo che $phi(alpha)=beta$ possiamo scrivere
$p(x)=(x-beta)(x^2-phi(alpha)x+phi(alpha)^2)$ da qui si ha
$(F[alpha](x))//(x^2-alphax+alpha^2)~~(F[beta](x))//(x^2-phi(alpha)x+phi(alpha)^2)$
Questo risultato è generale , cioè valido scegliendo un qualsiasi polinomio, e ci assicura che il campo di spezzamento a meno di isomorfismi è unico, giusto?
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