Corrispondenze e funzioni
Chiedo, cortesemente, aiuto per rispondere a questi quesiti:
"Sia A un insieme composto da 3 elementi e B un insieme composto da 2 elementi. Quante sono le corrispondenze biunivoche da A a B? "
Conosco il procedimento per trovare le c. biunivoche tra insiemi con la stessa cardinalità (Se A e B sono entrambi composti da n elementi, trovo le corrispondenze b. con n!), ma ignoro quello per il caso che vi pongo.
Analogamente:
Sia A un insieme composto da 1 elemento e B un insieme composto da 3 elementi. Quante sono le funzioni da A a B?
Ora, ricordo che per calcolare le funzioni in casi come questo, dove A n elementi e B m elementi, si procede con m^n, nello specifico sarebbe 3^1, ovvero 3, ma pare sia sbagliato.
Sto cercando di aiutare mio figlio a rispondere ad un test elettronico in cui occorre solo dare il risultato.
Magari se mi sblocco io, sblocco anche lui.
Grazie
"Sia A un insieme composto da 3 elementi e B un insieme composto da 2 elementi. Quante sono le corrispondenze biunivoche da A a B? "
Conosco il procedimento per trovare le c. biunivoche tra insiemi con la stessa cardinalità (Se A e B sono entrambi composti da n elementi, trovo le corrispondenze b. con n!), ma ignoro quello per il caso che vi pongo.
Analogamente:
Sia A un insieme composto da 1 elemento e B un insieme composto da 3 elementi. Quante sono le funzioni da A a B?
Ora, ricordo che per calcolare le funzioni in casi come questo, dove A n elementi e B m elementi, si procede con m^n, nello specifico sarebbe 3^1, ovvero 3, ma pare sia sbagliato.
Sto cercando di aiutare mio figlio a rispondere ad un test elettronico in cui occorre solo dare il risultato.
Magari se mi sblocco io, sblocco anche lui.
Grazie
Risposte
Ciao tinex 
Nel primo caso, essendoci appunto un numero diverso di elementi tra i due insiemi $A$ e $B$, non è possibile costruire alcuna biiezione tra gli stessi.
Nel secondo caso, come hai correttamente affermato, è possibile determinare tre diverse funzioni da $A$ a $B$. Nella fattispecie il calcolo è molto facile in quanto l'insieme $A$ ha un solo elemento e pertanto il numero di possibili funzioni è pari semplicemente alla cardinalità di $B$.
Spero di essere stato d'aiuto.
Nel primo caso, essendoci appunto un numero diverso di elementi tra i due insiemi $A$ e $B$, non è possibile costruire alcuna biiezione tra gli stessi.
Nel secondo caso, come hai correttamente affermato, è possibile determinare tre diverse funzioni da $A$ a $B$. Nella fattispecie il calcolo è molto facile in quanto l'insieme $A$ ha un solo elemento e pertanto il numero di possibili funzioni è pari semplicemente alla cardinalità di $B$.
Spero di essere stato d'aiuto.
Grazie OnlyR!
Riguardo alle funzioni il test mi dà risposta sbagliata, se scrivo 3.
Anche in questo caso: Sia A un insieme composto da 4 elementi e B un insieme composto da 2 elementi. Quante sono le funzioni da A a B? io risponderei $ 2^4 $, ovvero 16, ma la risposta risulta errata.
Riguardo alle funzioni il test mi dà risposta sbagliata, se scrivo 3.
Anche in questo caso: Sia A un insieme composto da 4 elementi e B un insieme composto da 2 elementi. Quante sono le funzioni da A a B? io risponderei $ 2^4 $, ovvero 16, ma la risposta risulta errata.
Davvero strano... Ho ricontrollato anche altre fonti eppure il ragionamento torna. A questo punto mi viene da dubitare riguardo al fatto che ci possa essere qualche errore sul test.
Il test suggerisce: bisogna considerare le funzioni come definite nel volume "la lotteria di babilonia"... il volume definisce le funzioni così: corrispondenza in cui a ogni elemento del dominio corrisponde al più un elemento del codominio... la f è una corrispondenza univoca...
ti illumina tutto questo?
ti illumina tutto questo?
No, non mi illumina perché è ovvio che associo all'unico elemento del mio insieme $A$ uno ed un solo elemento del mio insieme $B$ ma appunto, poiché lo posso fare in tre modi diversi posso ottenere tre funzioni diverse da $A$ a $B$.
Ovvio che ad un elemento del dominio non vado ad associare più elementi del codominio altrimenti la mia corrispondenza non è univoca e pertanto non è più nemmeno una funzione.
Ovvio che ad un elemento del dominio non vado ad associare più elementi del codominio altrimenti la mia corrispondenza non è univoca e pertanto non è più nemmeno una funzione.
in questo caso: Sia A un insieme composto da 1 elementi e B un insieme composto da 1 elemento. Quante sono le funzioni da A a B?
Mi dà come risposta corretta 2.
In un altro suggerimento mi mette in evidenza che le due definizioni: "una funzione è una corrispondenza in cui ad ogni elemento del dominio è associato uno e un solo elemento del codominio” e “una funzione è una corrispondenza in cui ad ogni elemento del dominio è associato al più un elemento del codominio” non sono perfettamente equivalenti e bisogna ragionare con la seconda... è una sottigliezza che non riesco ad afferrare
Mi dà come risposta corretta 2.
In un altro suggerimento mi mette in evidenza che le due definizioni: "una funzione è una corrispondenza in cui ad ogni elemento del dominio è associato uno e un solo elemento del codominio” e “una funzione è una corrispondenza in cui ad ogni elemento del dominio è associato al più un elemento del codominio” non sono perfettamente equivalenti e bisogna ragionare con la seconda... è una sottigliezza che non riesco ad afferrare
Se effettivamente il test considera anche le funzioni inverse allora non ci siamo proprio.
Riguardo al tuo secondo quesito: in realtà una piccola sottigliezza c'è perché con la seconda definizione, a differenza della prima, potresti anche non associare alcun elemento del codominio a certi elementi del dominio quando sappiamo benissimo che questo non è invece possibile in una funzione in quanto non possono rimanere elementi del dominio non associati.
Riguardo al tuo secondo quesito: in realtà una piccola sottigliezza c'è perché con la seconda definizione, a differenza della prima, potresti anche non associare alcun elemento del codominio a certi elementi del dominio quando sappiamo benissimo che questo non è invece possibile in una funzione in quanto non possono rimanere elementi del dominio non associati.
E in tal caso come si procede secondo te? Non vale più $ m^n $
potrebbe essere $ m^n $ (tutte quelle che prevedono un'associazione per ogni elemento del dominio) + tutti i casi in cui non si associano (che calcolo come?)
Ti dice niente la formula $ 2^n+1 $?
potrebbe essere $ m^n $ (tutte quelle che prevedono un'associazione per ogni elemento del dominio) + tutti i casi in cui non si associano (che calcolo come?)
Ti dice niente la formula $ 2^n+1 $?
Ci sono arrivata trovando tutte le funzioni dei casi più facili e compilando una tabella a doppia entrata (n.elementi del dominio come etichetta della righe; n. elementi del codominio come etichette delle colonne) e ho osservato la logica dei risultati, la formula generale che ne ho ricavato è $ (m+1)^n $
Ma...alla fine non capisco comunque il senso dell'applicazione di tale formula quando le risposte sono altre.
Mi sa che questo test è da rivedere.
Mi sa che questo test è da rivedere.
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