Coppia ordinata
Il prodotto tra due insiemi di numeri, quindi non spostatelo in geometria(al massimo in analisi matematica). 
La definizione formale è la seguente (a,b)$dot=${{a},{a,b}}; allora perchè nel fare il prodotto di due insiemi è riportato solo il sottoinsieme{a,b}?
Mi spiegate questa definizione
La definizione formale è la seguente (a,b)$dot=${{a},{a,b}}; allora perchè nel fare il prodotto di due insiemi è riportato solo il sottoinsieme{a,b}?
Mi spiegate questa definizione
Risposte
e secondo te, ha senso utilizzare l'operatore $^^$ per degli insiemi???!!???!
Il motivo per cui ho escluso che intendessi proprio questo è che non può essere contemporaneamente $(a,b)={a}$ e $(a,b)={{a,b}}$!
Pensaci un attimo...
Pensaci un attimo...
problabilmente sono tutte stupidaggini quelle 
, provavo a guistificare la ${a}$ davanti a ${a,b}$ in ${a,{a,b}}$
, provavo a guistificare la ${a}$ davanti a ${a,b}$ in ${a,{a,b}}$
DR1, se devi dimostrare qualcosa, lo devi fare partendo dagli assiomi e dai teoremi già dimostrati in precedenza, e ogni concetto che utilizzi in una dimostrazione deve essere definito.
Anche il concetto di insieme più importante di un altro o di insieme più esterno di un altro non hanno un senso matematico.
Anche il concetto di insieme più importante di un altro o di insieme più esterno di un altro non hanno un senso matematico.
Provo a chiarire cosa significa la scrittura ${a,{a,b}}$, se è questa la definizione di $(a,b)$ che adotti.
Questo significa semplicemente che ${a,{a,b}}$ è un insieme con solo due elementi (che non sono $a$ e $b$). Questi due elementi sono $a$ e ${a,b}$.
${a,b}$ a sua volta è un insieme con solo due elementi. Tali elementi sono $a$ e $b$.
Nota, all'interno di ${a,{a,b}}$ non ha senso dire che $a$ è il primo e ${a,b}$ è il secondo (ricorda che ${a,{a,b}}={{a,b},a}$, sono scritture completamente equivalenti). Analogamente all'interno di ${a,b}$ (oppure ${b,a}$ visto che è uguale), non ha senso dire che $a$ è il primo e $b$ il secondo.
Spero sia un po' più chiaro ora.
Questo significa semplicemente che ${a,{a,b}}$ è un insieme con solo due elementi (che non sono $a$ e $b$). Questi due elementi sono $a$ e ${a,b}$.
${a,b}$ a sua volta è un insieme con solo due elementi. Tali elementi sono $a$ e $b$.
Nota, all'interno di ${a,{a,b}}$ non ha senso dire che $a$ è il primo e ${a,b}$ è il secondo (ricorda che ${a,{a,b}}={{a,b},a}$, sono scritture completamente equivalenti). Analogamente all'interno di ${a,b}$ (oppure ${b,a}$ visto che è uguale), non ha senso dire che $a$ è il primo e $b$ il secondo.
Spero sia un po' più chiaro ora.
in conclusione nella definizione di coppia ordinata di kuratowski non esiste un ordine, il problema sta nel fatto che se devo fare il prodotto cartesiano di due insiemi es: $E$, $G$ faccio $E$ $X$ $G$ o $G$ $X$ $E$ ?
"DR1":
in conclusione nella definizione di coppia ordinata di kuratowski non esiste un ordine, il problema sta nel fatto che se devo fare il prodotto cartesiano di due insiemi es: $E$, $G$ faccio $E$ $X$ $G$ o $G$ $X$ $E$ ?
L'ordine esiste (il concetto di primo, secondo, terzo... lo sappiamo dare, o sbaglio?) e dati due insiemi [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], [tex]A \times B \ne B \times A[/tex] se [tex]A \ne B[/tex].
Salve GundamRX91,
L'ordine esiste (il concetto di primo, secondo, terzo... lo sappiamo dare, o sbaglio?) e dati due insiemi [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], [tex]A \times B \ne B \times A[/tex] se [tex]A \ne B[/tex].[/quote]
esatto.. esiste però in senso intuitivo e qualora non si rifà alla def. Kuratowski...
Cordiali saluti
"GundamRX91":
[quote="DR1"]in conclusione nella definizione di coppia ordinata di kuratowski non esiste un ordine, il problema sta nel fatto che se devo fare il prodotto cartesiano di due insiemi es: $E$, $G$ faccio $E$ $X$ $G$ o $G$ $X$ $E$ ?
L'ordine esiste (il concetto di primo, secondo, terzo... lo sappiamo dare, o sbaglio?) e dati due insiemi [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], [tex]A \times B \ne B \times A[/tex] se [tex]A \ne B[/tex].[/quote]
esatto.. esiste però in senso intuitivo e qualora non si rifà alla def. Kuratowski...
Cordiali saluti
Vedo che c'è un po' di confusione su questo tema e cercherò di chiarire un po' le cose. Per fare qualche esempio: ho letto che non si può usare il simbolo di congiunzione con gli insiemi, il che è falso in quanto la teoria degli insiemi è una teoria del prim'ordine e come tale può annoverare nel suo linguaggio tale connettivo logico; inoltre ho letto anche che un insieme non può appartenere ad un altro insieme, il che è clamorosamente falso, visto che, sempre nella teoria degli insiemi, ogni oggetto del dominio discorso è un insieme e la relazione d'appartenenza è perciò definita soltanto su insiemi; infine, non si può definire la coppia ordinata partendo dal prodotto cartesiano (almeno al livello formale, è ovvio che se parliamo ad un livello informale ci intendiamo su quasi tutto) in quanto quest'ultimo è definito proprio grazie alla coppia ordinata.
Dunque, la definizione di Kuratowski è la seguente:
\(\displaystyle \langle \)a; b\(\displaystyle \rangle \) = {{a};{a; b}}.
Per quale motivo? A cosa serve? Per capirlo bisogna svuotare la testa da preconcetti informali. Formalmente una definizione di coppia ordinata deve essere tale da rispettare il criterio di identità tra coppie ordinate, che non è altro che una formula logica che individua esattamente la proprietà che ci interessa tali insiemi posseggano. Di quale formula si tratta? La seguente:
\(\displaystyle \langle \)a; b\(\displaystyle \rangle \)=\(\displaystyle \langle \)c; d\(\displaystyle \rangle \) se e solo se a=c \(\displaystyle \wedge \) b=d.
Riflettendo un poco risulta chiaro come la definizione di Kuratowski adempia al compito: infatti, per l'assioma di estensionalità, se vale \(\displaystyle \langle \)a; b\(\displaystyle \rangle \)=\(\displaystyle \langle \)c; d\(\displaystyle \rangle \), allora o {a}={c} o {a}={c; d}. Dal primo caso deriva a=c, mentre dal secondo a=d=c. D'altronde, sempre per l'estensionalità, segue che o {a; b}={c} o {a; b}={c; d} e quindi: b=a=c in un caso; b=c e a=d o b=d e a=c nell'altro. Ora, se vale il primo caso, allora {a}={c; d} e quindi risulta b=a=c=d; se vale il secondo, allora {a}={c} e perciò risulta a=c \(\displaystyle \wedge \) b=d. Come volevasi dimostrare, riscrivendo le coppie ordinate grazie alla definizione di Kuratowski viene rispettato il criterio d'identità e tanto basta.
Esistono altre definizioni di coppia ordinata, come quella di Wiener che utilizza l'insieme vuoto, ma in generale questa è la più accettata perché più elegante (non utilizza oggetti estranei al dominio del discorso). Invece è sbagliato definire le coppie ordinate come {a; {a; b}}. Qualcuno mi sa dire il perché?
Dunque, la definizione di Kuratowski è la seguente:
\(\displaystyle \langle \)a; b\(\displaystyle \rangle \) = {{a};{a; b}}.
Per quale motivo? A cosa serve? Per capirlo bisogna svuotare la testa da preconcetti informali. Formalmente una definizione di coppia ordinata deve essere tale da rispettare il criterio di identità tra coppie ordinate, che non è altro che una formula logica che individua esattamente la proprietà che ci interessa tali insiemi posseggano. Di quale formula si tratta? La seguente:
\(\displaystyle \langle \)a; b\(\displaystyle \rangle \)=\(\displaystyle \langle \)c; d\(\displaystyle \rangle \) se e solo se a=c \(\displaystyle \wedge \) b=d.
Riflettendo un poco risulta chiaro come la definizione di Kuratowski adempia al compito: infatti, per l'assioma di estensionalità, se vale \(\displaystyle \langle \)a; b\(\displaystyle \rangle \)=\(\displaystyle \langle \)c; d\(\displaystyle \rangle \), allora o {a}={c} o {a}={c; d}. Dal primo caso deriva a=c, mentre dal secondo a=d=c. D'altronde, sempre per l'estensionalità, segue che o {a; b}={c} o {a; b}={c; d} e quindi: b=a=c in un caso; b=c e a=d o b=d e a=c nell'altro. Ora, se vale il primo caso, allora {a}={c; d} e quindi risulta b=a=c=d; se vale il secondo, allora {a}={c} e perciò risulta a=c \(\displaystyle \wedge \) b=d. Come volevasi dimostrare, riscrivendo le coppie ordinate grazie alla definizione di Kuratowski viene rispettato il criterio d'identità e tanto basta.
Esistono altre definizioni di coppia ordinata, come quella di Wiener che utilizza l'insieme vuoto, ma in generale questa è la più accettata perché più elegante (non utilizza oggetti estranei al dominio del discorso). Invece è sbagliato definire le coppie ordinate come {a; {a; b}}. Qualcuno mi sa dire il perché?
"Dejan Zarathos":
Invece è sbagliato definire le coppie ordinate come {a; {a; b}}. Qualcuno mi sa dire il perché?
Sbagliato, o solo molto scomodo?
A me risulta che anche questa definizione adempia al suo compito: se ${a; {a;b}}={c; {c;d}}$ allora deve necessariamente essere $a=c$ oppure $a={c,d}$ (in realtà può succedere solo il primo caso, perché il secondo conduce ad un assurdo).
Nel caso che sia $a=c$ allora da ${a;{a;b}}={a;{a;d}}$ si deduce che deve necessariamente essere ${a;b}={a;d}$ (sicuramente non è ${a;b}=a$ perché sarebbe in contraddizione con l'assioma di regolarità). Adesso, o vale $b=d$, oppure $b=a$, ma anche in questo caso dovrebbe essere ${a}={a;d}$ e quindi anche $d=a$ dunque ancora $b=d$. In conclusione sarebbe $a=c$ e $b=d$.
Se invece fosse possibile $a={c,d}$ da ${a;{a;b}}={c;{c;d}}$ seguirebbe ${a;{a;b}}={a;c}$ quindi dovrebbe necessariamente essere ${a;b}=c$ (sicuramente non è ${a;b}=a$). Dunque dovrebbe essere $a={{a;b};d}$, ma ciò è assurdo per l'assioma di regolarità (l'insieme ${a;{a;b}}$ non conterrebbe insiemi disgiunti da se stesso).
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In ogni caso voglio sollevare un'altra piccola questione: dati due insiemi $a$ e $b$ l'assioma della coppia è sufficiente a garantire l'esistenza dell'oggetto \(\langle a; b \rangle = \{\{a\};\{a; b\}\}\), ma ci vuole ben altro per garantire l'esistenza del prodotto cartesiano, non basta dire che dati due insiemi $A$ e $B$ l'insieme $A\times B$ è l'insieme che contiene tutte le coppie ordinate con primo elemento in $A$ e secondo in $B$.
Non è solo scomodo, è proprio sbagliato.
La tua dimostrazione del primo caso, dove a=c e {a; b}={c; d}, è corretta.
Nel tentativo di dimostrazione dell'assurdo, ovvero nel caso a={c; d} e {a; b}=c, c'è un errore. L'assioma di regolarità ammette a={{a; b}; d}: infatti in esso l'insieme a non è elemento di sé stesso ed esiste un elemento (nello specifico l'insieme d) di a che non ha con esso alcun elemento in comune (per definizione di insieme).
La tua dimostrazione del primo caso, dove a=c e {a; b}={c; d}, è corretta.
Nel tentativo di dimostrazione dell'assurdo, ovvero nel caso a={c; d} e {a; b}=c, c'è un errore. L'assioma di regolarità ammette a={{a; b}; d}: infatti in esso l'insieme a non è elemento di sé stesso ed esiste un elemento (nello specifico l'insieme d) di a che non ha con esso alcun elemento in comune (per definizione di insieme).
Ciò che hai detto per l'insieme $a={{a;b};d}$ è vero, infatti non è quello l'insieme che genera l'assurdo (non in modo diretto).
L'insieme che genera l'assurdo è ${a;{a;b}}$ (grazie all'assiome della coppia possiamo affermare che questo insieme esisterebbe) infatti $a$ non sarebbe disgiunto da ${a;{a;b}}$ (entrambi contengono ${a;b}$ come elemento) e nemmeno ${a;b}$ sarebbe disgiunto da ${a;{a;b}}$ (entrambi contengono $a$ come elemento).
Quindi l'insieme ${a;{a;b}}$ non conterrebbe alcun elemento disgiunto da se stesso, nel caso $a={{a;b};d}$ fosse possibile. Di conseguenza non è possibile che sia $a={{a;b};d}$.
L'insieme che genera l'assurdo è ${a;{a;b}}$ (grazie all'assiome della coppia possiamo affermare che questo insieme esisterebbe) infatti $a$ non sarebbe disgiunto da ${a;{a;b}}$ (entrambi contengono ${a;b}$ come elemento) e nemmeno ${a;b}$ sarebbe disgiunto da ${a;{a;b}}$ (entrambi contengono $a$ come elemento).
Quindi l'insieme ${a;{a;b}}$ non conterrebbe alcun elemento disgiunto da se stesso, nel caso $a={{a;b};d}$ fosse possibile. Di conseguenza non è possibile che sia $a={{a;b};d}$.
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