Coppia ordinata
Il prodotto tra due insiemi di numeri, quindi non spostatelo in geometria(al massimo in analisi matematica). 
La definizione formale è la seguente (a,b)$dot=${{a},{a,b}}; allora perchè nel fare il prodotto di due insiemi è riportato solo il sottoinsieme{a,b}?
Mi spiegate questa definizione
La definizione formale è la seguente (a,b)$dot=${{a},{a,b}}; allora perchè nel fare il prodotto di due insiemi è riportato solo il sottoinsieme{a,b}?
Mi spiegate questa definizione
Risposte
La definizione formale di prodotto cartesiano è la seguente :
Siano $A_1 $ e $A_2$ due insiemi, allora
$A_1\timesA_2={(a,b)| a in A_1 ^^ b in A_2}$
esempi :
$ZZ\timesRR = { (a,b) | a in ZZ , b in RR}$
$ZZ\timesS_3={(x, \sigma)| x in ZZ ^^ \sigma in S_3}$
Siano $A_1 $ e $A_2$ due insiemi, allora
$A_1\timesA_2={(a,b)| a in A_1 ^^ b in A_2}$
esempi :
$ZZ\timesRR = { (a,b) | a in ZZ , b in RR}$
$ZZ\timesS_3={(x, \sigma)| x in ZZ ^^ \sigma in S_3}$
"DR1":
Il prodotto tra due insiemi di numeri, quindi non spostatelo in geometria(al massimo in analisi matematica).
La definizione formale è la seguente (a,b)$dot=${a,{a,b}}; allora perchè nel fare il prodotto di due insiemi è riportato solo il sottoinsieme{a,b}?
Mi spiegate questa definizione
Quella è la definizione formale di coppia ordinata data da Kuratowsky.
"GundamRX91":
Quella è la definizione formale di coppia ordinata data da Kuratowsky
Vero, quindi.... che cosa significa?
Intanto c'è una certa imprecisione nella definizione che hai dato di coppia ordinata, che Kuratowsky definisce come [tex](a,b) := \{\{a\},\{a,b\}\}[/tex], dove l'elemento [tex]a[/tex] della coppia ordinata è il primo elemento del primo insieme: [tex]\{a\}[/tex], e l'elemento [tex]b[/tex] corrisponde al secondo elemento del secondo insieme: [tex]\{b\} = \{a,b\} \setminus \{a\}[/tex] (necessario dal fatto che negli insiemi l'ordine degli elementi non è considerato, ed essendo [tex]\{a,b\}=\{b,a\}[/tex] in questo caso come secondo elemento avresti [tex]a[/tex] invece di [tex]b[/tex]).
A parte questo, però non ho capito se non ti è chiaro il concetto di prodotto cartesiano o il concetto di coppia ordinata, oppure ... ?
A parte questo, però non ho capito se non ti è chiaro il concetto di prodotto cartesiano o il concetto di coppia ordinata, oppure ... ?
Salve DR1,
questa non l'ho capita????? Cosa intendi dire? Postaci la def. per intero!
Cordiali saluti
"DR1":
Il prodotto tra due insiemi di numeri, quindi non spostatelo in geometria(al massimo in analisi matematica).
La definizione formale è la seguente (a,b)$dot=${a,{a,b}}; allora perchè nel fare il prodotto di due insiemi è riportato solo il sottoinsieme{a,b}?
Mi spiegate questa definizione
questa non l'ho capita????? Cosa intendi dire? Postaci la def. per intero!
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
questa non l'ho capita????? Cosa intendi dire? Postaci la def. per intero!
Intendevo dire (a,b) $dot=$ {{a},{a,b}}.
"GundamRX91":
(a,b) $dot=$ {{a},{a,b}} , dove l'elemento a della coppia ordinata è il primo elemento del primo insieme: {a} , e l'elemento b corrisponde al secondo elemento del secondo insieme: {b}={a,b}∖{a}
Quindi se ho capito bene a,b sono elementi dell'insieme {{a},{a,b}}, allora se A $dot=$ {{a},{a,b}} al suo interno si ha A={a,b};
Ma se in (a,b) $dot=$ {{a},{a,b}} la a in {a,b} e messa per rendere evidente l'ordine di b, definendo il sottoinsieme {a} come, B $dot=$ {a} e il sottoinsieme {a,b} come, C $dot=$ {a,b} ;come fa C={a,b}\{a}?
P.S. se ti interessa per scrivere $dot=$ si usa dollaro dot= dollaro .
questo simbolo non l'ho mai visto $dot=$. Più comune quello di Gundam $::=$ per esprimere una definizione , penso.
non entro nel merito della definizione formale, tuttavia , Gundam ti ha definito
$(a,b) : = {{a},{a,b}}$ dove $a := {a}$ e $b := {a,b}\\{a}$ <-- quest'ultima forse è il pezzo forte della definizione, diciamo ha dato una sorta di criterio di ordine. giusto gun?
Però sinceramente, peccherò di poco formalismo , ma mi piace più la versione intuitiva di $(a,b)$. XD gusti.
non entro nel merito della definizione formale, tuttavia , Gundam ti ha definito
$(a,b) : = {{a},{a,b}}$ dove $a := {a}$ e $b := {a,b}\\{a}$ <-- quest'ultima forse è il pezzo forte della definizione, diciamo ha dato una sorta di criterio di ordine. giusto gun?
Però sinceramente, peccherò di poco formalismo , ma mi piace più la versione intuitiva di $(a,b)$. XD gusti.
"Kashaman":
questo simbolo non l'ho mai visto $dot=$.
sui libri delle medie significa che due figure sono equivalenti (stessa area)
$F_1dot=F_2$ significa che la figura 1 ha la stessa area della figura 2.
"gio73":
[quote="Kashaman"]questo simbolo non l'ho mai visto $dot=$.
sui libri delle medie significa che due figure sono equivalenti (stessa area)
$F_1dot=F_2$ significa che la figura 1 ha la stessa area della figura 2.[/quote]
ho capito gio
"Kashaman":
questo simbolo non l'ho mai visto $dot=$. Più comune quello di Gundam $::=$ per esprimere una definizione , penso.
non entro nel merito della definizione formale, tuttavia , Gundam ti ha definito
$(a,b) : = {{a},{a,b}}$ dove $a := {a}$ e $b := {a,b}\\{a}$ <-- quest'ultima forse è il pezzo forte della definizione, diciamo ha dato una sorta di criterio di ordine. giusto gun?
Però sinceramente, peccherò di poco formalismo , ma mi piace più la versione intuitiva di $(a,b)$. XD gusti.
Esatto Kashaman, in questo modo ho la certezza di scegliere l'elemento giusto (ho messo in corsivo scegliere non a caso
). Infatti allo stesso modo puoi definire una terna ordinata, una quaterna.... un'ennupla ordinata.
"DR1":
[quote="GundamRX91"](a,b) $dot=$ {{a},{a,b}} , dove l'elemento a della coppia ordinata è il primo elemento del primo insieme: {a} , e l'elemento b corrisponde al secondo elemento del secondo insieme: {b}={a,b}∖{a}
Quindi se ho capito bene a,b sono elementi dell'insieme {{a},{a,b}}, allora se A $dot=$ {{a},{a,b}} al suo interno si ha A={a,b};
Ma se in (a,b) $dot=$ {{a},{a,b}} la a in {a,b} e messa per rendere evidente l'ordine di b, definendo il sottoinsieme {a} come, B $dot=$ {a} e il sottoinsieme {a,b} come, C $dot=$ {a,b} ;come fa C={a,b}\{a}?[/quote]
Se definisci [tex]C=\{a,b\}[/tex] non puoi usare la stessa lettera per l'operazione [tex]\{a,b\} \setminus \{a\}[/tex], sono due insiemi differenti.
"DR1":
P.S. se ti interessa per scrivere $dot=$ si usa dollaro dot= dollaro .
Scusami, ma non ho ancora capito quale sia il tuo dubbio.
Salve Kashaman,
anche a me, difatti in molti testi è posto come un'altro concetto primitivo! Poi è a seconda degli usi?
Cordiali saluti
"Kashaman":
Però sinceramente, peccherò di poco formalismo , ma mi piace più la versione intuitiva di $(a,b)$. XD gusti.
anche a me, difatti in molti testi è posto come un'altro concetto primitivo! Poi è a seconda degli usi?
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve Kashaman,
[quote="Kashaman"]
Però sinceramente, peccherò di poco formalismo , ma mi piace più la versione intuitiva di $(a,b)$. XD gusti.
anche a me, difatti in molti testi è posto come un'altro concetto primitivo! Poi è a seconda degli usi?
Cordiali saluti[/quote]
allora ci troviamo d'accordo mastro garnak. Io personalmente come definizione la trovo molto macchinosa. A me piace pensare $(a,b)$ come un elemento di un prodotto cartesiano. rende più l'idea. Magari erro! dovrei approfondire .Da questo punto di vista,sembra che si voglia definire un "elemento" che di per se è già primitivo.
ma va be, punti di vista
ciao garnak
Provo a dire la mia. Spero di non dire assurdità.
La definizione formale di coppia ordinata di primo elemento $a$ e secondo elemento $b$ è $\{\{a\},\{a,b\}\}$ (almeno, Kuratowsky l'ha definita così e questa definizione è comunemente accettata). Per indicare questa coppia ordinata si usa il simbolo $(a,b)$.
Detto questo non si può dire che $a$ è l'elemento del primo insieme di $\{\{a\},\{a,b\}\}$, semplicemente perché in un insieme non esiste distinzione fra primo e secondo elemento (e non si può neanche scrivere $a=\{a\}$, che andrebbe contro l'assioma di regolarità, semmai $a\in\{a\}$).
Non si può neanche dire che $a$ e $b$ sono elementi di $(a,b)$: gli unici due elementi di $(a,b)$ sono $\{a\}$ e $\{a,b\}$
Quelli che nella coppia ordinata si chiamano "primo" e "secondo" elemento ($a$ e $b$) sono individuati per i seguenti fatti:
La definizione formale di coppia ordinata di primo elemento $a$ e secondo elemento $b$ è $\{\{a\},\{a,b\}\}$ (almeno, Kuratowsky l'ha definita così e questa definizione è comunemente accettata). Per indicare questa coppia ordinata si usa il simbolo $(a,b)$.
Detto questo non si può dire che $a$ è l'elemento del primo insieme di $\{\{a\},\{a,b\}\}$, semplicemente perché in un insieme non esiste distinzione fra primo e secondo elemento (e non si può neanche scrivere $a=\{a\}$, che andrebbe contro l'assioma di regolarità, semmai $a\in\{a\}$).
Non si può neanche dire che $a$ e $b$ sono elementi di $(a,b)$: gli unici due elementi di $(a,b)$ sono $\{a\}$ e $\{a,b\}$
Quelli che nella coppia ordinata si chiamano "primo" e "secondo" elemento ($a$ e $b$) sono individuati per i seguenti fatti:
[*:30fmzdqo] $a$ è l'unico elemento che appartiene a qualunque elemento di $(a,b)$ (nota: gli elementi dell'insieme $(a,b)$ sono insiemi)[/*:m:30fmzdqo]
[*:30fmzdqo] $b$ è l'elemento tale che esiste un elemento di $(a,b)$ che contiene $b$ e un diverso elemento di $(a,b)$ che invece non lo contiene. In caso non esista nessun elemento $b$ con queste proprietà allora il secondo elemento della coppia ordinata si assume uguale al primo (infatti ragionandoci un attimo risulta $(a,a):=\{\{a\}\}$)[/*:m:30fmzdqo][/list:u:30fmzdqo]
Il motivo per cui si è scelto un modo così strano per definire la coppia ordinata è, credo, che si volesse costruire una struttura tale che
$[(a,b)=(c,d)]\Leftrightarrow [a=c\wedge b=d]$
Scegliendo la definizione di coppia ordinata in quel modo diventa facile dimostrare la proprietà voluta.
Torniamo alla domanda iniziale (perché nel fare il prodotto di due insiemi è riportato solo il sottoinsieme $\{a,b\}$).
La definizione formale del prodotto cartesiano fra due insiemi è quella che ha segnalato inizialmente Kashaman:
$A\times B=\{(a,b)\|a\in A\wedge b\in B}$
Qui non è riportato solo il sottoinsieme $\{a,b\}$, ma è riportata la coppia ordinata $(a,b)$.
E' questo che volevi dire, o la domanda era diversa?
"Alfius":
Spero di non dire assurdità.
Sottoscrivo le tue affermazioni. Mi sembrano perfettamente sensate.
Alfius , sei stato molto esaustivo e credo che non hai detto delle assurdità. Bravo!!!
quella proprietà penso si dimostri anche senza l'ausilio della definizione di Kuratinsky e con altrettanta facilità, penso.
Secondo me è perché si è cercato di formalizzare un concetto che non poteva rimanere primitivo.
Mi spiego
informalmente si può dire che una coppia $(a,b)$ è un elemento di $A\timesB$
ma ciò non basta, ovviamente, perché nel definire $(a,b)$ bisogna star attenti che $a in A ^^ b in B$, cioè bisogna star attenti ad un certo ordine.
Quindi si è voluto definirla nei termini descritti, secondo me,per marcare quest'ordine.
ni.
che si volesse costruire una struttura tale che
$(a,b)=(c,d) <=> a=c ^^ b=d....$
quella proprietà penso si dimostri anche senza l'ausilio della definizione di Kuratinsky e con altrettanta facilità, penso.
Secondo me è perché si è cercato di formalizzare un concetto che non poteva rimanere primitivo.
Mi spiego
informalmente si può dire che una coppia $(a,b)$ è un elemento di $A\timesB$
ma ciò non basta, ovviamente, perché nel definire $(a,b)$ bisogna star attenti che $a in A ^^ b in B$, cioè bisogna star attenti ad un certo ordine.
Quindi si è voluto definirla nei termini descritti, secondo me,per marcare quest'ordine.
Volevo segnalare un post interessante (non perchè lo scritto io 
), in cui si parla di coppia ordinata, che magari può servire:
http://www.matematicamente.it/forum/im-f-o-f-e-iniettiva-t95504.html?hilit=coppia%20ordinata&start=82
), in cui si parla di coppia ordinata, che magari può servire:http://www.matematicamente.it/forum/im-f-o-f-e-iniettiva-t95504.html?hilit=coppia%20ordinata&start=82
"Kashaman":
Alfius , sei stato molto esaustivo e credo che non hai detto delle assurdità. Bravo!!!
ni.
che si volesse costruire una struttura tale che
$(a,b)=(c,d) <=> a=c ^^ b=d....$
quella proprietà penso si dimostri anche senza l'ausilio della definizione di Kuratinsky e con altrettanta facilità, penso.
Secondo me è perché si è cercato di formalizzare un concetto che non poteva rimanere primitivo.
Mi spiego
informalmente si può dire che una coppia $(a,b)$ è un elemento di $A\timesB$
ma ciò non basta, ovviamente, perché nel definire $(a,b)$ bisogna star attenti che $a in A ^^ b in B$, cioè bisogna star attenti ad un certo ordine.
Quindi si è voluto definirla nei termini descritti, secondo me,per marcare quest'ordine.
Non ti seguo: se non utilizzi la definizione di $(a,b)$ data da Kuratowski non puoi definire $(a,b)$ come una coppia dell'insieme $A\times B$ perché dovresti prima definire $A\times B$.
La definizione di $A\times B$ che conosco io dipende irrinunciabilmente dalla definizione di $(a,b)$.
Forse stai dicendo che conosci una definizione di $A\times B$ indipendente dalla definizione di $(a,b)$ che ti permetta di definire prima $A\times B$ per poi dire che le coppie ordinate con primo elemento in $A$ e secondo in $B$ sono definite come gli elementi di $A\times B$ ?
Una volta data una definizione di $(a,b)$, in un modo o nell'altro, ti credo che la proprietà che ho dato si dimostra comunque.
"Alfius":
b è l'elemento tale che esiste un elemento di (a,b) che contiene b e un diverso elemento di (a,b) che invece non lo contiene
ma anche cosi spiegato , come fai a dire che l'elemento di(a,b) che contiene b sia il secondo ? Potrebbe essere anche il primo ?
Come si fa a stabilire il suo ordine ?
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