Condizione necessaria e sufficiente

[5y5t3m]

Ciao a tutti,
mi sono imbattuto nella definizione di funzione iniettiva:

\(\displaystyle Una\thinspace f:A\rightarrow B\thinspace è\thinspace iniettiva\thinspace quando\thinspace\forall a1,a2\in A:a1\neq a2\Rightarrow f(a1)\neq f(a2)\).

Purtroppo non riesco a comprendere bene questa affermazione; in particolare vorrei sapere se nel caso in cui a1 sia uguale ad a2 non potrebbe accadere che f(a1) risulti ancora diverso da f(a2) data la condizione sufficiente? Di conseguenza avrei un elemento dell'insieme A che punta due elementi dell'insieme B o sbaglio?
Potreste spiegarmi in modo semplice la condizione necessaria e sufficiente nel caso la mia "deduzione" sulla funzione iniettiva non sia corretta? Ho visto dei video su internet e letto qualcosa su alcuni siti ma ancora non riesco a comprendere a pieno il concetto.

[gugo82]

"5y5t3m":Ciao a tutti,
mi sono imbattuto nella definizione di funzione iniettiva:

\(\displaystyle Una\thinspace f:A\rightarrow B\thinspace è\thinspace iniettiva\thinspace quando\thinspace\forall a_1,a_2\in A:a_1\neq a_2\Rightarrow f(a_1)\neq f(a_2)\).

Purtroppo non riesco a comprendere bene questa affermazione; in particolare vorrei sapere se nel caso in cui a1 sia uguale ad a2 non potrebbe accadere che f(a1) risulti ancora diverso da f(a2) data la condizione sufficiente? Di conseguenza avrei un elemento dell'insieme A che punta due elementi dell'insieme B o sbaglio?

Che cos’è una funzione?
Quello che scrivi può mai accadere?

"5y5t3m":Potreste spiegarmi in modo semplice la condizione necessaria e sufficiente nel caso la mia "deduzione" sulla funzione iniettiva non sia corretta? Ho visto dei video su internet e letto qualcosa su alcuni siti ma ancora non riesco a comprendere a pieno il concetto.

Non si capisce cosa vuoi sapere.

[5y5t3m]

"gugo82":
Che cos’è una funzione?
Quello che scrivi può mai accadere?

Cioè non può accadere per la definizione stessa di funzione? Ti chiedo solo un po' di pazienza

"gugo82":
Non si capisce cosa vuoi sapere.

Vorrei che mi venisse spiegata in generale come funziona una condizione necessaria e una condizione sufficiente perché non credo di averle comprese del tutto.

[vict85]

Quella che hai scritto sopra è espressa come una condizione sufficiente. Quindi ha senso chiedersi se \(f(x) \neq f(y) \Rightarrow x \neq y\). Pensi che sia una proprietà delle funzioni iniettive? Oppure è vera per una classe più ristretta o più ampia di funzioni?

Venendo al significato di condizione sufficiente e di condizione necessaria, ti invito ad iniziare con la pagina di wiki https://it.wikipedia.org/wiki/Condizion ... ufficiente ed eventualmente poi spiegarci cosa non comprendi.

[5y5t3m]

"vict85":Quella che hai scritto sopra è espressa come una condizione sufficiente. Quindi ha senso chiedersi se \(f(x) \neq f(y) \Rightarrow x \neq y\). Pensi che sia una proprietà delle funzioni iniettive? Oppure è vera per una classe più ristretta o più ampia di funzioni?

Venendo al significato di condizione sufficiente e di condizione necessaria, ti invito ad iniziare con la pagina di wiki https://it.wikipedia.org/wiki/Condizion ... ufficiente ed eventualmente poi spiegarci cosa non comprendi.

Cioè quando una condizione è sufficiente ha senso solo chiedersi se \(f(x) \neq f(y) \Rightarrow x \neq y\) e non farsi altre domande?

[vict85]

No. Quello che intendevo dire è che siccome \(\forall a_1\neq a_2 \Rightarrow f(a_1)\neq f(a_2)\) è la definizione di funzione iniettiva, ha senso chiedersi, dal punto di vista intellettuale diciamo, se e quando vale l'implicazione opposta. Ma, se hai studiato la teoria fino a questo punto, dovresti poter rispondere alla verità o meno di quella implicazione.

Il punto è proprio che la domanda che poni "in particolare vorrei sapere se nel caso in cui \(a_1\) sia uguale ad \(a_2\) non potrebbe accadere che \(f(a_1)\) risulti ancora diverso da \(f(a_2)\) data la condizione sufficiente?" ha una risposta semplice ed immediata di cui dovresti conoscere la risposta. Se non riesci a rispondere, ti consigli di ripartire da capo a studiarti la teoria delle funzioni, a partire dalla definizione (come suggerisce Gugo).

In generale comunque, è possibile che valga \(A \Rightarrow B\) ma non \(A \Leftarrow B\). Ed è assolutamente ammissibile definire qualcosa nel caso valga la prima indipendentemente dalla seconda. In quel caso ha senso chiedersi quando valga la seconda, ma questo non influenza in nessun modo la definizione.

[5y5t3m]

"vict85"::roll: No. Quello che intendevo dire è che siccome \(\forall a_1\neq a_2 \Rightarrow f(a_1)\neq f(a_2)\) è la definizione di funzione iniettiva, ha senso chiedersi, dal punto di vista intellettuale diciamo, se e quando vale l'implicazione opposta. Ma, se hai studiato la teoria fino a questo punto, dovresti poter rispondere alla verità o meno di quella implicazione.

Il punto è proprio che la domanda che poni "in particolare vorrei sapere se nel caso in cui \(a_1\) sia uguale ad \(a_2\) non potrebbe accadere che \(f(a_1)\) risulti ancora diverso da \(f(a_2)\) data la condizione sufficiente?" ha una risposta semplice ed immediata di cui dovresti conoscere la risposta. Se non riesci a rispondere, ti consigli di ripartire da capo a studiarti la teoria delle funzioni, a partire dalla definizione (come suggerisce Gugo).

In generale comunque, è possibile che valga \(A \Rightarrow B\) ma non \(A \Leftarrow B\). Ed è assolutamente ammissibile definire qualcosa nel caso valga la prima indipendentemente dalla seconda. In quel caso ha senso chiedersi quando valga la seconda, ma questo non influenza in nessun modo la definizione.

Ah forse ho capito. Visto che la funzione è un'applicazione che a ogni a associa un unico b la mia domanda non ha senso perché vado contro questa definizione. Corretto?

[gugo82]

Già.