Classi di equivalenza
Sia data la relazione su $RR$ $xRy hArr x-y in ZZ$
Ho verificato che si tratta di una relazione di equivalenza.
Ebbene, le classi di equivalenza partizionano $RR$
Ora l'insieme quoziente $Q/R$ è formato dalle classi del tipo
$[a] = a + x$ con $a$ fissato nell'intervallo $[ 0, 1]$ e $x$ variabile in $ZZ$
Il mio dubbio è: se considero per esempio la classe $[0,23] = 0,23 + x$ è esatto dire che
i numeri $in RR$ sono$ { .....-2,77, -1,77, -0,77, 0,23, 1,23, 2,23......}$
Ho verificato che si tratta di una relazione di equivalenza.
Ebbene, le classi di equivalenza partizionano $RR$
Ora l'insieme quoziente $Q/R$ è formato dalle classi del tipo
$[a] = a + x$ con $a$ fissato nell'intervallo $[ 0, 1]$ e $x$ variabile in $ZZ$
Il mio dubbio è: se considero per esempio la classe $[0,23] = 0,23 + x$ è esatto dire che
i numeri $in RR$ sono$ { .....-2,77, -1,77, -0,77, 0,23, 1,23, 2,23......}$
Risposte
Ciao.
Vedi che l'insieme quoziente $RR/R$ è una partizione di $RR.$ L'insieme quoziente è $RR/R={[x]_R: x in RR}.$
La classe di equivalenza $[x]_R$ è l'insieme formato dagli elementi $y in RR$ i quali risultano in relazione mediante $R$ con $x$, in simboli, $[x]_R={y in RR: xRy}={y in RR: x-y in ZZ}.$
$[0.23]_R={...,-2.77, -1.77,-0.77, 0.23, 1.23, 2.23,...}$
Allora $[0.23]_R ={m.23:m in NN_0}cup{n.77:n in ZZ-NN}.$
Vedi che l'insieme quoziente $RR/R$ è una partizione di $RR.$ L'insieme quoziente è $RR/R={[x]_R: x in RR}.$
La classe di equivalenza $[x]_R$ è l'insieme formato dagli elementi $y in RR$ i quali risultano in relazione mediante $R$ con $x$, in simboli, $[x]_R={y in RR: xRy}={y in RR: x-y in ZZ}.$
$[0.23]_R={...,-2.77, -1.77,-0.77, 0.23, 1.23, 2.23,...}$
Allora $[0.23]_R ={m.23:m in NN_0}cup{n.77:n in ZZ-NN}.$
Perfetto! Grazie
Di nulla !
Ho qualche altra relazione
Su $P= RR xx RR \\ {(0,0)}$ viene definita la seguente relazione:
$(x,y) ~(x^{\prime},y^{\prime}) hArr 2xy^{\prime}-kx^{\prime}y =h $
Mi chiede di trovare per quali valori $h$ e $k$ la relazione è riflessiva:
$(x,y) ~(x,y) $ segue che $2xy -kxy =h $ cioè quando
$(2 - k)xy - h =0 $ per cui i valori sono:$k=2 ^^ h=0$
E in tal caso la relazione diventa $(x,y) ~(x^{\prime},y^{\prime}) hArr 2xy^{\prime} -2x^{\prime}y =0 hArr xy^{\prime}=x^{\prime}y$
La relazione è banalmente simmetrica:
$ xy^{\prime}=x^{\prime}y rArr x^{\prime}y=xy^{\prime}$
.........
Ho controllato e la relazione è anche transitiva, $~$ è una relazione di equivalenza.
$RR$ pertanto viene partizionato, ma come si presentano le classi di equivalenza di $P//~$?
Su $P= RR xx RR \\ {(0,0)}$ viene definita la seguente relazione:
$(x,y) ~(x^{\prime},y^{\prime}) hArr 2xy^{\prime}-kx^{\prime}y =h $
Mi chiede di trovare per quali valori $h$ e $k$ la relazione è riflessiva:
$(x,y) ~(x,y) $ segue che $2xy -kxy =h $ cioè quando
$(2 - k)xy - h =0 $ per cui i valori sono:$k=2 ^^ h=0$
E in tal caso la relazione diventa $(x,y) ~(x^{\prime},y^{\prime}) hArr 2xy^{\prime} -2x^{\prime}y =0 hArr xy^{\prime}=x^{\prime}y$
La relazione è banalmente simmetrica:
$ xy^{\prime}=x^{\prime}y rArr x^{\prime}y=xy^{\prime}$
.........
Ho controllato e la relazione è anche transitiva, $~$ è una relazione di equivalenza.
$RR$ pertanto viene partizionato, ma come si presentano le classi di equivalenza di $P//~$?
Si $approx$ è una relazione di equivalenza con $h=0$ e $k=2.$
Guarda che $RR times RR-{(0,0)}$ viene partizionato non $RR$
. Infine
$[(a,b)]_(approx)={(x,y) in RRtimesRR-{(0,0)}: (a,b)approx(x,y)}$
$\qquad\qquad\ qquad \={(x,y) in RRtimesRR-{(0,0)}: 2ay-2bx=0}$
$\qquad\qquad\ qquad ={(x,y) in RRtimesRR-{(0,0)}: ay=bx}$
Guarda che $RR times RR-{(0,0)}$ viene partizionato non $RR$
. Infine$[(a,b)]_(approx)={(x,y) in RRtimesRR-{(0,0)}: (a,b)approx(x,y)}$
$\qquad\qquad\ qquad \={(x,y) in RRtimesRR-{(0,0)}: 2ay-2bx=0}$
$\qquad\qquad\ qquad ={(x,y) in RRtimesRR-{(0,0)}: ay=bx}$
Secondo me
$[(a,b)]_(approx)={(x,y) in RRtimesRR-{(0,0)}: (a,b)approx(x,y)}$ Vale a dire che se la relazione viene vista come l'insieme
dei punti del piano allora
$[(a,b)]_(approx) $ è costituita da tutti i punti, escluso il punto di coordinate $(0,0)$, che appartengono ad una retta passante per l'origine.
$[(a,b)]_(approx)={(x,y) in RRtimesRR-{(0,0)}: (a,b)approx(x,y)}$ Vale a dire che se la relazione viene vista come l'insieme
dei punti del piano allora
$[(a,b)]_(approx) $ è costituita da tutti i punti, escluso il punto di coordinate $(0,0)$, che appartengono ad una retta passante per l'origine.
Infatti in generale \(\alpha x + \beta y + \gamma = 0\) è l'equazione in forma implicita di una retta.
Nel tuo caso \(\alpha = -b, \beta = a, \gamma = 0\).
Nel tuo caso \(\alpha = -b, \beta = a, \gamma = 0\).
Grazie sempre G.D.
Un dubbio : se su $RR^2$ considero queste due relazioni
$(x_1,x_2 RR(y_1,y_2) hArr x_2-y_2=2(x_1-y_1)$ e
$(x_1,x_2 RR_1(y_1,y_2) hArr x_1+2x_2=y_1+2y_2$
in entrambi i casi si tratta di 2 relazioni di equivalenza
L' insieme quozienti $Q/RR$ è costituito dalle rette di coefficiente angolare $2$,
ma anche l' insieme quozienti $Q/RR_1$ è costituito dalle rette di coefficiente angolare $2$
Quindi $Q/RR=Q/RR_1$
Grazie
$(x_1,x_2 RR(y_1,y_2) hArr x_2-y_2=2(x_1-y_1)$ e
$(x_1,x_2 RR_1(y_1,y_2) hArr x_1+2x_2=y_1+2y_2$
in entrambi i casi si tratta di 2 relazioni di equivalenza
L' insieme quozienti $Q/RR$ è costituito dalle rette di coefficiente angolare $2$,
ma anche l' insieme quozienti $Q/RR_1$ è costituito dalle rette di coefficiente angolare $2$
Quindi $Q/RR=Q/RR_1$
Grazie
Controlla di nuovo i coefficienti angolari.
I quozienti sono fatti su \(\mathbb{R}^{2}\), da dove salta fuori \(Q\)?
Perché indichi le relazioni con il simbolo dei reali?
I quozienti sono fatti su \(\mathbb{R}^{2}\), da dove salta fuori \(Q\)?
Perché indichi le relazioni con il simbolo dei reali?
"G.D.":
Controlla di nuovo i coefficienti angolari.
I quozienti sono fatti su \( \mathbb{R}^{2} \), da dove salta fuori \( Q \)?
Perché indichi le relazioni con il simbolo dei reali?
Mi sono proprio confuso:
$RR^2/R$ è $RR^2/R_1$
Ho controllato e i coefficienti delle 2 rette sono rispettivamente $2,-2$, quindi concludo che le classi
di equivalenza sono rappresentate da rette di coefficienti angolari opposti.
A me i coefficienti angolari risultano uno l'antiteciproco dell'altro.
Ho verificato: hai ragione! i coefficienti angolari sono uno l'antireciproco dell'altro.
Nella relazione su $ZZ xx ZZ^(**)$, $(x_1,x_2)R(y_1,y_2) hArr x_1y_2=x_2y_1$ l'insieme quoziente $(ZZ xx ZZ^(**) )/R$ invece è dato dai punti $in ZZ$ appartenenti alle rette della forma $y=mx$ Dico bene?
Grazie
Nella relazione su $ZZ xx ZZ^(**)$, $(x_1,x_2)R(y_1,y_2) hArr x_1y_2=x_2y_1$ l'insieme quoziente $(ZZ xx ZZ^(**) )/R$ invece è dato dai punti $in ZZ$ appartenenti alle rette della forma $y=mx$ Dico bene?
Grazie
Direi di si, ma aspettiamo anche qualche altro parere. 
Su $ZZ xx ZZ^* $, $(x1,x_2)R(y_1,y_2) hArr xy=yx$ l'insieme quoziente è dato dalle funzioni della proporzionalità diretta : $y=kx$, che contengono i punti di coordinate $(x,y) in ZZ xx ZZ^*$
Su $ZZ xx ZZ^* $, $(x1,x_2)R(y_1,y_2) hArr xy=yx$ l'insieme quoziente è dato dalle funzioni della proporzionalità diretta : $y=kx$, che contengono i punti di coordinate $(x,y) in ZZ xx ZZ^*$
Grazie Alin!
Vado avanti con un altro esercizio che mi chiede di ricercare l'insieme quoziente:
Nell'insieme $T$ di un piano $pi$, fissato un punto $O$ , $PQ hArr P$ e $Q$ sono allineati con $O$ da chi sono costituite le classi di equivalenza? Io direi che l'insieme quoziente $pi/R$ è costituito da un fascio di rette.
Cosa ne pensate? Grazie
Vado avanti con un altro esercizio che mi chiede di ricercare l'insieme quoziente:
Nell'insieme $T$ di un piano $pi$, fissato un punto $O$ , $PQ hArr P$ e $Q$ sono allineati con $O$ da chi sono costituite le classi di equivalenza? Io direi che l'insieme quoziente $pi/R$ è costituito da un fascio di rette.
Cosa ne pensate? Grazie
Se qualcuno si vuole unire alla discussione mi fa solo piacere. Grazie mille
Penso che la classe di equivalenza è una ed è rappresentata dalla retta sulla quale giacciono tutti i punti allineati con il punto $O$
Le classi di equivalenza sono le intersezioni tra le rette del fascio di centro \(O\) e l'insieme \(T\).
"G.D.":
Le classi di equivalenza sono le intersezioni tra le rette del fascio di centro \(O\) e l'insieme \(T\).
Questo era il mio dubbio: ma se le classi di equivalenza sono per definizione disgiunte e le stesse classi possono essere viste come le rette del fascio di centro $O$, quindi si intersecano nel punto $O$ allora non hanno un punto in comune?
"milos144":[/quote]
[quote="G.D."]Le classi di equivalenza sono le intersezioni tra le rette del fascio di centro \(O\) e l'insieme \(T\).
Questo era il mio dubbio: ma se le classi di equivalenza sono per definizione disgiunte e le stesse classi possono essere viste come le rette del fascio di centro $O$, quindi si intersecano nel punto $O$ allora non hanno un punto in comune?
Forse ho capito:
data una RELAZIONE DI EQUIVALENZA in un insieme $T$ DUE CLASSI DI EQUIVALENZA aventi un ELEMENTO IN COMUNE sono UGUALI.
Supponiamo che $[a]$ e $$ sono due classi di equivalenza e che esse abbiano in comune il punto $O$
E' evidente che ogni elemento di $[a]$ e ogni elemento di $$ è equivalente a $O$, quindi $[a]$ e $$ sono identici a $[o]$.
Quindi:
$[a] = =...... [o] $.
Per fare in modo che ogni retta del fascio rappresenti una classe di equivalenza dobbiamo escludere il centro del fascio. Confermi G.D., grazie
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