Classi destre e sinistre
Ciao a tutti sono nuovo in questo forum, che per altro mi è stato segnalato da hark.
Vorrei porvi il seguente quesito:
Sia G un gruppo, e H, K due sottogruppi di G. Siano a, b $in$ G tali che aH = bK.
Dimostrare che H = K.
Vorrei porvi il seguente quesito:
Sia G un gruppo, e H, K due sottogruppi di G. Siano a, b $in$ G tali che aH = bK.
Dimostrare che H = K.
Risposte
Doppia inclusione dovrebbe funziare.
Innanzi tutto, però, se prendiamo h=1 in H, otteniamo che $a=bk$ per un k in K, dunque $b^{-1}a=k$, dunque $b^{-1}a$ appartiene a K e l'inversa $a^{-1}b$ pure (essendo K gruppo)
A questo punto sia h un qualsiasi vettore in H, abbiamo quindi che $ah=bk$ per un k in K, dunque $h=a^{-1}bk$, dunque per ciò che abbiamo sopra, h è in K.
Per l'altra inclusione si puo fare analogamente (o utilizzando solo questa inclusione si può constatare che H sottogruppo di K, con lo stesso numero di elementi, quindi H=K)
Innanzi tutto, però, se prendiamo h=1 in H, otteniamo che $a=bk$ per un k in K, dunque $b^{-1}a=k$, dunque $b^{-1}a$ appartiene a K e l'inversa $a^{-1}b$ pure (essendo K gruppo)
A questo punto sia h un qualsiasi vettore in H, abbiamo quindi che $ah=bk$ per un k in K, dunque $h=a^{-1}bk$, dunque per ciò che abbiamo sopra, h è in K.
Per l'altra inclusione si puo fare analogamente (o utilizzando solo questa inclusione si può constatare che H sottogruppo di K, con lo stesso numero di elementi, quindi H=K)
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