Chiusura normale come nucleo di un'azione

[Cantor99]

Salve a tutti.

Supponiamo di avere un gruppo $G$ e un sottoinsieme $S$ di $G$.

Mi chiedevo se esistesse un'azione "non banale"[nota]Per azione banale intendo, in questo contesto specifico, l'azione $S^G$ sui laterali destri di $S^G$.[/nota] il cui nucleo fosse esattamente la chiusura normale di $S$ in $G$. Stavo pensando di fare agire $G$ sull'insieme
\[
X=\{Ng : S\subseteq N, N \text{ normale in } G, g\in G\}.
\]
In questo modo, l'intersezione degli stabilizzatori degli elementi $X$ dovrebbe ridursi all'intersezione degli sottogruppi normali in $G$ contenenti $S$, cioè a $S^G$. Che ne pensate?

[solaàl]

Ogni sottogruppo normale è il nucleo di un qualche omomorfismo, e questo sembra proprio il nucleo dell'azione sui coset, sì.

[Cantor99]

Grazie per la risposta. Approfitto per una seconda domanda.

Sul Robinson viene detto che la chiusura normale e il core (o nocciolo) sono nozioni duali. Oltre il suo significato letterale, il termine "duale" in questo contesto ha anche un significato matematico ben preciso (magari categoriale)?

[marco2132k]

Ho letto di sfuggita cosa dice Robinson. L’\( X^G \) è il meet (in senso reticolare) dei sottogruppi normali che contengono \( X \), mentre l’\( X_G \) lo definisce come il join di questi.

In senso categoriale il meet in un reticolo è un prodotto (e dunque il join è un coprodotto).

[solaàl]

Sì, è così (ma devi rovesciare anche la relazione di contenimento): "il minimo dei maggioranti" è un limite, un operatore di chiusura, una monade; invece un "massimo dei minoranti" è un colimite, un operatore di interno, una comonade.

[Cantor99]

Grazie mille ad entrambi. Sospettavo che quel "duale" non fosse buttato lì a caso e, fortunatamente, è così .