Chiarimenti Teoria dei numeri

[pippo931]

Salve, mi sono venuti alcuni dubbi leggendo "Aritmetica superiore" di Davenport (non so se questa è la sezione giusta, i moderatori non esitino a spostare il post).

Dunque, a pagina 27 dice: "L'equazione $ax-by=n$ non può essere risolta se $n$ non è multiplo del massimo comun divisore $h$ di $a$ e $b$; infatti $h$ divide $ax-by$ per qualunque scelta di $x$ e $y$". Io ho capito il motivo per il quale $n$ dev'essere multiplo di $h$ se è maggiore di $h$, ma non mi è chiaro che cosa escluda che sia un suo divisore.
P.S: con i verbi potere e escludere intendo affinchè l'equazione abbia soluzioni intere
Vi ringrazio anticipatamente.

[Gatto891]

Supponiamo $ax -by = n$. Sia $h = MCD(a, b)$, allora per definizione esistono $a_1, b 1in ZZ$ t.c. $a = a_1h$ e $b = b_1h$

Quindi:

$ax -by = n $

$a_1hx -b_1hy = n $

$h(a_1x -b_1y) = n$

Da cui segue che n è multiplo del MCD di a e b.

[Sk_Anonymous]

Lo vedi subito con un esempio.
Sia da risolvere l'equazione diofantea: 12x-18y=3.
Ora si vede subito che questa equazione non ha soluzioni.
Infatti qualunque valore scegli per x e y si avrà 12x-18y=6(2x-3y) e questa quantità non potra mai essere 3, perchè dovrà essere per forza un multiplo di 6 (che è il MCD di 12 e 18).
Potrà essere 0, 6, -6, 12, -12, ... dato che (2x-3y) è un intero. Mai potrai avere 3.
Eppure 3 è un divisore di 6. MA ciò non ti aiuta per niente. Chiaro?