Chi mi iuta urgentemente?

[Vilb]

Ci sono cinque persone in un gruppo, tra cui Kai e Wen. Per esercitarsi con il distanziamento sociale, fanno prima il passo di dividere il gruppo in due sottogruppi disgiunti. Poi, subiscono una serie di passaggi aggiuntivi, durante i quali dividono ogni sottogruppo rimanente che ha più di 1 persona in due ulteriori sottogruppi. I passaggi terminano quando ogni persona è da sola. A causa di un rancore di lunga data, Kai e Wen non possono stare insieme nello stesso sottogruppo dopo la prima divisione. Considerando che l'ordine delle divisioni è importante e tutti i sottogruppi rimanenti sono divisi simultaneamente ad ogni passaggio, quante possibili divisioni di percorso esistono? Una divisione di percorso è considerata il processo completo che inizia con 1 gruppo di 5 e termina con 5 gruppi di 1.

[apatriarca]

Sia \(P_n\) il numero di processi completi che partono con un singolo gruppo di \(n\) persone e terminano con \(n\) gruppi singoli. È prima di tutto evidente che se abbiamo \(n \le 2\), allora \(P_{n \le 2} = 1\). Per \(P_3\) abbiamo \(3\) diverse suddivisioni formate da un gruppo singolo e una coppia (è il numero di modi di scegliere un individuo tra \(3\) per stare solo. Quindi \(P_3 = 3\,P_1\,P_2 = 3\). Per \(P_4\), possiamo avere \(4\) separazioni nella forma \((1, 3)\) e \(6\) modi diversi di scegliere due coppie. Quindi \(P_4 = 4\,P_1\,P_3 + 6\,P_2\,P_2 = 18\). Se non ci fosse la condizione su Kai e Wen, allora avremmo \(P_5 = 5\,P_1\,P_4 + 10\,P_2\,P_3 = 120.\) Tuttavia la condizione riduce questo numero. Infatti, abbiamo che solo due individui possono stare da soli in un gruppo (Kai o Wen). Inoltre, se c'è un coppia, allora dovrà essere formata da uno tra Kai e Wen e da qualcuno che non è Kai o Wen. Per cui ci sono solo 6 combinazioni di coppie e triplette. In totale abbiamo quindi \(2\,P_1\,P_4 + 6\,P_2\,P_3 = 54\).