Cercando di capire i moduli finitamente generati
Salve, continuando a studiare l'algebra sono arrivato a un punto che non riesco proprio a capire, cioé i moduli finitamente generati su un dominio ideale principale (i termini sono in inglese, spero di aver tradotto bene). La cosa che non riesco a capire è com'è possibile che un sottomodulo di un modulo abbia un numero di generatori maggiore della base del modulo ?
Inoltre come faccio a trovare una base per un sottomodulo del genere?
Per esempio, c'è l'esercizio:"Trova una base per il sottomodulo di $ZZ^(3)$, generato da $f_1=(1,0,-1)$ $f_2=(2,-3,1)$ $f_3=(0,3,1)$ $f_4=(3,1,5)$" e non ho la più pallida idea di come procedere.
Se non vi reca disturbo qualcuno potrebbe darmi qualche chiarimento sulla teoria e poi spiegarmi come procedere?
Inoltre come faccio a trovare una base per un sottomodulo del genere?
Per esempio, c'è l'esercizio:"Trova una base per il sottomodulo di $ZZ^(3)$, generato da $f_1=(1,0,-1)$ $f_2=(2,-3,1)$ $f_3=(0,3,1)$ $f_4=(3,1,5)$" e non ho la più pallida idea di come procedere.
Se non vi reca disturbo qualcuno potrebbe darmi qualche chiarimento sulla teoria e poi spiegarmi come procedere?
Risposte
Se $M$ è un $R$-modulo, \(S\cdot M :=\{sm\mid s\in S, \, m\in M\}\) per ogni $S\subseteq R$.
Onestamente l'unico modo per dimostrare qualcosa per quanto riguarda moduli isomorfi, pensavo fosse studiare gli omomorfismi, veramente vedo nulla di strano in quel $R$-modulo.
"mklplo":
Onestamente l'unico modo per dimostrare qualcosa per quanto riguarda moduli isomorfi, pensavo fosse studiare gli omomorfismi, veramente vedo nulla di strano in quel $R$-modulo.
Se esiste un isomorfismo \(\varphi : R^{(\Gamma)} \to R/I\), allora \(\varphi(I\cdot R^{(\Gamma)})=0\), assurdo, perché allora era zero \(I\cdot R^{(\Gamma)}\).
Ok, non ci sarei mai arrivato.
Inoltre non capisco perchè l'immagine sia $0$.
Inoltre non capisco perchè l'immagine sia $0$.
"mklplo":
Ok, non ci sarei mai arrivato.
Inoltre non capisco perchè l'immagine sia $0$.
E' ovvio, pensaci.
@fmnq:ci ho pensato per un bel po', però non mi viene in mente neanche un motivo.
\(\varphi\) è un omomorfismo, quindi \(\varphi(I\cdot R^{(\Gamma)}) = I\cdot \varphi(R^{(\Gamma)})=0\), perché quest'ultima esattamente il sottomodulo zero di \(R/I\). Assurdo, perché per ipotesi \(\varphi\) era un isomorfismo, e quindi deve portare sottomoduli non zero in sottomoduli non zero.
Grazie, ora, ho capito.