Cercando di capire i moduli finitamente generati
Salve, continuando a studiare l'algebra sono arrivato a un punto che non riesco proprio a capire, cioé i moduli finitamente generati su un dominio ideale principale (i termini sono in inglese, spero di aver tradotto bene). La cosa che non riesco a capire è com'è possibile che un sottomodulo di un modulo abbia un numero di generatori maggiore della base del modulo ?
Inoltre come faccio a trovare una base per un sottomodulo del genere?
Per esempio, c'è l'esercizio:"Trova una base per il sottomodulo di $ZZ^(3)$, generato da $f_1=(1,0,-1)$ $f_2=(2,-3,1)$ $f_3=(0,3,1)$ $f_4=(3,1,5)$" e non ho la più pallida idea di come procedere.
Se non vi reca disturbo qualcuno potrebbe darmi qualche chiarimento sulla teoria e poi spiegarmi come procedere?
Inoltre come faccio a trovare una base per un sottomodulo del genere?
Per esempio, c'è l'esercizio:"Trova una base per il sottomodulo di $ZZ^(3)$, generato da $f_1=(1,0,-1)$ $f_2=(2,-3,1)$ $f_3=(0,3,1)$ $f_4=(3,1,5)$" e non ho la più pallida idea di come procedere.
Se non vi reca disturbo qualcuno potrebbe darmi qualche chiarimento sulla teoria e poi spiegarmi come procedere?
Risposte
"mklplo":Modulo a ideali principali.
Salve, continuando a studiare l'algebra sono arrivato a un punto che non riesco proprio a capire, cioé i moduli finitamente generati su un dominio ideale principale (i termini sono in inglese, spero di aver tradotto bene).
Per esempio, c'è l'esercizio:"Trova una base per il sottomodulo di $ZZ^(3)$, generato da $f_1=(1,0,-1)$ $f_2=(2,-3,1)$ $f_3=(0,3,1)$ $f_4=(3,1,5)$" e non ho la più pallida idea di come procedere.La teoria dei moduli liberi è del tutto analoga all'algebra lineare, solo che ora invece che elementi di un campo i coefficienti scalari sono numeri interi. Ciò al netto del fatto che ora le combinazioni lineari, potendo avere solo valori interi... (finisci tu la frase)
Grazie per aver risposto, ma proprio non so come continuare la frase, al massimo posso pensare che la combinazione lineare darà valori interi.
C'è modo di ottenere $1$ come combinazione lineare intera di 2 e di 4?
\[
2n+4m=2(n+2m)
\] deve essere uguale ad 1, può accadere?
Per quanto riguarda il fatto che
\[
2n+4m=2(n+2m)
\] deve essere uguale ad 1, può accadere?
Per quanto riguarda il fatto che
un sottomodulo di un modulo [ha] un numero di generatori maggiore della base del moduloquesto succede in ogni cantone. Prendi un anello non noetheriano, lui guardato come modulo su sé stesso è certamente finitamente generato, ma ammette ideali (=sottomoduli) non finitamente generati.
No, $1$ e in generale ogni numero dispari,non può essere ottenuto come somma di numeri pari.
Per l'altra cosa, cosa intendi con cantone?
p.s:gli anelli notheriani non sono ancora stati definiti (infatti nel primo volume di "Basic Algebra" N.Jacobson non ne parla proprio).
Per l'altra cosa, cosa intendi con cantone?
p.s:gli anelli notheriani non sono ancora stati definiti (infatti nel primo volume di "Basic Algebra" N.Jacobson non ne parla proprio).
"a ogni cantone" è un regionalismo per dire "dappertutto, continuamente". Il fatto è che la teoria dei moduli è un po' complicata da affrontare, non è niente di difficile ma serve una certa maturità matematica per potere apprezzare le affinità e le divergenze con l'algebra lineare.
Iniziamo dall'inizio; ti è chiaro che un anello \(R\) si può guardare come modulo \(R_R\) (diciamo che l'anello è commutativo, e quindi i moduli destri coincidono coi sinistri) su sé stesso in maniera relativamente banale? Ti è chiaro che esiste, a questo modo, una biiezione tra gli ideali di \(R\) come anello, e i sottomoduli dell'\(R\)-modulo \(R\)? Noto questo, dimostra quanto segue:
1. Se \(V\) è uno spazio vettoriale sul campo \(K\), allora esiste un insieme \(\Gamma\) con un isomorfismo \(K\)-lineare
\[
\begin{CD}
V @>\varphi>> K^{(\Gamma)}
\end{CD}
\] dove con \(K^{(\Gamma)}\) indico lo spazio vettoriale che si ottiene facendo \(\bigoplus_{\gamma\in\Gamma}K\).
2. Se \(R\) è un anello che possiede almeno un ideale proprio non banale (ossia se esiste un ideale \(0\subsetneq I\subsetneq R\), allora non può esistere nessun \(\Gamma\) tale che il quoziente \(R/I\), guardato come \(R\)-modulo in modo ovvio (scrivi esplicitamente quale!), sia isomorfo a \(R^{(\Gamma)}\).
3. E' molto facile fare un esempio di $ZZ$-modulo che non può essere della forma $ZZ^\Gamma$ per nessun $\Gamma$ per ragioni di cardinalità, lo sai trovare?
Incidentalmente, questo esempio che è la maniera piu semplice di costruire un modulo non-libero, smette di essere vero per gli spazi vettoriali perché i campi non hanno ideali non banali.
Iniziamo dall'inizio; ti è chiaro che un anello \(R\) si può guardare come modulo \(R_R\) (diciamo che l'anello è commutativo, e quindi i moduli destri coincidono coi sinistri) su sé stesso in maniera relativamente banale? Ti è chiaro che esiste, a questo modo, una biiezione tra gli ideali di \(R\) come anello, e i sottomoduli dell'\(R\)-modulo \(R\)? Noto questo, dimostra quanto segue:
1. Se \(V\) è uno spazio vettoriale sul campo \(K\), allora esiste un insieme \(\Gamma\) con un isomorfismo \(K\)-lineare
\[
\begin{CD}
V @>\varphi>> K^{(\Gamma)}
\end{CD}
\] dove con \(K^{(\Gamma)}\) indico lo spazio vettoriale che si ottiene facendo \(\bigoplus_{\gamma\in\Gamma}K\).
2. Se \(R\) è un anello che possiede almeno un ideale proprio non banale (ossia se esiste un ideale \(0\subsetneq I\subsetneq R\), allora non può esistere nessun \(\Gamma\) tale che il quoziente \(R/I\), guardato come \(R\)-modulo in modo ovvio (scrivi esplicitamente quale!), sia isomorfo a \(R^{(\Gamma)}\).
3. E' molto facile fare un esempio di $ZZ$-modulo che non può essere della forma $ZZ^\Gamma$ per nessun $\Gamma$ per ragioni di cardinalità, lo sai trovare?
Incidentalmente, questo esempio che è la maniera piu semplice di costruire un modulo non-libero, smette di essere vero per gli spazi vettoriali perché i campi non hanno ideali non banali.
@fnmq
[ot]mklplo frequenta le Superiori (in quarta credo) e non si accontenta di quello che insegnano a scuola ...[/ot]
[ot]mklplo frequenta le Superiori (in quarta credo) e non si accontenta di quello che insegnano a scuola ...[/ot]
Se è così motivato e intraprendente l'età non dovrebbe essere un problema, anzi; prima inizia a vedere la matematica per quella che è, meglio è. Una certa familiarità con l'algebra lineare, un po' di maturità di pensiero (che non dipende dall'età anagrafica) e una piccola dose di algebra astratta (che mi pare abbia già digerito) sono tutto quel che serve per provare a fare gli esercizi che gli ho detto. Se sbaglia, mica si fa male qualcuno 
@fmq:grazie per aver risposto.
Allora per provare a dimostrare la prima affermazione, penso di fare così:
per la seconda penso di fare così:
per dimostrare la terza ho fatto così:
Allora per provare a dimostrare la prima affermazione, penso di fare così:
per la seconda penso di fare così:
per dimostrare la terza ho fatto così:
Solo la prima di queste dimostrazioni è parzialmente vera, del resto il fatto che devi dimostrare è equivalente all'esistenza di una base per $V$. Nota che non ho mai chiesto che $\Gamma$ fosse finito (il risultato resta vero anche se non lo è).
Nulla che non sia un'ovvietà è corretto della seconda dimostrazione.
Per quanto riguarda la terza, forse non hai capito cosa devi dimostrare; di che cardinalità è \(\mathbb Z^{(\Gamma)}\)? Di che cardinalità è \(\mathbb Z/n\mathbb Z\)? E quindi?
Nulla che non sia un'ovvietà è corretto della seconda dimostrazione.
Per quanto riguarda la terza, forse non hai capito cosa devi dimostrare; di che cardinalità è \(\mathbb Z^{(\Gamma)}\)? Di che cardinalità è \(\mathbb Z/n\mathbb Z\)? E quindi?
Grazie per aver risposto.
Allora, per quanto riguarda la prima, se $\Gamma$ fosse infinito anche $V$ dovrebbe esserlo, giusto?
Inoltre sempre per la prima in pratica devo dimostrare che esiste una base, e proprio dalla seconda poi deduco che non esistono moduli liberi e la terza cosa ne è un esempio, giusto?
Nella seconda almeno, il l'interpretazione di $R/I$ come $R$-modulo è corretta?
Inoltre, perché è sbagliata?
Per la terza $ZZ^(\Gamma)$ dovrebbe avere cardinalità pari alla cardinalità di $ZZ$ elevata a quella di $\Gamma$, mentre $Z/nZ$ dovrebbe avere cardinalità $n$, giusto?
Allora, per quanto riguarda la prima, se $\Gamma$ fosse infinito anche $V$ dovrebbe esserlo, giusto?
Inoltre sempre per la prima in pratica devo dimostrare che esiste una base, e proprio dalla seconda poi deduco che non esistono moduli liberi e la terza cosa ne è un esempio, giusto?
Nella seconda almeno, il l'interpretazione di $R/I$ come $R$-modulo è corretta?
Inoltre, perché è sbagliata?
Per la terza $ZZ^(\Gamma)$ dovrebbe avere cardinalità pari alla cardinalità di $ZZ$ elevata a quella di $\Gamma$, mentre $Z/nZ$ dovrebbe avere cardinalità $n$, giusto?
"mklplo":
Allora, per quanto riguarda la prima, se \(\Gamma\) fosse infinito anche \(V\) dovrebbe esserlo, giusto?
Dovrebbe essere di dimensione infinita.
Inoltre sempre per la prima in pratica devo dimostrare che esiste una base, e proprio dalla seconda poi deduco che non esistono moduli liberi
Per fortuna non ti ho chiesto di dimostrare che "non esistono moduli liberi" (cosa che tra l'altro sarebbe falsa, potresti dimostrarla solo assumendo qualcosa di falso). Quello che ti ho chiesto di dimostrare è che non esiste nessun insieme \(\Gamma\) tale che \(R/I\) sia isomorfo a \(R^{(\Gamma)} = \bigoplus_{\gamma\in\Gamma}R\) (questo insieme, lo ricordo, si ottiene prendendo le sequenze \((r_\gamma\mid \gamma\in\Gamma)\) tali che \(r_\gamma \neq 0_R\) per al più un numero finito di indici \(\gamma\). Si chiama la somma diretta di \(|\Gamma|\) copie di \(R\)).
la terza cosa ne è un esempio, giusto?
La terza cosa è un esempio, il più semplice che mi viene in mente, di uno \(\mathbb Z\)-modulo che non può essere libero; un tale \(\mathbb Z\)-modulo deve per forza essere un insieme infinito (perché tale è \(\mathbb Z\)), laddove invece \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) ha solo \(n <\infty\) elementi.
Nella seconda almeno, il l'interpretazione di \(R/I\) come \(R\)-modulo è corretta?
Viste le lacune che stai dimostrando, non sarei sicuro che tu abbia fatto "seguire facilmente" gli assiomi di \(R\)-modulo da ragionamenti ovvi. Quindi, non posso saperlo.
Inoltre, perché è sbagliata?
Questa frase non significa nulla: "Per quanto riguarda la dimostrazione, pensavo di provare la "contropositiva" e quindi mi basta trovare un insieme che renda \( R^{(\Gamma)} \) isomorfo a al quoziente tra \( R \) e i suoi ideali banali. Per fare questo penso che basta prendere \( \Gamma=\emptyset \) e \( \Gamma={\emptyset} \), giusto?"
Il motivo per cui non stai capendo quello che ti ho chiesto di fare è che ti mancano dei prerequisiti e una certa maturità matematica. Acquisiscile, e poi torna a studiare teoria dei moduli.
Giusto volevo dire che $V$ deve avere dimensione infinita, inoltre non volevo dire che non esistono moduli liberi, ma che non tutti i moduli possono essere visti come moduli liberi. Per quanto riguarda la somma diretta la conosco la definizione, però non mi ricordavo che gli indici dovevano essere finiti. Tornando a quello che ho scritto nella seconda prova, ti trovi che se $A->B$ allora $!B->!A$ (con $!$ intendo la negazione),e quello volevo dimostrare, però mi sono espresso malissimo. In pratica volevo dimostrare che esiste un isomorfismo, per qualche $\Gamma$ tra $R^(\Gamma)$ e il quoziente di $R$ con i suoi ideali banali, visto come $R$-modulo.Secondo te va bene come idea?
"mklplo":
In pratica volevo dimostrare che esiste un isomorfismo, per qualche $\Gamma$ tra $R^(\Gamma)$ e il quoziente di $R$ con i suoi ideali banali, visto come $R$-modulo.Secondo te va bene come idea?
Non c'è motivo di fare così; meglio supporre per assurdo che un isomorfismo $R/I\cong R^{(\Gamma)}$ esista; allora, se prendi l'immagine del sottomodulo non banale generato dagli elementi di $I$...
Allora, l'immagine sarà un sottomodulo non banale di $R^(\Gamma)$, e quindi l'immagine avrà una cardinalità minore di $\R^(\Gamma)$ e quindi abbiamo una contraddizione.
Va bene?
Per quanto riguarda la prima dimostrazione, che io sappia ci vorrebbe il lemma di Zorn, però si può fare anche in un altro modo?
Va bene?
Per quanto riguarda la prima dimostrazione, che io sappia ci vorrebbe il lemma di Zorn, però si può fare anche in un altro modo?
"mklplo":
Allora, l'immagine sarà un sottomodulo non banale di $R^(\Gamma)$, e quindi l'immagine avrà una cardinalità minore di $\R^(\Gamma)$ e quindi abbiamo una contraddizione.
Va bene?
Secondo te va bene?
l'idea è sbagliata totalmente o è solo la forma il problema?
Se fosse il secondo caso pensavo di rendere così l'idea:
Da $R$ a $R/I$ esiste un epimorfismo, che è l'omomorfismo canonico, e quindi la cardinalità del sottomodulo è minore o uguale a quella di $R$, poi da $R$ a $R^(\Gamma)$ esiste un iniezione e quindi la cardinalità di $R^(\Gamma)$ è maggiore o uguale a quella di $R$, infine dato che esiste un isomorfismo tra $R^(\Gamma)$ e $R/I$, questi hanno la stessa cardinalità,il che sarebbe possibile solo se l cardinalità di $R$,$R/I$ e $R^(\Gamma)$ sono uguali, ma questo avviene solo se $\Gamma$ ha un solo elemento e se $I$ è l'ideale contenente il solo emento neutro, tuttavia questo contraddice l'ipotesi, perché $I$ non è banale.
Se fosse il secondo caso pensavo di rendere così l'idea:
Da $R$ a $R/I$ esiste un epimorfismo, che è l'omomorfismo canonico, e quindi la cardinalità del sottomodulo è minore o uguale a quella di $R$, poi da $R$ a $R^(\Gamma)$ esiste un iniezione e quindi la cardinalità di $R^(\Gamma)$ è maggiore o uguale a quella di $R$, infine dato che esiste un isomorfismo tra $R^(\Gamma)$ e $R/I$, questi hanno la stessa cardinalità,il che sarebbe possibile solo se l cardinalità di $R$,$R/I$ e $R^(\Gamma)$ sono uguali, ma questo avviene solo se $\Gamma$ ha un solo elemento e se $I$ è l'ideale contenente il solo emento neutro, tuttavia questo contraddice l'ipotesi, perché $I$ non è banale.
"mklplo":
ma questo avviene solo se $\Gamma$ ha un solo elemento
Non c'è affermazione più falsa di questa.
Si sto facendo una confusione tremenda tra somme diretta e prodotti diretti (come del resto tra cardinalità e dimensione), tuttavia anche se quell'affermazione è falsa comunque $R/I$ per essere uguale a $R$, $I$ deve essere un ideale banale giusto?
"mklplo":
Si sto facendo una confusione tremenda tra somme diretta e prodotti diretti (come del resto tra cardinalità e dimensione), tuttavia anche se quell'affermazione è falsa comunque $R/I$ per essere uguale a $R$, $I$ deve essere un ideale banale giusto?
Certo, ma non c'entra nulla...
Scusa ma se l'affermazione sul fatto che se esiste un isomorfismo tra $R/I$ e $R^(\Gamma)$ allora $R$ $R/I$ e $R^\Gamma$ hanno stessa cardinalità è vera (cosa che avrei dimostrato prima, salvo errori), allor insieme all'affermazione di prima, non segue la tesI?
Cioè la dimostrazione:
"Da $R$ a $R/I$ esiste un epimorfismo, che è l'omomorfismo canonico, e quindi la cardinalità del sottomodulo è minore o uguale a quella di $R$, poi da $R$ a $R^(\Gamma)$ esiste un iniezione e quindi la cardinalità di $R^(\Gamma)$ è maggiore o uguale a quella di $R$, infine dato che esiste un isomorfismo tra $R^(\Gamma)$ e $R/I$, questi hanno la stessa cardinalità,il che sarebbe possibile solo se le cardinalità di $R$,$R/I$ e $R^(\Gamma)$ fossero uguali, ma questo avviene per qualche $\Gamma$ solo se $I$ è l'ideale contenente il solo elemento neutro, tuttavia questo contraddice l'ipotesi, perché $I$ non è banale."
dov'è che è sbagliata?
Cioè la dimostrazione:
"Da $R$ a $R/I$ esiste un epimorfismo, che è l'omomorfismo canonico, e quindi la cardinalità del sottomodulo è minore o uguale a quella di $R$, poi da $R$ a $R^(\Gamma)$ esiste un iniezione e quindi la cardinalità di $R^(\Gamma)$ è maggiore o uguale a quella di $R$, infine dato che esiste un isomorfismo tra $R^(\Gamma)$ e $R/I$, questi hanno la stessa cardinalità,il che sarebbe possibile solo se le cardinalità di $R$,$R/I$ e $R^(\Gamma)$ fossero uguali, ma questo avviene per qualche $\Gamma$ solo se $I$ è l'ideale contenente il solo elemento neutro, tuttavia questo contraddice l'ipotesi, perché $I$ non è banale."
dov'è che è sbagliata?
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