Cercando di capire i moduli finitamente generati
Salve, continuando a studiare l'algebra sono arrivato a un punto che non riesco proprio a capire, cioé i moduli finitamente generati su un dominio ideale principale (i termini sono in inglese, spero di aver tradotto bene). La cosa che non riesco a capire è com'è possibile che un sottomodulo di un modulo abbia un numero di generatori maggiore della base del modulo ?
Inoltre come faccio a trovare una base per un sottomodulo del genere?
Per esempio, c'è l'esercizio:"Trova una base per il sottomodulo di $ZZ^(3)$, generato da $f_1=(1,0,-1)$ $f_2=(2,-3,1)$ $f_3=(0,3,1)$ $f_4=(3,1,5)$" e non ho la più pallida idea di come procedere.
Se non vi reca disturbo qualcuno potrebbe darmi qualche chiarimento sulla teoria e poi spiegarmi come procedere?
Inoltre come faccio a trovare una base per un sottomodulo del genere?
Per esempio, c'è l'esercizio:"Trova una base per il sottomodulo di $ZZ^(3)$, generato da $f_1=(1,0,-1)$ $f_2=(2,-3,1)$ $f_3=(0,3,1)$ $f_4=(3,1,5)$" e non ho la più pallida idea di come procedere.
Se non vi reca disturbo qualcuno potrebbe darmi qualche chiarimento sulla teoria e poi spiegarmi come procedere?
Risposte
Scusa le tante domande e risposte poco sensate, ma questi argomenti mi sono ostici, e grazie per il tuo aiuto.
"mklplo":
questi argomenti mi sono ostici
A proposito di ostie, com’è andato a finire lo studio di PDE e CdV?
Ho deciso che argomenti così avanzati li tratterò solo dopo aver studiato tutte le basi. Per ora ho studiato solo: analisi 1, algebra lineare, geometria 1, analisi 2, geometria 2, teoria dei gruppi, teoria degli anelli e ora sto studiando teoria dei moduli. Finita algebra 1, vorrei studiare topologia dal Manetti (mi sembra si chiami così il libro) e poi pensavo di fermarmi e dimostrare tutti i risultati di ciò che ho studiato, primo per vedere se me li ricordo e secondo per vedere se li ho capiti, inoltre mi piacerebbe anche imparare a "usare" questi concetti per risolvere vari problemi.
Comunque, per sapere, qual è l'errore nella dimostrazione di sopra?
Per quanto mi impegni non riesco proprio a vederlo.
Per quanto mi impegni non riesco proprio a vederlo.
[ot]Dunque credi che la teoria dei moduli sia un argomento “di base”? 
[/ot]
[/ot]
@gugo82:non è argomento del secondo anno?
"mklplo":
il che sarebbe possibile solo se le cardinalità di $R$,$R/I$ e $R^(\Gamma)$ fossero uguali, ma questo avviene per qualche $\Gamma$ solo se $I$ è l'ideale contenente il solo elemento neutro
Questo è sbagliato e confusionario.
@fmnq: non capisco, perché è sbagliato?
"gugo82":
Dunque credi che la teoria dei moduli sia un argomento “di base”?
In un certo senso non hanno niente di "superiore", la teoria dei moduli è la stessa degli spazi vettoriali, al netto di molti fatti, ciascuno dei quali è "elementare", ma quando li consideri tutti insieme viene una teoria piuttosto vasta. Si tratta, quindi, di un argomento molto esteso e pieno di patologie, ma dal punto di vista meramente tecnico a uno studente con un buon corso di algebra elementare alle spalle non manca niente per leggere l'intero Lam da copertina copertina.
1. I moduli su $ZZ$-algebre si comportano in maniera più patologica dei moduli su $k$-algebre, perché al variare dell'anello di riferimento le proprietà dei moduli su quell'anello possono cambiare drammaticamente (ed è proprio la teoria dei moduli a illuminare questa differenza di comportamento: patologie e proprietà della categoria dei moduli sono indotte o inducono proprietà dell'anello $k$).
2. Nella teoria dei moduli astratta, diventano di importanza predominante le cosiddette condizioni catenarie (noetherianità e artinianità, Jordan-Hölder...).
3. La teoria degli anelli è resa complicata dal fatto che gli anelli hanno ideali, i campi no.
4. Gli anelli possono essere commutativi o non esserlo, e certi anelli (come per esempio quelli che nascono dall'analisi funzionale, che sono rappresentabili come anelli di operatori lineari su uno spazio vettoriale topologico) non possono essere commutativi per costruzione. La mancanza di commutatività di $R$ rende difficile l'"algebra lineare" anche quando in $R$ tutti gli elementi diversi da zero sono invertibili (cioè quando $R$ è un campo non commutativo): ad esempio, prova a definire il "determinante" di una matrice i cui ingressi sono quaternioni.
5. La teoria dei moduli su campi ha un significato geometrico sedimentato nell'intuizione "fisica", è la geometria degli spazi lineari/affini modellati sull'intuizione euclidea dello spazio assoluto e isotropo e delle forze agenti su corpi come vettori. La geometria dei moduli su anelli non commutativi, come sa chiunque sappia cos'è la dualità di Gel'fand (to lo sai?), è molto più complicata.
Ciascuno di questi problemi, preso da solo, e/o affrontato con qualcuno che frantumi la complessità della questione in una decina di esercizi "semplici", sarebbe abbordabile dall'OP. Il suo problema è la scarsa padronanza del lessico (e del significato delle parole). Ma quella la curano solo il tempo e l'esercizio.
"mklplo":
@fmnq: non capisco, perché è sbagliato?
Perché è falso: $R$ e \(R^{(\Gamma)}\) hanno molto spesso la stessa cardinalità (è sufficiente scegliere ad esempio $R,\Gamma$ tali che \(2^{|\Gamma|} < |R|\)).
Non ci avevo pensato però se io ho che $|R/I|=|R^(\Gamma)|$ e $|R|=|R^(\Gamma)|$ per transitività $|R|=|R/I|$ il che è vero solo se $I$ è il gruppo banale (giusto?), che è falso per ipotesi. Se poi $|R/I|=|R^(\Gamma)|$ e $|R|<|R^(\Gamma)|$ allora $|R|<|R/I|$ il che è falso, infine se $|R|>|R^(\Gamma)|$, allora $|R^(\Gamma)|=|(0)|$ e quindi per transitività $|R/I|=|(0)|$ e cioé $I$ è banale e questo è falso per ipotesi. Segue che $|R^(\Gamma)|$ deve essere diverso da $|R/I|$, come si voleva dimostrare.
"mklplo":
il che è vero solo se $I$ è il gruppo banale (giusto?)
No.
Se l'errore è che ho scritto ideale al posto di gruppo è stata una distrazione.
Se l'errore non è questo potresti spiegarmi perché?
Se l'errore non è questo potresti spiegarmi perché?
Se ho detto che è falso, è evidente che il motivo è che esiste un controesempio: trovalo da solo.
Presumo che se al posto di "se $|R|=|R/I|$ allora $I=(0)$", dicessi che "se l'omomorfismo canonico da $R$ a $R/I$ fosse un isomorfismo allora $I=(0)$ " non cambierebbe niente giusto?
Comunque per il controesempio, $R$ può essere generato finitamente o o prodotto finito di anelli o un anello di polinomi con una quantità finita di indeterminate?
Comunque per il controesempio, $R$ può essere generato finitamente o o prodotto finito di anelli o un anello di polinomi con una quantità finita di indeterminate?
Il punto è che sapere che due anelli sono in biiezione è irrilevante; quello che spesso ti importa è sapere che sono in biiezione, che è una proprietà enormemente piu forte.
E' almeno una ventina di commenti, però, che la discussione è sui binari sbagliati. Torna indietro e prova a risolvere i primi esercizi che ti ho proposto.
E' almeno una ventina di commenti, però, che la discussione è sui binari sbagliati. Torna indietro e prova a risolvere i primi esercizi che ti ho proposto.
Ok, provo a pensarci e vedo se trovo una soluzione.
Giusto per sapere, se dimostro che i 3 spazi sono isomorfi, ho finito, oppure non ottengo niente di importante?
Se la risposta è sì allora : allora tra un modulo e la somma diretta delle sue copie c'è un monomorfismo, inoltre tra $R$ e $R/I$ c'è un epimorfismo (l'omomorfismo canonico), poi da $R/I$ e $R^(\Gamma)$ per ipotesi c'è un isomorfismo. Il monomorfismo è composizione dell'epimorfismo e dell'isomorfismo, allora è anche un epimorfismo, e quindi un isomorfismo. Segue che i tre moduli sono isomorfi. Da qui posso concludere che $I$ è $(0)$ o neanche l'isomorfismo è sufficiente per questo?
Se la risposta è sì allora : allora tra un modulo e la somma diretta delle sue copie c'è un monomorfismo, inoltre tra $R$ e $R/I$ c'è un epimorfismo (l'omomorfismo canonico), poi da $R/I$ e $R^(\Gamma)$ per ipotesi c'è un isomorfismo. Il monomorfismo è composizione dell'epimorfismo e dell'isomorfismo, allora è anche un epimorfismo, e quindi un isomorfismo. Segue che i tre moduli sono isomorfi. Da qui posso concludere che $I$ è $(0)$ o neanche l'isomorfismo è sufficiente per questo?
Non hai capito cosa devi dimostrare. O meglio, l'hai capito ma ti ostini a non dimostrarlo.
Ti ho chiesto di far vedere che non ogni $R$-modulo è libero. Il controesempio è \(R/I\) per $I$ ideale non banale di un anello $R$, guardato come modulo su sé stesso.
Supponi che esista un insieme $\Gamma$ tale che \(R/I\cong R^{(\Gamma)}\); questo è assurdo, perché il sottomodulo \(I\cdot R^{(\Gamma)}\)...
Ti ho chiesto di far vedere che non ogni $R$-modulo è libero. Il controesempio è \(R/I\) per $I$ ideale non banale di un anello $R$, guardato come modulo su sé stesso.
Supponi che esista un insieme $\Gamma$ tale che \(R/I\cong R^{(\Gamma)}\); questo è assurdo, perché il sottomodulo \(I\cdot R^{(\Gamma)}\)...
cosa vuol dire $I \dot{} R^(\Gamma)$ non l'ho mai visto come simbolo?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo