Cardinalità semplice
Ciao ragazzi, ho un problemino su un esercizio..le ipotesi sono:
Si consideri l’insieme $ Omega = {0,1}^2 $ e se ne indichino gli elementi come $ omega = (omega_1, omega_2) $ , dove
ogni $ omega_k in {0,1} $ . Si considerino quindi le due funzioni reali
$ X_n : Omega to RR $ , $ X_n(omega) = omega_n $ , $ n=1,2 $
Ora se voglio trovare la cardinalità di $ Omega $ come devo procedere?
Perchè so che è 4 perchè $ Omega = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} $
..ma non capisco bene che ragionamento fare..
Spero che possiate darmi una mano
Grazie in anticipo
Si consideri l’insieme $ Omega = {0,1}^2 $ e se ne indichino gli elementi come $ omega = (omega_1, omega_2) $ , dove
ogni $ omega_k in {0,1} $ . Si considerino quindi le due funzioni reali
$ X_n : Omega to RR $ , $ X_n(omega) = omega_n $ , $ n=1,2 $
Ora se voglio trovare la cardinalità di $ Omega $ come devo procedere?
Perchè so che è 4 perchè $ Omega = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} $
..ma non capisco bene che ragionamento fare..
Spero che possiate darmi una mano
Grazie in anticipo
Risposte
Se ho capito bene, vuoi sapere come trovi la cardinalità del prodotto cartesiano fra insiemi.
In generale, la cardinalità del prodotto cartesiano di n insiemi è il prodotto del numero di elementi di ogni insieme, quindi la cardinalità di $\Omega={0,1}$X${0,1}$ è 4 perché $\Omega$ è il prodotto di due insiemi di due elementi.
In generale, la cardinalità del prodotto cartesiano di n insiemi è il prodotto del numero di elementi di ogni insieme, quindi la cardinalità di $\Omega={0,1}$X${0,1}$ è 4 perché $\Omega$ è il prodotto di due insiemi di due elementi.
Non sono matematico, ma credo che formalmente devi trovare un isomorfismo [tex]:\Omega\times\Omega\rightarrow\left\{ 1,2,3,4\right\}[/tex], e si trova immediatamente. Questo da la definizione di cardinalità.
Grazie mille vedrò di approfondire un attimo, ma grazie ancora per le vostre informazioni!
Comunque mi sono servite con le info di federicav.
Non capisco sinceramente come praticamente dovrei riuscire ad ottenere un isomorfismo..
Comunque mi sono servite con le info di federicav.
Non capisco sinceramente come praticamente dovrei riuscire ad ottenere un isomorfismo..
Ma secondo me questo è un caso in cui non conviene essere troppo formali. Abbiamo un insieme costituito da quattro elementi. Allora la sua cardinalità è 4, non mi pare il caso di cavillare troppo con isomorfismi e cose del genere, utilissime si, ma per sviluppare la teoria generale e adattarla all'analisi degli insiemi infiniti. Se poi proprio vogliamo essere intuilmente formali, un isomorfismo (ma è meglio dire bigezione in questo contesto) è il seguente:
$(0, 1) \mapsto 1$;
$(1, 0) \mapsto 2$;
$(0,0) \mapsto 3$;
$(1,1) \mapsto 4$.
$(0, 1) \mapsto 1$;
$(1, 0) \mapsto 2$;
$(0,0) \mapsto 3$;
$(1,1) \mapsto 4$.
Ok perfetto..si in realtà non so perchè mi ero inutilmente confuso..
Ma sentite questa ora..
Se considero l'insieme di Bernoulli ovvero $ Omega = {0,1}^NN $ dove $ omega = (omega_k)_(k=1)^oo $ e ogni $ omega_k = {0,1} $ , io dieri che $ Omega $ avendo punti infiniti ha la stessa cardinalità di $ RR $ . E' scorretto dire una cosa del genere?
Perchè ho tutta una dimostrazione, a dire il vero abbastanza facile, che sostiene l'infinita cardinalità del mio insieme, cardinalità uguale quindi a quella di $ RR $
Ma sentite questa ora..
Se considero l'insieme di Bernoulli ovvero $ Omega = {0,1}^NN $ dove $ omega = (omega_k)_(k=1)^oo $ e ogni $ omega_k = {0,1} $ , io dieri che $ Omega $ avendo punti infiniti ha la stessa cardinalità di $ RR $ . E' scorretto dire una cosa del genere?
Perchè ho tutta una dimostrazione, a dire il vero abbastanza facile, che sostiene l'infinita cardinalità del mio insieme, cardinalità uguale quindi a quella di $ RR $
dipende cosa intendi con la frase :"Ω avendo punti infiniti ha la stessa cardinalità di ℝ"
perchè in questo caso è vero che le cardinalità dei due insiemi coincidano, ma in generale non è vero che un insieme infinito qualsiasi sia equocardinale a ℝ.
perchè in questo caso è vero che le cardinalità dei due insiemi coincidano, ma in generale non è vero che un insieme infinito qualsiasi sia equocardinale a ℝ.
Bè intendo che essendo un'insieme $ {0,1} $ ,quindi avente due elementi, cartesiano con se stesso infinite volte, esso ha infiniti elementi..
Magari sbaglio dicendo questo..
Magari sbaglio dicendo questo..
Up
Ci sono tanti insiemi con infiniti elementi e non tutti sono in corrispondenza biunivoca con $RR$. Per esempio $NN$ è infinito ma non puoi trovare una corrispondenza biunivoca $NN to RR$. Nel caso di ${0,1}^{NN}$ una tale corrispondenza esiste ma non si tratta di una cosa ovvia come sostieni tu. Continua a studiare perché sicuramente sul tuo libro è scritto e spiegato nel dettaglio.
Grazie, si ho una dimostrazione carina. Magari appena ho un attimo di tempo la posto
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