Cardinalità anello quoziente
Buon pomeriggio, considerato l'anello $A = (Z7[x])/I$, dove I è l'ideale generato dal polinomio $f(x) = 2x^4 -4$.
Si dica quanti sono gli elementi di A e si provi che A non è un campo.
Gli elementi di A sono tutti i polinomi con grado inferiore a 4 no? ma quali sono? e come faccio a trovarli?
Si dica quanti sono gli elementi di A e si provi che A non è un campo.
Gli elementi di A sono tutti i polinomi con grado inferiore a 4 no? ma quali sono? e come faccio a trovarli?
Risposte
Se $A = {\mathbb{Z}_7[x]}/I$, dove $ \mathbb{Z}_7 = \mathbb{Z}/{7\mathbb{Z}}$ e' l'anello degli interi modulo $7$, ti do un paio di hint.
Hai ragione quando affermi che i polinomi di grado minore (strettamente minore) di $4$ sono un sistema di rappresentanti in $\mathbb{Z}_7[x]$ per gli elementi dell'anello $A$. Quanti coefficienti hanno questi polinomi? Quante possibilita' hai per ciascun coefficiente? Quindi quanto fa il totale?
Per dimostrare che $A$ non e' un campo: quale proprieta' deve avere un ideale $J$ di un anello $R$ affinche' il quoziente $R/J$ sia un campo? $\mathbb{Z}_7[x]$ e' un anello a ideali principali: perche'? La condizione su $J$ come si traduce nel caso di anelli a ideali principali? Quindi cosa resta da dimostrare?
Hai ragione quando affermi che i polinomi di grado minore (strettamente minore) di $4$ sono un sistema di rappresentanti in $\mathbb{Z}_7[x]$ per gli elementi dell'anello $A$. Quanti coefficienti hanno questi polinomi? Quante possibilita' hai per ciascun coefficiente? Quindi quanto fa il totale?
Per dimostrare che $A$ non e' un campo: quale proprieta' deve avere un ideale $J$ di un anello $R$ affinche' il quoziente $R/J$ sia un campo? $\mathbb{Z}_7[x]$ e' un anello a ideali principali: perche'? La condizione su $J$ come si traduce nel caso di anelli a ideali principali? Quindi cosa resta da dimostrare?
resta da dimostrare che il polinomio I in Z7 è riducile?
Ok...ma io ho fatto 300 domande. Se provi a rispondere solo all'ultima mancano un po' di passi intermedi.
si infatti mi sa che mancano un pò di passi. I polinomi dovrebbero avere 6 coefficienti no?
Perche' $6$? Io direi che i polinomi che hanno grado al massimo $3$ hanno $4$ coefficienti.
hanno cioè numero coefficienti = grado polinomio?
un generico polinomio di grado al massimo $3$ ha la forma:
\[
a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0
\]
quindi i suoi coefficienti sono $a_0,a_1,a_2,a_3$, che sono $4$ elementi di $\mathbb{Z}_7$. Quindi quanti elementi sono in totale?
\[
a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0
\]
quindi i suoi coefficienti sono $a_0,a_1,a_2,a_3$, che sono $4$ elementi di $\mathbb{Z}_7$. Quindi quanti elementi sono in totale?
7^4 elementi
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