Caratterizzazione dei sottogruppi tramite automorfismi
Buongiorno.
Avrei bisogno di consigli, suggerimenti, osservazioni su quanto segue.
Sia $G$ un gruppo e sia $T in Aut(G)$.
$i)$ Se $H$ è un sottogruppo di $G$ allora $T(H)$ è un sottogruppo di $G$.
$ii)$ Se $N$ è un sottogruppo normale di $G$ allora $T(N)$ è un sottogruppo normale di $G$.
$iii)$ Se $H$ è un sottogruppo di $G$ tale che $T(H) sub H AA T in Aut(G)$ allora $H$ è un sottogruppo normale di $G$.
$iv)$ $T(Z(G)) sub Z(G))$
$v)$ $T(C(a))=C(T(a))$ dove $C(a)={x in G; xa=ax}$
Verifichiamo i vari punti.
$i)$ Sia $T in Aut(G)$ e sia $H$ un sottogruppo di $G$.
Siano $x_1,x_2 in T(H) => EE h_1, h_2 in H$ tali che $x_1=T(h_1)$ e $x_2=T(h_2)$ $=> x_1x_2=T(h_1)T(h_2)=T(h_1h_2)$ con $h_1h_2 in H$ , $=> x_1x_2 in T(H)$.
Sia $x in T(H) => EE h in H$ tale che $x=T(h)$ ed $EE h^(-1) in H$ $=> T(h^(-1))=(T(h))^(-1)=x^(-1) => x^(-1) in T(H)$.
Quindi $T(H)$ è un sottogruppo di $G$
$ii)$ Siano $g in G$ e $r in T(N)$ allora $EE n in N$ tale che $r=T(n)$. Considero $grg^(-1)$ e provo che appartiene a $T(N))$. Poichè $N$ è un sottogruppo normale di $G$ allora $EE \bar n$ tale che $gng^(-1)=\bar n$. Applicando $T$ si ottiene: $T(\bar n)=T(gng^(-1))=T(g)T(n)(T(g))^(-1)=T(g)r(T(g))^(-1)$, da cui si ottiene che $T(N)$ è normale in $G$ essendo $T(\bar n) in T(N)$ e considerando il fatto che $T$ è suriettiva.
$iii)$ Ho provato sia in maniera diretta cioè usando la definizione di sottogruppo normale, sia per assurdo, ma non sono riuscito a concretizzare il risultato. Idee?
$iv)$ Sia $t in T(Z(G)) => EE a in Z(G)$ tale che $t=T(a)$. D'altra parte $a in Z(G) => xa=ax AA x in G$ quindi: $t=T(a)=T(xax^(-1))=T(x)T(a)(T(x))^(-1) => tT(x)=T(x)t => t in Z(G)$ essendo $T$ suriettiva.
Ora il dubbio: sotto quali ipotesi si ha $T(Z(G)) = Z(G) AA T in Aut(G)$? oppure è sempre verificato perchè $T$ è suriettiva?
$v)$ $T(C(a)) sub C(T(a))$: sia $b in T(C(a)) => b=T(z)$ con $z in C(a) => b=T(z)$ con $az=za$; applicando $T$ si ha: $T(a)b=T(a)T(z)=T(az)=T(za)=T(z)T(a)=bT(a) => b in C(T(a))$
$C(T(a)) sub T(C(a))$: sia $b in C(T(a)) => bT(a)=T(a)b$; essendo $T$ suriettiva $EE \bar b in G$ tale che $b=T(\bar b)$, pertanto $T(\bar ba)=bT(a)=T(a)b=T(a\bar b) => \bar ba=a\bar b$ perchè $T$ è iniettiva, $=> \bar b in C(a) => b=T(\bar b) in T(C(a)).
Grazie
Avrei bisogno di consigli, suggerimenti, osservazioni su quanto segue.
Sia $G$ un gruppo e sia $T in Aut(G)$.
$i)$ Se $H$ è un sottogruppo di $G$ allora $T(H)$ è un sottogruppo di $G$.
$ii)$ Se $N$ è un sottogruppo normale di $G$ allora $T(N)$ è un sottogruppo normale di $G$.
$iii)$ Se $H$ è un sottogruppo di $G$ tale che $T(H) sub H AA T in Aut(G)$ allora $H$ è un sottogruppo normale di $G$.
$iv)$ $T(Z(G)) sub Z(G))$
$v)$ $T(C(a))=C(T(a))$ dove $C(a)={x in G; xa=ax}$
Verifichiamo i vari punti.
$i)$ Sia $T in Aut(G)$ e sia $H$ un sottogruppo di $G$.
Siano $x_1,x_2 in T(H) => EE h_1, h_2 in H$ tali che $x_1=T(h_1)$ e $x_2=T(h_2)$ $=> x_1x_2=T(h_1)T(h_2)=T(h_1h_2)$ con $h_1h_2 in H$ , $=> x_1x_2 in T(H)$.
Sia $x in T(H) => EE h in H$ tale che $x=T(h)$ ed $EE h^(-1) in H$ $=> T(h^(-1))=(T(h))^(-1)=x^(-1) => x^(-1) in T(H)$.
Quindi $T(H)$ è un sottogruppo di $G$
$ii)$ Siano $g in G$ e $r in T(N)$ allora $EE n in N$ tale che $r=T(n)$. Considero $grg^(-1)$ e provo che appartiene a $T(N))$. Poichè $N$ è un sottogruppo normale di $G$ allora $EE \bar n$ tale che $gng^(-1)=\bar n$. Applicando $T$ si ottiene: $T(\bar n)=T(gng^(-1))=T(g)T(n)(T(g))^(-1)=T(g)r(T(g))^(-1)$, da cui si ottiene che $T(N)$ è normale in $G$ essendo $T(\bar n) in T(N)$ e considerando il fatto che $T$ è suriettiva.
$iii)$ Ho provato sia in maniera diretta cioè usando la definizione di sottogruppo normale, sia per assurdo, ma non sono riuscito a concretizzare il risultato. Idee?
$iv)$ Sia $t in T(Z(G)) => EE a in Z(G)$ tale che $t=T(a)$. D'altra parte $a in Z(G) => xa=ax AA x in G$ quindi: $t=T(a)=T(xax^(-1))=T(x)T(a)(T(x))^(-1) => tT(x)=T(x)t => t in Z(G)$ essendo $T$ suriettiva.
Ora il dubbio: sotto quali ipotesi si ha $T(Z(G)) = Z(G) AA T in Aut(G)$? oppure è sempre verificato perchè $T$ è suriettiva?
$v)$ $T(C(a)) sub C(T(a))$: sia $b in T(C(a)) => b=T(z)$ con $z in C(a) => b=T(z)$ con $az=za$; applicando $T$ si ha: $T(a)b=T(a)T(z)=T(az)=T(za)=T(z)T(a)=bT(a) => b in C(T(a))$
$C(T(a)) sub T(C(a))$: sia $b in C(T(a)) => bT(a)=T(a)b$; essendo $T$ suriettiva $EE \bar b in G$ tale che $b=T(\bar b)$, pertanto $T(\bar ba)=bT(a)=T(a)b=T(a\bar b) => \bar ba=a\bar b$ perchè $T$ è iniettiva, $=> \bar b in C(a) => b=T(\bar b) in T(C(a)).
Grazie
Risposte
"deserto":Dato $g in G$ considera la funzione $G to G$ che manda $x$ in $g^{-1}xg$. Cosa puoi dire?
$iii)$ Ho provato sia in maniera diretta cioè usando la definizione di sottogruppo normale, sia per assurdo, ma non sono riuscito a concretizzare il risultato. Idee?
sotto quali ipotesi si ha $T(Z(G)) = Z(G) AA T in Aut(G)$? oppure è sempre verificato perchè $T$ è suriettiva?Prova ad applicare il punto $iv$ all'automorfismo $T^{-1}$.
Se considero l'automorfismo interno $\phi_x :G \to G: x \to g^(-1)xg$ si ha immediatamente $AA h in H$ $\phi_x (h)=g^(-1)hg$, essendo poi $\phi_x (H) sub H$ si ha che $EE \bar h in H$ tale che $\phi_x (h)=\bar h$ $=>\bar h=g^(-1)hg$ ed $H$ è normale in $G$.
$T(Z(G)) sub Z(G) AA T in Aut(G) =>$ in particolare $T^(-1)(Z(G)) sub Z(G)$ essendo anche $T^(-1) in Aut(G)$ quindi $Z(G) sub T(Z(G))$
$T(Z(G)) sub Z(G) AA T in Aut(G) =>$ in particolare $T^(-1)(Z(G)) sub Z(G)$ essendo anche $T^(-1) in Aut(G)$ quindi $Z(G) sub T(Z(G))$
Già.
In riferimento a quanto segue
si chiede ora di trovare un esempio per cui se $N$ è un sottogruppo normale di $G$ allora non è necessariamente $T(N) sub N AA T in Aut(G)$.
Su questo fatto ci ho lavorato sopra cercando un esempio in $S_3$ senza arrivare al dunque, forse $S_3$ non ha sottogruppi normali che contraddicono l'inverso del precedente risultato? Dai conti che ho fatto sembra che ${e, (231), (312)}$ sia l'unico sottogruppo normale di $S_3$. A proposito c'è un Teorema, tipo quello di Sylow, che mi permette di dire quanti sottogruppi di ogni ordine e quanti sono normali per un generico $S_n$?
Allora mi sono accorto che potrebbe andare bene l'esempio pratico che ho discusso nella
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... e&p=363355
$G={e, a, b, ab}$ con $a^2=b^2=e, ab=ba$ è un gruppo di ordine $4$ ed è abeliano, pertanto tutti i suoi sottogruppi sono normali.
Considerato allora $T_3 in Aut(G)$ tale che $T_3(e)=e, T_3(a)=b, T_3(b)=a, T_3(ab)=ab$ si ha che, posto $N_a={e,a}$ e $N_b={e,b}$, risulta $T_3(N_a) sub N_b$ dove $N_a$ e $N_b$ sono sottogruppi normali di $G$.
$iii)$ Se $H$ è un sottogruppo di $G$ tale che $T(H) sub H AA T in Aut(G)$ allora $H$ è un sottogruppo normale di $G$.
si chiede ora di trovare un esempio per cui se $N$ è un sottogruppo normale di $G$ allora non è necessariamente $T(N) sub N AA T in Aut(G)$.
Su questo fatto ci ho lavorato sopra cercando un esempio in $S_3$ senza arrivare al dunque, forse $S_3$ non ha sottogruppi normali che contraddicono l'inverso del precedente risultato? Dai conti che ho fatto sembra che ${e, (231), (312)}$ sia l'unico sottogruppo normale di $S_3$. A proposito c'è un Teorema, tipo quello di Sylow, che mi permette di dire quanti sottogruppi di ogni ordine e quanti sono normali per un generico $S_n$?
Allora mi sono accorto che potrebbe andare bene l'esempio pratico che ho discusso nella
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... e&p=363355
$G={e, a, b, ab}$ con $a^2=b^2=e, ab=ba$ è un gruppo di ordine $4$ ed è abeliano, pertanto tutti i suoi sottogruppi sono normali.
Considerato allora $T_3 in Aut(G)$ tale che $T_3(e)=e, T_3(a)=b, T_3(b)=a, T_3(ab)=ab$ si ha che, posto $N_a={e,a}$ e $N_b={e,b}$, risulta $T_3(N_a) sub N_b$ dove $N_a$ e $N_b$ sono sottogruppi normali di $G$.
Una notazione: dico che un sottogruppo $H$ di $G$ è caratteristico se $T(H) subseteq H$ per ogni $T \in Aut(G)$ (il che è come dire $T(H)=H$ per ogni $T in Aut(G)$). Come hai dimostrato, ogni sottogruppo caratteristico è normale.
Sarebbe interessante trovare un controesempio non abeliano.
"deserto":Quello che si può dire è che se $n ne 4$ i soli sottogruppi normali di $S_n$ sono $1$, $A_n$ e $S_n$, e sono caratteristici. $S_4$ ha un quarto sottogruppo normale del tipo $C_2 xx C_2$, e anzi caratteristico. In effetti in ogni $S_n$ un sottogruppo è normale se e solo se è caratteristico.
c'è un Teorema, tipo quello di Sylow, che mi permette di dire quanti sottogruppi di ogni ordine e quanti sono normali per un generico $S_n$?
Allora mi sono accorto che potrebbe andare bene l'esempio pratico che ho discusso nellaSì concordo.
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... e&p=363355
$G={e, a, b, ab}$ con $a^2=b^2=e, ab=ba$ è un gruppo di ordine $4$ ed è abeliano, pertanto tutti i suoi sottogruppi sono normali.
Considerato allora $T_3 in Aut(G)$ tale che $T_3(e)=e, T_3(a)=b, T_3(b)=a, T_3(ab)=ab$ si ha che, posto $N_a={e,a}$ e $N_b={e,b}$, risulta $T_3(N_a) sub N_b$ dove $N_a$ e $N_b$ sono sottogruppi normali di $G$.
Sarebbe interessante trovare un controesempio non abeliano.
"Martino":Un controesempio non abeliano è (banalmente) $H xx H$, dove $H$ è un fissato gruppo non abeliano, infatti lo scambio $(x,y) to (y,x)$ è un automorfismo di $H xx H$ che scambia i due fattori $H xx 1$ e $1 xx H$, che sono quindi normali ma non caratteristici.
Sarebbe interessante trovare un controesempio non abeliano.
Quindi riformulo: sarebbe interessante trovare un controesempio non abeliano e indecomponibile.
Come faccio a sapere se un gruppo è indecomponibile? Se il gruppo delle unità dei quaternioni è indecomponibile allora credo che esso possa andare bene.
Ciao
Ciao
"deserto":Hai ragione, il gruppo dei quaternioni $Q_8$ (di ordine 8) va bene. Infatti ogni suo sottogruppo è normale ma non ogni suo automorfismo è interno (ed esiste un automorfismo che scambia due generatori). E' indecomponibile perché se potessimo scrivere $Q_8=H xx K$ con $H$, $K$ sottogruppi propri di $Q_8$ allora $H,K$ avrebbero ordine $le 4$ quindi sarebbero abeliani, e di conseguenza anche $Q_8$ dovrebbe essere abeliano, cosa non vera.
Come faccio a sapere se un gruppo è indecomponibile? Se il gruppo delle unità dei quaternioni è indecomponibile allora credo che esso possa andare bene.
Non conosco un metodo generale per decidere se un gruppo è indecomponibile.
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