Campo di spezzamento \(\Rightarrow\) estensione normale

[Indrjo Dedej]

Qui sotto \((\phantom\square)_\ast : \mathbf{CRing} \to \mathbf{CRing}\) è il funtore che manda \(f : R \to S\) in \(f_\ast : R[X] \to S[X]\) definito da \(f_\ast \left(\sum_{i=0}^n a_i X^i\right) = \sum_{i=0}^n f(a_i) X^i\).

Per i digrammi lascio direttamente il codice tikz-cd ([tt]\usepackage{tikz-cd}[/tt] nel preambolo) al posto di mettere foto.

Sia \(i : K \to L\) campo di spezzamento di un fissato \(f \in K[X]\) non nullo e preso \(\alpha \in L\) proviamo che il polinomio minimo \(m \in K[X]\) si spezza completamente in \(L\). Chiaramente \(\alpha \in L\), quindi mostriamo che qualsiasi altra sua radice \(\beta\) appartiene a \(L\). Più o meno, alla fine da qualche parte si arriva mi sembra. Nella dimostrazione con \(\subseteq\) si costruisce un campo di spezzamento \(L \subseteq L'\) di \(i_\ast(m)\), quindi proviamo a dare un nome a questa estensione, \(i' : L \to L'\). Disegniamo per cominciare:

\begin{tikzcd}[row sep=small]
& L \ar["{i'}", dr] \\
K \ar["i", ur] \ar["{k_1}", dr, swap] &  & L' \\
& K(\alpha) \ar["{k_2}", uu]
\end{tikzcd}

Qui introduciamo notazioni: \(k_1\) manda \(r \in K\) in \(i(r)\) mentre \(k_2\) è una mera inclusione insiemistica. Se \(\beta \in L'\) è una delle radici di \(m \in K[X]\), allora possiamo costruire un morfismo di estensioni \(j : K(\alpha) \to L'\) da \(k_2\) a \(i'i\) che manda \(\alpha\) in \(\beta\):

\begin{tikzcd}[row sep=small]
& L \ar["{i'}", dr] \\
K \ar["i", ur] \ar["{k_1}", dr, swap] &  & L' \\
& K(\alpha) \ar["{k_2}", uu] \ar["j", ur, swap]
\end{tikzcd}

Adesso constatiamo che \(f\) si spezza completamente pure su \(L'\). Infatti se \(f\) si spezza come \(c \prod_{l = 1}^n (X-\alpha_l)\) in \(L\), abbiamo
\[\left(i'i\right)_\ast (f) = i'_\ast i_\ast (f) = i'_\ast \left(c \prod_{l = 1}^n (X-\alpha_l)\right) = i'(c) \prod_{l = 1}^n \left(X-i'(\alpha_l)\right) .\]
Ricordando \(i'i = jk_1\), segue che \(k_{1\ast} (f)\) si spezza completamente su \(L'\). Esiste un morfismo di estensioni \(h : L \to L'\) da \(k_2\) a \(j\).

\begin{tikzcd}[row sep=small]
& L \ar["{i'}", dr, shift left] \ar["h", dr, shift right, swap] \\
K \ar["i", ur] \ar["{k_1}", dr, swap] &  & L' \\
& K(\alpha) \ar["{k_2}", uu] \ar["j", ur, swap]
\end{tikzcd}

Qui abbiamo che \(h(\alpha) = h\left(k_2 (\alpha)\right) = j(\alpha) = \beta\). Avevamo detto che volevamo vedere che \(\beta \in L\): ma in realtà abbiamo trovato che \(\beta\) appartiene alla copia di \(L\) dentro \(L'\). Va bene lo stesso... no?

[Indrjo Dedej]

Ditemelo se ho detto qualcosa di strano, non mi tenete sulle spine.