Campo di spezzamento
Scusate se mi ripeto ,ma non riesco a capire, ripongo pertanto la seguente domanda,
Sia $F$ un campo ed $p^n(x)$ un polinomio irriducibile di grado $n$, siano $alpha$ e $beta$ due radici di tale polinomio , allora sarà $F[alpha]~~F[beta]$ secondo un isomorfismo $phi$ che lascia fisso ogni elemento di $F$ ed sia $phi(alpha)=beta$ e sin qui credo sia giusto, se considero i polinomi $(p^n(x))/(x-alpha)=p_1(x)$
ed $(p^n(x))/(x-beta)=p_2(x)$ , l'isomorfismo $phi$ non agisce sul coefficiente $a_i$ di $p_1(x)$ tale che risulti $phi(a_i)=b_i$ con $b_i$ coefficiente i-esimo di $p_2(x)$?
Se la risposta è no , potreste motivarla cortesemente con un esempio, grazie?
Sia $F$ un campo ed $p^n(x)$ un polinomio irriducibile di grado $n$, siano $alpha$ e $beta$ due radici di tale polinomio , allora sarà $F[alpha]~~F[beta]$ secondo un isomorfismo $phi$ che lascia fisso ogni elemento di $F$ ed sia $phi(alpha)=beta$ e sin qui credo sia giusto, se considero i polinomi $(p^n(x))/(x-alpha)=p_1(x)$
ed $(p^n(x))/(x-beta)=p_2(x)$ , l'isomorfismo $phi$ non agisce sul coefficiente $a_i$ di $p_1(x)$ tale che risulti $phi(a_i)=b_i$ con $b_i$ coefficiente i-esimo di $p_2(x)$?
Se la risposta è no , potreste motivarla cortesemente con un esempio, grazie?
Risposte
La risposta è sì, $phi$ agisce come hai detto sugli $a_i$. Lo sai dimostrare? Osservo che (come ti ho già detto infinite volte) non ha senso parlare di matematica senza mai fare dimostrazioni.
I coefficienti di $p_1(x)$ appartengono ad$F[alpha]$,
i coefficienti di $p_2(x)$ appartengono ad $F[beta]$ , ed essendo $F[alpha]~~F[beta]$ secondo l'isomorfismo $phi$, avremo $phi(a_i)=b_i$, giusto?
i coefficienti di $p_2(x)$ appartengono ad $F[beta]$ , ed essendo $F[alpha]~~F[beta]$ secondo l'isomorfismo $phi$, avremo $phi(a_i)=b_i$, giusto?
No
Non saprei, potresti darmi qualche direttiva?
Grazie!
Grazie!
Qualche indicazione per provarlo?
Non chiedo la dimostrazione, solo qualche indicazione,
Sicuramente dimostrarlo ha come implicazione l'unicità del campo di spezzamento, mi sbaglio?
Non chiedo la dimostrazione, solo qualche indicazione,
Sicuramente dimostrarlo ha come implicazione l'unicità del campo di spezzamento, mi sbaglio?
Devi ricordarti che esiste un isomorfismo di anelli tra gli anelli dei polinomi $f:F[alpha][X] to F[beta][X]$ che coincide con $phi$ quando ristretto a $F[alpha]$ e manda $X$ in $X$. In altre parole ogni isomorfismo tra anelli commutativi si estende a un isomorfismo tra gli anelli di polinomi corrispondenti. Questo è un fatto standard la cui dimostrazione la trovi su qualsiasi libro. Poi calcoli $f(p_1(x))$ ricordando che $f$ è omomorfismo, e usando il fatto che $f(alpha)=beta$ (e anche il fatto che $f(p^n(x))=p^n(x)$ perché $phi$ fissa gli elementi di $F$) ottieni che $f(p_1(x))=p_2(x)$.
Ho riflettuto sulla questione vediamo se riesco ad esporla in modo chiaro:
Sia $F$ un campo $p(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile siano $alpha_1$ ed $alpha_2$ due soluzioni si ha che $F[alpha_1]~~(F[x])/(p(x))~~F[alpha_2]$ secondo un isomorfismo $phi$ tale che lasci fisso ogni elemento del campo $F$ ed tale che sia $phi(alpha_1)=alpha_2$ risulterà essere $p(x)=(x-alpha_1)p_1(x)$ ed $p(x)=(x-alpha_2)p_2(x)$ indicando in modo generico rispettivamente i coefficienti di $p_1(x)$ con $a_i$ e di $p_2(x)$ con $b_i$ , dovendo essere $alpha_1a_i=alpha_2b_i$ $in$ $F$ dovrà succedere che $phi(a_i)=b_i$ in quanto gli elementi del campo $F$ devono essere lasciati invariati da $phi$, da ciò discende facilmente l'unicità del campo di spezzamento di un polinomio, o l'equivalente asserzione che due campi di spezzamento di uno stesso polinomio sono isomorfi.
Sbaglio?
Sia $F$ un campo $p(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile siano $alpha_1$ ed $alpha_2$ due soluzioni si ha che $F[alpha_1]~~(F[x])/(p(x))~~F[alpha_2]$ secondo un isomorfismo $phi$ tale che lasci fisso ogni elemento del campo $F$ ed tale che sia $phi(alpha_1)=alpha_2$ risulterà essere $p(x)=(x-alpha_1)p_1(x)$ ed $p(x)=(x-alpha_2)p_2(x)$ indicando in modo generico rispettivamente i coefficienti di $p_1(x)$ con $a_i$ e di $p_2(x)$ con $b_i$ , dovendo essere $alpha_1a_i=alpha_2b_i$ $in$ $F$ dovrà succedere che $phi(a_i)=b_i$ in quanto gli elementi del campo $F$ devono essere lasciati invariati da $phi$, da ciò discende facilmente l'unicità del campo di spezzamento di un polinomio, o l'equivalente asserzione che due campi di spezzamento di uno stesso polinomio sono isomorfi.
Sbaglio?
È fallace il ragionamento, se si, dove?
"francicko":Questo non ha senso. Quei prodotti non sono uguali (perché dovrebbero esserlo?) e nessuno dei due appartiene a $F$ (perché dovrebbero appartenere a $F$?).
$alpha_1a_i=alpha_2b_i$ $in$ $F$
Inoltre niente di quello che hai scritto implica l'unicità del campo di spezzamento.
Hai ragione non ha senso!
Se però considero che $p(x)=(x-alpha_1)p_1(x)=(x-alpha_2)p_2(x)$ , il coefficiente i-esimo di $p(x)$ sarà dato da $a_(i-1)-alpha_1a_i=b_(i-1)-alpha_2b_i$ dove $a_(i-1),a_i$ sono coefficienti di $p_1(x)$ ed $b_(i-1),b_i$ sono coefficienti di $p_2(x)$, l'identità su indicata deve essere mantenuta dall'isomorfismo $phi$ pertanto sarà $phi(a_i)=b_i$, mi sbaglio?
Se però considero che $p(x)=(x-alpha_1)p_1(x)=(x-alpha_2)p_2(x)$ , il coefficiente i-esimo di $p(x)$ sarà dato da $a_(i-1)-alpha_1a_i=b_(i-1)-alpha_2b_i$ dove $a_(i-1),a_i$ sono coefficienti di $p_1(x)$ ed $b_(i-1),b_i$ sono coefficienti di $p_2(x)$, l'identità su indicata deve essere mantenuta dall'isomorfismo $phi$ pertanto sarà $phi(a_i)=b_i$, mi sbaglio?
Ma non hai dimostrato che $phi(a_i)=b_i$, hai solo scritto delle cose e poi hai aggiunto "pertanto sarà $phi(a_i)=b_i$" senza nessuna dimostrazione.
Scusa ma se $p(x)=t_0+t_1x+.....t_ix^i+....t_nx^n$ non sarà
$phi(t_i)=t_i$ essendo che $t_i$ $in$ $F$?
$t_i$ non risulta uguale ad $a_(i-1)-alpha_1a_i$?
Se applico l'isomorfismo $phi$ ad $t_i$ non avrò
$phi(t_i)=phi(a_(i-1))-phi(alpha_1)phi(a_i)$?
$phi(t_i)=t_i$ essendo che $t_i$ $in$ $F$?
$t_i$ non risulta uguale ad $a_(i-1)-alpha_1a_i$?
Se applico l'isomorfismo $phi$ ad $t_i$ non avrò
$phi(t_i)=phi(a_(i-1))-phi(alpha_1)phi(a_i)$?
Sì, ma questo cosa dimostrerebbe? Hai scritto delle cose e poi d'improvviso ti sei fermato. Devi dimostrare che $phi(a_i)=b_i$.
Queste sono delle note di algebra dove si dimostra l'unicità del campo di spezzamento, descrivendone l'idea chiave che sta alla base della dimostrazione, le ho lette attentamente ma forse non ho capito, puoi darmi qualche delucidazione grazie per la pazienza che dimostri.
Mi sono fermato perché non so se sono considerazioni corrette, e se possono condurre al risultato cercato cioè che $phi(a_i)=b_i$
No mi dispiace non ti aiuto a leggere i libri. Devi seguire un corso. E per favore non caricare immagini nel forum, è sempre meglio scrivere tutto nel corpo del messaggio.
Per esempio se io dicessi "abbiamo 1+1=2, e questo conduce a dimostrare l'unicità del campo di spezzamento" capisci che mancano un po' di passaggi logici nel ragionamento.
Il problema è che tu continui a studiare teoria di Galois quando quello che dovresti fare è imparare a scrivere dimostrazioni (e anche a leggere e capire dimostrazioni), e non lo hai ancora imparato.
"francicko":Ma scusa, in che senso "condurre"? Lo devo scrivere io il resto della dimostrazione? (Risposta: no, lo devi scrivere tu.)
Mi sono fermato perché non so se sono considerazioni corrette, e se possono condurre al risultato cercato cioè che $phi(a_i)=b_i$
Per esempio se io dicessi "abbiamo 1+1=2, e questo conduce a dimostrare l'unicità del campo di spezzamento" capisci che mancano un po' di passaggi logici nel ragionamento.
Il problema è che tu continui a studiare teoria di Galois quando quello che dovresti fare è imparare a scrivere dimostrazioni (e anche a leggere e capire dimostrazioni), e non lo hai ancora imparato.
Hai ragione, ma su questa dimostrazione che sto avendo forte difficoltà.
Se $F$ è un campo ed $F[alpha]=F_1$ $~~$ ad $F[beta]=F_2$ allora $F_1[beta]$ risulta isomorfo ad $F_2[alpha]$?
Se $F$ è un campo ed $F[alpha]=F_1$ $~~$ ad $F[beta]=F_2$ allora $F_1[beta]$ risulta isomorfo ad $F_2[alpha]$?
È banale. No?
Comunque se ti serve un libro di Algebra che parte da zero (insiemi, basi di logica e dimostrazioni), c'è Algebra: Notes from the Underground di Aluffi. Indice del libro qui. A me non piace tanto come fa la Teoria di Galois, ma è un libro che letteralmente ti prende per mano e ti porta a spasso.
Comunque se ti serve un libro di Algebra che parte da zero (insiemi, basi di logica e dimostrazioni), c'è Algebra: Notes from the Underground di Aluffi. Indice del libro qui. A me non piace tanto come fa la Teoria di Galois, ma è un libro che letteralmente ti prende per mano e ti porta a spasso.
Mah , perché banale?
La mia domanda è la seguente
Se $F$ è un campo $p(x)$ è ivi irriducibile , siano $alpha$ e $beta$ due qualsiasi radici, risulterà $F[alpha]$ $~~$ $F[beta]$ secondo un isomorfismo $phi$ che fissa ogni elemento del campi $F$ e tale che $phi(alpha)=beta$ se considero i polinomi $p_1(x)=(p(x))/(x-alpha)$ ed $p_2(x)=(p(x))/(x-beta)$ avendo indicato rispettivamente con $a_i$ il termine i-esimo di $p_1(x)$ ed con $b_i$ quello del polinomio $p_2(x)$ devo dimostrare che $phi(a_i)=b_i$
La mia domanda è la seguente
Se $F$ è un campo $p(x)$ è ivi irriducibile , siano $alpha$ e $beta$ due qualsiasi radici, risulterà $F[alpha]$ $~~$ $F[beta]$ secondo un isomorfismo $phi$ che fissa ogni elemento del campi $F$ e tale che $phi(alpha)=beta$ se considero i polinomi $p_1(x)=(p(x))/(x-alpha)$ ed $p_2(x)=(p(x))/(x-beta)$ avendo indicato rispettivamente con $a_i$ il termine i-esimo di $p_1(x)$ ed con $b_i$ quello del polinomio $p_2(x)$ devo dimostrare che $phi(a_i)=b_i$
"francicko":Perché è una delle prime cose che si vede quando si studiano le estensioni di anelli, che \(F[a,b]\) è ben definito proprio perché \((F[a])\cong (F)[a]\).
Mah , perché banale?
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