Campi isomorfi a sottocampi propri
In generale un campo può essere isomorfo a un suo sottocampo proprio.
Sia ad esempio $k$ un campo e sia $k(x)$ il campo delle funzioni razionali in una indeterminata (il campo delle frazioni dell'anello dei polinomi).
E' chiaro che $k(x)$ è isomorfo a $k(x^2)$ attraverso il morfismo di valutazione $x \mapsto x^2$.
Ci sono ipotesi "minime" affinché questo non accada. Ovvero, ci sono ipotesi su $E$ e $F$ per cui, se ho $E \subseteq F$ con $E$ isomorfo ad $F$ (come campi, in generale non come $E$-moduli - quindi non posso usare un argomento sulle dimensioni), allora $E=F$?
I controesempi che ho in mente si riferiscono tutti a campi che hanno grado di trascendenza positivo sul sottocampo primitivo. Se tale grado di trascendenza è zero, credo che si possa concludere che i due campi coincidono (o almeno, non ho in mente controesempi). Un caso ovvio è quello in cui si hanno estensioni finite sul campo primitivo, in cui l'argomento sulle dimensioni funziona perfettamente (perché un morfismo di campi è sempre un morfismo di $k$-moduli, dove $k$ è il sottocampo primitivo). Già nel caso di estensioni algebriche di grado infinito, non so se la cosa sia vera.
Idee???
Sia ad esempio $k$ un campo e sia $k(x)$ il campo delle funzioni razionali in una indeterminata (il campo delle frazioni dell'anello dei polinomi).
E' chiaro che $k(x)$ è isomorfo a $k(x^2)$ attraverso il morfismo di valutazione $x \mapsto x^2$.
Ci sono ipotesi "minime" affinché questo non accada. Ovvero, ci sono ipotesi su $E$ e $F$ per cui, se ho $E \subseteq F$ con $E$ isomorfo ad $F$ (come campi, in generale non come $E$-moduli - quindi non posso usare un argomento sulle dimensioni), allora $E=F$?
I controesempi che ho in mente si riferiscono tutti a campi che hanno grado di trascendenza positivo sul sottocampo primitivo. Se tale grado di trascendenza è zero, credo che si possa concludere che i due campi coincidono (o almeno, non ho in mente controesempi). Un caso ovvio è quello in cui si hanno estensioni finite sul campo primitivo, in cui l'argomento sulle dimensioni funziona perfettamente (perché un morfismo di campi è sempre un morfismo di $k$-moduli, dove $k$ è il sottocampo primitivo). Già nel caso di estensioni algebriche di grado infinito, non so se la cosa sia vera.
Idee???
Risposte
Scusa: che sarebbe \(\displaystyle\mathbb{K}(x^2)\)?
Il campo delle funzioni razionali in $x^2$, immagine della valutazione $k(x) \to k(x)$ data da $x \mapsto x^2$, che ha nucleo banale.
Equivalentemente $k(x^2)$ è il campo quoziente del sottoanello di $k[x]$ (polinomi in una indeterminata) dato dai polinomi in cui $x$ compare solo con esponenti pari.
Equivalentemente $k(x^2)$ è il campo quoziente del sottoanello di $k[x]$ (polinomi in una indeterminata) dato dai polinomi in cui $x$ compare solo con esponenti pari.
Ho capito;
però sei sicuro che quell'omomorfismo "di valutazione" \(\displaystyle v_2\)si sollevi a un isomorfismo tra i campi quozienti?
[tex]\xymatrix{
\mathbb{K}(x)\ar[r]^{\widetilde{v_2}} & \mathbb{K}(x^2)\\
\mathbb{K}[x]\ar@{^{(}->}^{i_1}\ar[r]_{v_2} & \mathbb{K}[x^2]\ar@{^{(}->}_{i_2}
}[/tex]
Mi ricordi l'errore che feci col morfismo di gruppi abeliani seguente:
\[
\cdot2:n\in\mathbb{Z}\to 2n\in2\mathbb{Z}!
\]
però sei sicuro che quell'omomorfismo "di valutazione" \(\displaystyle v_2\)si sollevi a un isomorfismo tra i campi quozienti?
[tex]\xymatrix{
\mathbb{K}(x)\ar[r]^{\widetilde{v_2}} & \mathbb{K}(x^2)\\
\mathbb{K}[x]\ar@{^{(}->}^{i_1}\ar[r]_{v_2} & \mathbb{K}[x^2]\ar@{^{(}->}_{i_2}
}[/tex]
Mi ricordi l'errore che feci col morfismo di gruppi abeliani seguente:
\[
\cdot2:n\in\mathbb{Z}\to 2n\in2\mathbb{Z}!
\]
Non importa neanche partire dall'anello dei polinomi. Puoi definire la valutazione direttamente sul campo delle frazioni (nel tuo diagramma immagino che le $\pi$ siano alla rovescia; non si hanno proiezioni: si hanno immersioni dell'anello dei polinomi nel suo campo delle frazioni).
L'unica cosa di cui bisogna preoccuparsi è che i denominatori in $k(x)$ non vengano valutati in qualcosa di identicamente nullo (che non potrebbe stare a denominatore). Ma questo è ovvio, in quanto $k[x] \to k[x^2]$ è iniettiva.
La moltiplicazione per $2$ è un morfismo di gruppi abeliani. Ovviamente non è un morfismo di anelli. Ma cosa c'entra con questo caso? Anche se vuoi parlare di sollevamento, la valutazione sull'anello dei polinomi è un morfismo iniettivo di anelli che lascia fisso $1$; applicare tale valutazione a numeratore e denominatore di un elemento di $k(x)$ definisce un morfismo di anelli che lascia fisso $1$ (e dunque di campi).
L'unica cosa di cui bisogna preoccuparsi è che i denominatori in $k(x)$ non vengano valutati in qualcosa di identicamente nullo (che non potrebbe stare a denominatore). Ma questo è ovvio, in quanto $k[x] \to k[x^2]$ è iniettiva.
La moltiplicazione per $2$ è un morfismo di gruppi abeliani. Ovviamente non è un morfismo di anelli. Ma cosa c'entra con questo caso? Anche se vuoi parlare di sollevamento, la valutazione sull'anello dei polinomi è un morfismo iniettivo di anelli che lascia fisso $1$; applicare tale valutazione a numeratore e denominatore di un elemento di $k(x)$ definisce un morfismo di anelli che lascia fisso $1$ (e dunque di campi).
"Pappappero":Era solo un ricordo, e non ricordo perché è un errore; e se ho ragione, lo stesso erro lo stai commettendo tu con \(\displaystyle v_2\)... Però non riesco a venirne a capo... ci penserò meglio domani!
...La moltiplicazione per $2$ è un morfismo di gruppi abeliani. Ovviamente non è un morfismo di anelli...
Non ho capito... Sto solo valutando. La valutazione e' sempre un morfismo.
Comunque, se ti da' noia, dimentica la valutazione. $k(x^2)$ e' semplicemente il campo delle frazioni ottenuto dall'anello $k[x^2]$, sottoanello di $k[x]$ che contiene i polinomi in cui compaiono solo monomi di grado pari.
Se vuoi un esempio piu' convincente che un campo puo' essere strettamente contenuto in un suo sottocampo proprio, puoi prendere $k(x_1 , x_2...)$ (funzioni razionali in infinite indeterminate) che ha come sottocampo proprio $k(x_2,x_3,...)$ (sempre funzioni razionali in infinite indeterminate, partendo da $x_2$). Tuttavia questo esempio e' meno bellino, perche' il campo piu' grande e' trascendente su quello piu' piccolo (l'idea e' che c'e' un sacco di spazio per fare cose strane).
Invece $k(x)$ e' algebrico (di grado $2$) su $k(x^2)$, eppure i due campi sono isomorfi.
Mi piaceva trovare ipotesi sui due campi affinche' un'estensione di questo tipo li forzasse ad essere lo stesso campo.
Comunque, se ti da' noia, dimentica la valutazione. $k(x^2)$ e' semplicemente il campo delle frazioni ottenuto dall'anello $k[x^2]$, sottoanello di $k[x]$ che contiene i polinomi in cui compaiono solo monomi di grado pari.
Se vuoi un esempio piu' convincente che un campo puo' essere strettamente contenuto in un suo sottocampo proprio, puoi prendere $k(x_1 , x_2...)$ (funzioni razionali in infinite indeterminate) che ha come sottocampo proprio $k(x_2,x_3,...)$ (sempre funzioni razionali in infinite indeterminate, partendo da $x_2$). Tuttavia questo esempio e' meno bellino, perche' il campo piu' grande e' trascendente su quello piu' piccolo (l'idea e' che c'e' un sacco di spazio per fare cose strane).
Invece $k(x)$ e' algebrico (di grado $2$) su $k(x^2)$, eppure i due campi sono isomorfi.
Mi piaceva trovare ipotesi sui due campi affinche' un'estensione di questo tipo li forzasse ad essere lo stesso campo.
"j18eos":Invece no: \(\displaystyle\mathbb{Z}\) e \(\displaystyle2\mathbb{Z}\) sono gruppi abeliani isomorfi (altrimenti \(\displaystyle\mathbf{Ab}\) non sarebbe una categoria abeliana);
...Mi ricordi l'errore che feci col morfismo di gruppi abeliani seguente:
\[
\cdot2:n\in\mathbb{Z}\to 2n\in2\mathbb{Z}!
\]
con lo stesso ragionamento si ha che \(\displaystyle\mathbb{K}[x]\) è isomorfo a \(\displaystyle\mathbb{K}[x^2]\) e di conseguenza i loro campi quozienti sono isomorfi!
Ma è quello che io sto dicendo da 5 post...o mi son perso qualcosa?
Lo so che lo stai ripetendo ab initio, ma quando io dissi vicino a una prof.a di algebra che \(\displaystyle\mathbb{Z}\) e \(\displaystyle2\mathbb{Z}\) sono isomorfi a causa di quel morfismo le feci venire una crisi isterica (dico sul serio!); mutatis mutandis questo ricordo si è esteso a quel morfismo di valutazioni di anelli commutativi unitari!
Ora che siamo tutti e due d'accordo: cosa è rimasto in sospeso?
Ora che siamo tutti e due d'accordo: cosa è rimasto in sospeso?
La domanda che ho fatto nel primo post.
Ci sono ipotesi carine su due campi $E,F$ tali che, se $E$ e $F$ sono isomorfi e $E \subseteq F$, allora $E = F$?
Ipotesi facile: se $F$ è un'estensione finita del suo campo primitivo (si chiama così? Intendo $\mathbb{Q}$ in caratteristica $0$ e \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) in caratteristica positiva), allora questo fatto è vero, perché l'isomorfismo di campi è un isomorfismo di spazi vettoriali sul campo primitivo (e quindi basta ragionare sulle dimensioni).
In generale non è vero.
Se ci restringiamo a sole estensioni algebriche? E per estensioni non algebriche si può dire qualcosa?
Ci sono ipotesi carine su due campi $E,F$ tali che, se $E$ e $F$ sono isomorfi e $E \subseteq F$, allora $E = F$?
Ipotesi facile: se $F$ è un'estensione finita del suo campo primitivo (si chiama così? Intendo $\mathbb{Q}$ in caratteristica $0$ e \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) in caratteristica positiva), allora questo fatto è vero, perché l'isomorfismo di campi è un isomorfismo di spazi vettoriali sul campo primitivo (e quindi basta ragionare sulle dimensioni).
In generale non è vero.
Se ci restringiamo a sole estensioni algebriche? E per estensioni non algebriche si può dire qualcosa?
Due telegrammi... tra poco faccio domanda di assunzione alle poste, a causa dei telegrammi che sto scrivendo in questo forum negli ultimi giorni!
Eviterei di parlare di campi primitivi, in quanto nella teoria delle estensioni dei campi vi è un oggetto chiamato elemento primitivo (dell'estensione?) e quindi si potrebbe parlare di estensioni primitive e quindi di campi primitivi.
In genere si parla di campo (o in generale di anello commutativo unitario) fondamentale!
A meno di smentite: a meno di isomorfismi, ogni campo ha un'unica estensione trascendete tramite un elemento trascendente!
Eviterei di parlare di campi primitivi, in quanto nella teoria delle estensioni dei campi vi è un oggetto chiamato elemento primitivo (dell'estensione?) e quindi si potrebbe parlare di estensioni primitive e quindi di campi primitivi.
In genere si parla di campo (o in generale di anello commutativo unitario) fondamentale!
A meno di smentite: a meno di isomorfismi, ogni campo ha un'unica estensione trascendete tramite un elemento trascendente!
Ok: chiamiamolo sottocampo fondamentale.
Concordo. Se $k$ è un campo e $t$ è trascendente su $k$, allora $k(t)$ (l'estensione di $k$ tramite $t$) è isomorfo a $k(x)$ (l'anello delle funzioni razionali su $k$).
Questo ci aiuta?
Concordo. Se $k$ è un campo e $t$ è trascendente su $k$, allora $k(t)$ (l'estensione di $k$ tramite $t$) è isomorfo a $k(x)$ (l'anello delle funzioni razionali su $k$).
Questo ci aiuta?
Pensandoci un poco...
Te lo scrivo come novello geometra algebrico.
Volendo utilizzare la tecnologia della geometria algebrica: questo non ci aiuta affatto, almeno se \(\displaystyle\mathbb{K}\) è algebricamente chiuso!
Ti è chiaro il perché o devo dilungarmi su questo particolare?
"Pappappero":Quello è un campo!
...(campo delle funzioni razionali su $ k $).
Questo ci aiuta?
Te lo scrivo come novello geometra algebrico.Volendo utilizzare la tecnologia della geometria algebrica: questo non ci aiuta affatto, almeno se \(\displaystyle\mathbb{K}\) è algebricamente chiuso!
Ti è chiaro il perché o devo dilungarmi su questo particolare?
Nel caso di estensioni trascendenti c'e' l'esempio $k(x^2) \subseteq k(x)$ (senza tirare in ballo la proprieta' di chiusura algebrica), e quindi limitandosi a dare ipotesi sui campi non credo si possa determinare una situazione in cui e' possibile garantire che le due estensioni coincidano.
Mi piaceva quindi pensare ad estensioni algebriche in generale, senza limitarsi al caso del campo fondamentale, oppure, anche nel caso del campo fondamentale, mi piaceva capire cosa succede con estensioni algebriche di grado infinito.
Ad esempio, se $\bar{\mathbb{Q}}$ e' la chiusura algebrica di $\mathbb{Q}$, ed $E \subseteq \bar{\mathbb{Q}}$ e' isomorfo a $\bar{\mathbb{Q}}$, si puo' garantire $E = \bar{\mathbb{Q}}$. Direi di si, perche' $\mathbb{Q}$ (e quindi il suo anello di polinomi) viene fissato dall'isomorfismo, e quindi se $a \in \bar \mathbb{Q} - E$, si otterrebbe un polinomio che ha uno zero da una parte ma non dall'altra.
Piu' in generale, se $\mathbb{Q} \subseteq E\subseteq F$ sono estensioni algebriche di grado infinito, ed $E$ e' isomorfo ad $F$, si puo' dire che $E = F$? Lo stesso argomento mi pare funzioni.
E nel caso in cui si abbiano estensioni trascendenti su $\mathbb{Q}$ ma algebriche tra loro? Tipo $\mathbb{Q} \subseteq k \subseteq E \subseteq F$, con $k | \mathbb{Q}$ trascendente?
Mi piaceva quindi pensare ad estensioni algebriche in generale, senza limitarsi al caso del campo fondamentale, oppure, anche nel caso del campo fondamentale, mi piaceva capire cosa succede con estensioni algebriche di grado infinito.
Ad esempio, se $\bar{\mathbb{Q}}$ e' la chiusura algebrica di $\mathbb{Q}$, ed $E \subseteq \bar{\mathbb{Q}}$ e' isomorfo a $\bar{\mathbb{Q}}$, si puo' garantire $E = \bar{\mathbb{Q}}$. Direi di si, perche' $\mathbb{Q}$ (e quindi il suo anello di polinomi) viene fissato dall'isomorfismo, e quindi se $a \in \bar \mathbb{Q} - E$, si otterrebbe un polinomio che ha uno zero da una parte ma non dall'altra.
Piu' in generale, se $\mathbb{Q} \subseteq E\subseteq F$ sono estensioni algebriche di grado infinito, ed $E$ e' isomorfo ad $F$, si puo' dire che $E = F$? Lo stesso argomento mi pare funzioni.
E nel caso in cui si abbiano estensioni trascendenti su $\mathbb{Q}$ ma algebriche tra loro? Tipo $\mathbb{Q} \subseteq k \subseteq E \subseteq F$, con $k | \mathbb{Q}$ trascendente?
"Pappappero":Sì concordo!
...se $ \bar{\mathbb{Q}} $ e' la chiusura algebrica di $ \mathbb{Q} $, ed $ E \subseteq \bar{\mathbb{Q}} $ e' isomorfo a $ \bar{\mathbb{Q}} $, si puo' garantire $ E = \bar{\mathbb{Q}} $. Direi di si, perche' $ \mathbb{Q} $ (e quindi il suo anello di polinomi) viene fissato dall'isomorfismo, e quindi se $ a \in \bar \mathbb{Q} - E $, si otterrebbe un polinomio che ha uno zero da una parte ma non dall'altra...
"Pappappero":Anche secondo me.
...Piu' in generale, se $ \mathbb{Q} \subseteq E\subseteq F $ sono estensioni algebriche di grado infinito, ed $ E $ e' isomorfo ad $ F $, si puo' dire che $ E = F $? Lo stesso argomento mi pare funzioni...
"Pappappero":Utilizzi lo stesso trucco, dove però al posto di \(\displaystyle\mathbb{Q}\) utilizzi \(\displaystyle\mathbb{K}\)!
...E nel caso in cui si abbiano estensioni trascendenti su $ \mathbb{Q} $ ma algebriche tra loro? Tipo $ \mathbb{Q} \subseteq k \subseteq E \subseteq F $, con $ k | \mathbb{Q} $ trascendente?
P.S.: Se vuoi ti mostro perché la geometria algebrica non ci aiuta... e scusami se faccio più da controllore che da aiuto!
L'unica cosa che non mi torna è l'ultimo punto, ed è quello che vorrei capire un po' meglio.
L'esempio è quello di cui parlavo qualche post sopra:
con $k=E=\mathbb{Q}(x^2)$ e $F = \mathbb{Q}(x)$, si ha che $E$ è isomorfo ad $F$ ma non coincidono. Il punto è che l'isomorfismo fissa il campo base (e questo bastava per fissare i polinomi dei quali si cercavano le radici nel caso algebrico), ma non fissa l'elemento trascendente.
Più precisamente, il morfismo di campi $E \to F$ è un morfismo di $\mathbb{Q}$-moduli, ma non un morfismo di $\mathbb{Q}(x^2)$-moduli. In generale ogni morfismo di campi è un morfismo di moduli sul campo base, ma non un morfismo di moduli sui campi che ci sono sopra il campo base.
L'esempio è quello di cui parlavo qualche post sopra:
con $k=E=\mathbb{Q}(x^2)$ e $F = \mathbb{Q}(x)$, si ha che $E$ è isomorfo ad $F$ ma non coincidono. Il punto è che l'isomorfismo fissa il campo base (e questo bastava per fissare i polinomi dei quali si cercavano le radici nel caso algebrico), ma non fissa l'elemento trascendente.
Più precisamente, il morfismo di campi $E \to F$ è un morfismo di $\mathbb{Q}$-moduli, ma non un morfismo di $\mathbb{Q}(x^2)$-moduli. In generale ogni morfismo di campi è un morfismo di moduli sul campo base, ma non un morfismo di moduli sui campi che ci sono sopra il campo base.
Scusa: \(\displaystyle E\) ed \(\displaystyle F\) sono algebrici solo su \(\displaystyle\mathbb{Q}\) e non tra loro?
Non ho capito a che situazioni ti riferisci. Io sto pensando a due casi:
\[\mathbb{Q} \subseteq E \subseteq F \]
con $F$ algebrico su $\mathbb{Q}$ e di conseguenza $E$ algebrico su $\mathbb{Q}$.
\[\mathbb{Q} \subseteq k \subseteq E \subseteq F \]
con $k$ trascendente su $\mathbb{Q}$ ed $F$ algebrico su $k$; di consegunza si avrà $E$ algebrico su $k$ e trascedente su $\mathbb{Q}$ (e chiaramente $F$ trascendente su $\mathbb{Q}$.
Il primo caso direi che è risolto, e l'isomorfismo tra $E$ ed $F$ forza $E = F$.
L'altro caso ha il controesempio delle funzioni razionali in $x^2$. Però forse aggiungendo qualche ipotesi (e sto cercando di capire quali) si può dire qualcosa di più.
Cosa intendi quando dici che la geometria algebrica non ci aiuta? Per come ho sempre studiato geometria algebrica, il campo è fissato all'inizio e difficilmente cambia. Si può studiare Galois theory realizzando i gruppi di Galois di determinate estensioni come deck transformations di certi rivestimenti sopra qualche varietà, ma non mi ci sono mai addentrato particolarmente.
\[\mathbb{Q} \subseteq E \subseteq F \]
con $F$ algebrico su $\mathbb{Q}$ e di conseguenza $E$ algebrico su $\mathbb{Q}$.
\[\mathbb{Q} \subseteq k \subseteq E \subseteq F \]
con $k$ trascendente su $\mathbb{Q}$ ed $F$ algebrico su $k$; di consegunza si avrà $E$ algebrico su $k$ e trascedente su $\mathbb{Q}$ (e chiaramente $F$ trascendente su $\mathbb{Q}$.
Il primo caso direi che è risolto, e l'isomorfismo tra $E$ ed $F$ forza $E = F$.
L'altro caso ha il controesempio delle funzioni razionali in $x^2$. Però forse aggiungendo qualche ipotesi (e sto cercando di capire quali) si può dire qualcosa di più.
Cosa intendi quando dici che la geometria algebrica non ci aiuta? Per come ho sempre studiato geometria algebrica, il campo è fissato all'inizio e difficilmente cambia. Si può studiare Galois theory realizzando i gruppi di Galois di determinate estensioni come deck transformations di certi rivestimenti sopra qualche varietà, ma non mi ci sono mai addentrato particolarmente.
Scusami, ma perché \(\displaystyle\mathbb{Q}(x)\) è algebrico su \(\displaystyle\mathbb{Q}(x^2)\)? Stavi affermando questo?
In generale: suppone che \(\displaystyle F\) sia algebrico su \(\displaystyle E\) oppure no?
E nello specifico, pensavo alla geometria algebrica (bi)razionale; e non ai rivestimenti (étale?).
In generale: suppone che \(\displaystyle F\) sia algebrico su \(\displaystyle E\) oppure no?
E nello specifico, pensavo alla geometria algebrica (bi)razionale; e non ai rivestimenti (étale?).
Si...supponiamo che $F$ sia algebrico su $E$. E $\mathbb{Q}(x)$ è algebrico su $\mathbb{Q}(x^2)$ perché $x$ è radice del polinomio $t^2 - x^2 \in \mathbb{Q}(x^2)[t]$ (anello dei polinomi in una variabile su $E = \mathbb{Q}(x^2)$).
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