Campi isomorfi a sottocampi propri
In generale un campo può essere isomorfo a un suo sottocampo proprio.
Sia ad esempio $k$ un campo e sia $k(x)$ il campo delle funzioni razionali in una indeterminata (il campo delle frazioni dell'anello dei polinomi).
E' chiaro che $k(x)$ è isomorfo a $k(x^2)$ attraverso il morfismo di valutazione $x \mapsto x^2$.
Ci sono ipotesi "minime" affinché questo non accada. Ovvero, ci sono ipotesi su $E$ e $F$ per cui, se ho $E \subseteq F$ con $E$ isomorfo ad $F$ (come campi, in generale non come $E$-moduli - quindi non posso usare un argomento sulle dimensioni), allora $E=F$?
I controesempi che ho in mente si riferiscono tutti a campi che hanno grado di trascendenza positivo sul sottocampo primitivo. Se tale grado di trascendenza è zero, credo che si possa concludere che i due campi coincidono (o almeno, non ho in mente controesempi). Un caso ovvio è quello in cui si hanno estensioni finite sul campo primitivo, in cui l'argomento sulle dimensioni funziona perfettamente (perché un morfismo di campi è sempre un morfismo di $k$-moduli, dove $k$ è il sottocampo primitivo). Già nel caso di estensioni algebriche di grado infinito, non so se la cosa sia vera.
Idee???
Sia ad esempio $k$ un campo e sia $k(x)$ il campo delle funzioni razionali in una indeterminata (il campo delle frazioni dell'anello dei polinomi).
E' chiaro che $k(x)$ è isomorfo a $k(x^2)$ attraverso il morfismo di valutazione $x \mapsto x^2$.
Ci sono ipotesi "minime" affinché questo non accada. Ovvero, ci sono ipotesi su $E$ e $F$ per cui, se ho $E \subseteq F$ con $E$ isomorfo ad $F$ (come campi, in generale non come $E$-moduli - quindi non posso usare un argomento sulle dimensioni), allora $E=F$?
I controesempi che ho in mente si riferiscono tutti a campi che hanno grado di trascendenza positivo sul sottocampo primitivo. Se tale grado di trascendenza è zero, credo che si possa concludere che i due campi coincidono (o almeno, non ho in mente controesempi). Un caso ovvio è quello in cui si hanno estensioni finite sul campo primitivo, in cui l'argomento sulle dimensioni funziona perfettamente (perché un morfismo di campi è sempre un morfismo di $k$-moduli, dove $k$ è il sottocampo primitivo). Già nel caso di estensioni algebriche di grado infinito, non so se la cosa sia vera.
Idee???
Risposte
Finalmente ho ricominicato a connettere...
"j18eos":Invece, non è vero!
...Volendo utilizzare la tecnologia della geometria algebrica: questo non ci aiuta affatto, almeno se \(\displaystyle\mathbb{K}\) è algebricamente chiuso!...
Considerati l'iperbole \(\displaystyle H=V(xy-1)\subset\mathbb{A}^2_{\mathbb{C}}\),mediante un semplice argomento di Rabinowitsch si ha che essa è regolarmente isomorfa a \(\displaystyle X=\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}\setminus\{0\}\).
Considerata la sequenza di inclusioni (a meno di isomorfismi regolari) \(\displaystyle H\simeq X\to\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}\to\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\), si ha che i loro anelli delle funzioni regolari sono inclusi, opportunamente, l'uno nell'altro, ma i loro campi delle funzioni razionali sono isomorfi!
Devo esporre i dettagli?
Poi tornerò sul punto lasciato in sospeso.
Comprendo gli isomorfismi di cui parli. Mi torna che i campi delle funzioni razionali siano isomorfi. Mi sfugge il collegamento con il resto del thread.
"Pappappero":È per fornirti una sorgente di esempi...
...Mi sfugge il collegamento con il resto del thread.
mmm..capito..bu..ci pensero'..
Mi pare di capire che in generale per estensioni trascendenti sia un casino far collassare insieme i due campi.
Mi pare di capire che in generale per estensioni trascendenti sia un casino far collassare insieme i due campi.
Secondo me il problema, in generale, è un gran casino; poi di esempi e controesempi se ne trovano a bizzeffe!
Molto interessante! Ma per curiosità,
(*) esistono sottocampi propri di [tex]\mathbb{C}[/tex] isomorfi a [tex]\mathbb{C}[/tex]?
Un tale sottocampo deve contenere a sua volta un sottocampo isomorfo a [tex]\mathbb{R}[/tex] (su cui ha dimensione 2), e allora uno si chiede quali sono i sottocampi di [tex]\mathbb{C}[/tex] isomorfi a [tex]\mathbb{R}[/tex], cerca in rete e trova questo
ma non mi pare ovvio che la dimensione di [tex]\mathbb{C}[/tex] su un sottocampo isomorfo a [tex]\mathbb{R}[/tex] debba per forza essere 2 (questo se fosse vero basterebbe per concludere che la risposta a (*) è NO).
(*) esistono sottocampi propri di [tex]\mathbb{C}[/tex] isomorfi a [tex]\mathbb{C}[/tex]?
Un tale sottocampo deve contenere a sua volta un sottocampo isomorfo a [tex]\mathbb{R}[/tex] (su cui ha dimensione 2), e allora uno si chiede quali sono i sottocampi di [tex]\mathbb{C}[/tex] isomorfi a [tex]\mathbb{R}[/tex], cerca in rete e trova questo
ma non mi pare ovvio che la dimensione di [tex]\mathbb{C}[/tex] su un sottocampo isomorfo a [tex]\mathbb{R}[/tex] debba per forza essere 2 (questo se fosse vero basterebbe per concludere che la risposta a (*) è NO).
Probabilmente sbaglio qualcosa ma se \(f\mathbb{C}\cong_g \mathbb{R}\) dove \(\displaystyle g\colon f\mathbb{C}\to\mathbb{R} \) è l'isomorfismo tra di loro e \(\displaystyle f\colon \mathbb{C}\to \mathbb{C} \) è un isomorfismo allora \(\displaystyle g\circ f\colon \mathbb{C}\to \mathbb{R} \) è un isomorfismo di campi e \[0 = (g\circ f)(0) = (g\circ f)(i^2 + 1) = (g\circ f)(i)^2 + (g\circ f)(1) = (g\circ f)(i)^2 + 1 \] ma allora dato \(\displaystyle y = (g\circ f)(i)\in\mathbb{R} \) si ha \(\displaystyle y^2 + 1 = 0 \) . Ma sappiamo che questo \(\displaystyle y \) non esiste e quindi l'assurdo.
Ripensandoci mi sa che ho frainteso l'intervento di Martino e pensasse piuttosto a dimensioni maggiori di 2 piuttosto che nulle.
Non vorrei dire fesserie ma, supponiamo che $F$ sia un sottocampo di $\mathbb C$ isomorfo a $\mathbb R$. Allora c'e' un morfismo di campi
\[
f: \mathbb R \to \mathbb C
\]
che ha come immagine il nostro $F$. Ora, questo morfismo deve fissare $\mathbb Q$.
Tuttavia mi pareva che l'unico automorfismo di $\mathbb R$ fosse l'identita' (pero' si usava l'ordinamento per dimostrare questa cosa). Mi sa che sto saltando qualcosa, ma cosi' a occhio questo dovrebbe bastare che l'unico morfismo di $\mathbb R$ in $\mathbb C$ e' l'identita'.
Se questo e' vero si conclude che l'unico automorfismo di $\mathbb C$ e' il coniugio complesso. E' vero?
\[
f: \mathbb R \to \mathbb C
\]
che ha come immagine il nostro $F$. Ora, questo morfismo deve fissare $\mathbb Q$.
Tuttavia mi pareva che l'unico automorfismo di $\mathbb R$ fosse l'identita' (pero' si usava l'ordinamento per dimostrare questa cosa). Mi sa che sto saltando qualcosa, ma cosi' a occhio questo dovrebbe bastare che l'unico morfismo di $\mathbb R$ in $\mathbb C$ e' l'identita'.
Se questo e' vero si conclude che l'unico automorfismo di $\mathbb C$ e' il coniugio complesso. E' vero?
Gli unici automorfismi continui di C sono l'identità e il coniugio, ma se togli la continuità trovi altre cose, cf. qui.
@Martino Grazie per le informazioni, davvero affascinanti.
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