Campi algebricamente chiuso

miuemia
ciao ho un dubbio: un campo algebricamente chiuso ad esempio $CC$ può ammettere elementi trascendenti?????

Risposte
zorn1
Trascendenti in quale campo?
Immagino dici su di esso.

Nella costruzione dell'anello dei polinomi su un campo si ha che il polinomio $X=(0,1,0,...)$ è un elemento trascendente su tale campo. Quindi se ho capito bene la domanda la risposta è sì, sempre.

miuemia
si intendo nello stesso campo

miuemia
e perche tale $X$ è trascendete???

TomSawyer1
Certo, li puo' ammettere. $CC$ ha i soliti numeri trascendenti. Dipende dai casi. Per esempio, il campo algebricamente chiuso degli algebrici complessi non ne ammette, ovviamente.

Studente Anonimo
Studente Anonimo
Scusate ma come dice Zorn, dato un qualunque campo K l'elemento X dell'estensione K(X) di K (ove K(X) è il campo delle frazioni dell'anello dei polinomi K[X]) è trascendente su K, esattamente per come sono definiti i polinomi: due polinomi in X sono uguali se e solo se hanno gli stessi coefficienti; ora, se esiste una combinazione lineare di potenze di X con coefficienti in K che dà zero (cioè un polinomio a coefficienti in K che annulla X), necessariamente ogni coefficiente è zero, quindi X è trascendente.

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