Calcolo gruppi fondamentali
Ciao a tutti.
Devo calcolare il gruppo fondamentale di 3 sfere S^2 tangenti a due a due.
Inizialmente pensavo di poter usare l'omeomorfismo tra S^2-{un punto} e R^2, ma i punti nelle sfere ce li ho tutti.
Come posso fare?
Forse potrebbe essere utile Van Kampen, ma non riesco molto ad usarlo, me lo spiegate?
Grazie[/img]
Devo calcolare il gruppo fondamentale di 3 sfere S^2 tangenti a due a due.
Inizialmente pensavo di poter usare l'omeomorfismo tra S^2-{un punto} e R^2, ma i punti nelle sfere ce li ho tutti.
Come posso fare?
Forse potrebbe essere utile Van Kampen, ma non riesco molto ad usarlo, me lo spiegate?
Grazie[/img]
Risposte
giustissimo!!..consideri ogni singola sfera privata di un punto( scegline uno di tangenza) è semplicemente connessa, l'insieme è costituito di tre insiemi omeomorfi ad aperti semplicemente connessi (R^2) e le loro intersezioni sono connesse per archi quindi da van Kampen il gruppo delle tre sfere è generato dal gruppo di ognuna e quindi è l'insieme globale semplicemente connesso
Ma mi è consentito togliere dei punti alle sfere? questa cosa non mi convince.
Io le sfere le ho intere, e, anche togliendo un punto ad ogni sfera, mi rimane la parte centrale, diciamo il "triangolo". Che ci faccio?
Piuttosto, non posso retrarre il "triangolo" a un punto e quindi ottenere un bouquet di sfere?
Ma, ammesso che ciò si possa fare il gruppo fondamentale del bouquet di 3 sfere qual è?
Io le sfere le ho intere, e, anche togliendo un punto ad ogni sfera, mi rimane la parte centrale, diciamo il "triangolo". Che ci faccio?
Piuttosto, non posso retrarre il "triangolo" a un punto e quindi ottenere un bouquet di sfere?
Ma, ammesso che ciò si possa fare il gruppo fondamentale del bouquet di 3 sfere qual è?
Anzi anzi anzi, forse ci sono.
La sfera è semplicemente connessa => gruppo fondamentale banale
se ho 2 sfere, $S_1$ e $S_2$, tangenti prendo due aperti A e B tali che $S_1\subset A$ e $S_2\subset B$ e tali che A intersecato B contiene il punto di tangenza.
Allora, siccome A intersecato B è contrattile (o contraibile? non ricordo come si dice), è omotopicamente banale, quindi per Van Kampen il gruppo fondamentale è dato dal prodotto dei gruppi fondamentali di A e B che però sono banali.
Per induzione ho che se ho "X=n sfere tangenti in un punto" il gruppo fondamentale è il prodotto degli n gruppi fondamentali => gruppo fondamentale di X è banale.
Che ne dite? Se pò fà?
La sfera è semplicemente connessa => gruppo fondamentale banale
se ho 2 sfere, $S_1$ e $S_2$, tangenti prendo due aperti A e B tali che $S_1\subset A$ e $S_2\subset B$ e tali che A intersecato B contiene il punto di tangenza.
Allora, siccome A intersecato B è contrattile (o contraibile? non ricordo come si dice), è omotopicamente banale, quindi per Van Kampen il gruppo fondamentale è dato dal prodotto dei gruppi fondamentali di A e B che però sono banali.
Per induzione ho che se ho "X=n sfere tangenti in un punto" il gruppo fondamentale è il prodotto degli n gruppi fondamentali => gruppo fondamentale di X è banale.
Che ne dite? Se pò fà?
Il gruppo fondamentale di un bouquet di n sfere è zero, questo però non si applica al tuo caso non puoi contrarre quel triangolo. Il gruppo fondamentale, nell'esercizio iniziale è $ZZ$, la dimostrazione la so fare utilizzando i CW-complessi, se sai cosa sono te la scrivo (non è complicata).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo