Calcolo discreto - Quadrato perfetto
Data la sommatoria:
$sum (2n-1)$ da $N=1$ a $N=S$
Il risultato è ovviamente $S^2$
e.g.
se $S=5$; $y=25$;
Modificando tale successione in:
$K+sum (2n-1)$ da $N=m$ a $N=S$ con $m>1$ e $K<=(2*m)-1$
Per quale valore di S avrò un quadrato perfetto come risultato della sommatoria?
Non sò se è chiaro, in caso chiedete maggiori info. (non sono riuscito a scrivere i valori della sommatoria come richiesto dal forum, mi scuso)
Grazie in anticipo
$sum (2n-1)$ da $N=1$ a $N=S$
Il risultato è ovviamente $S^2$
e.g.
se $S=5$; $y=25$;
Modificando tale successione in:
$K+sum (2n-1)$ da $N=m$ a $N=S$ con $m>1$ e $K<=(2*m)-1$
Per quale valore di S avrò un quadrato perfetto come risultato della sommatoria?
Non sò se è chiaro, in caso chiedete maggiori info. (non sono riuscito a scrivere i valori della sommatoria come richiesto dal forum, mi scuso)
Grazie in anticipo
Risposte
Se non rispondete perche troppo semplice fatemelo notare vi prego. 
Andrea
Andrea
Ciao,
cosa è $K$? Una costante?
cosa è $K$? Una costante?
si è una costante e vale la regola che ho esposto.
Non necessariamente disparo come potrebbe sembrare.
Grazie dell'interessamento,
Andrea....
Non necessariamente disparo come potrebbe sembrare.
Grazie dell'interessamento,
Andrea....
La tua domanda non è molto chiara: in generale esisteranno diversi valori di S per cui succede quello che chiedi. Se non mi sbaglio, un esempio è $S=1/2 (m^2-2m-2K+3)$ con $m$ dispari.
C'è un errore di fondo mi sa...controllo e riferisco, intanto grazie
No, mi spiace ma non mi torna nulla...
Con m = 15 e k=4 per esempio non torna
Sicuramente sbaglio io
Con m = 15 e k=4 per esempio non torna
Sicuramente sbaglio io
Hai ragione. Prova con $S=1/2 ((m-1)^2-k+1)$ con $m$ pari.
Scusami ancora, ma non va....
"pc_andreone":
Data la sommatoria:
$sum (2n-1)$ da $N=1$ a $N=S$
Il risultato è ovviamente $S^2$
e.g.
se $S=5$; $y=25$;
Modificando tale successione in:
$K+sum (2n-1)$ da $N=m$ a $N=S$ con $m>1$ e $K<=(2*m)-1$
Per quale valore di S avrò un quadrato perfetto come risultato della sommatoria?
Non sò se è chiaro, in caso chiedete maggiori info. (non sono riuscito a scrivere i valori della sommatoria come richiesto dal forum, mi scuso)
Grazie in anticipo
Allora se non mi sbaglio qui si chiede di trovare [tex]S[/tex] in funzione di [tex]K[/tex] per fare in modo che la quantità sia tale:
[tex]\displaystyle K + \sum_{i=m}^S (2i-1) = \alpha^2[/tex]
per qualche [tex]\alpha[/tex]. Allora riscrivo:
[tex]\displaystyle K + \sum_{i=1}^S (2i-1) - \sum_{j=1}^{m-1} (2j-1)= K + S^2 - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
Si tratta quindi di risolvere la diofantea:
[tex]S^2=\alpha^2-K+(m-1)^2[/tex]
Sbaglio?
Esatto Lord K, e se per esempio imponi $K-(m-1)^2 = -2S+1$ - cioè $S=1/2 ((m-1)^2-K+1)$ - viene $alpha=S-1$.
Credo che la soluzione generale sia del tipo $K-(m-1)^2 = -2 h S+h^2$ con $h$ parametro.
@pc_andreone: strano che non ti torni. Con che numeri hai provato?
Credo che la soluzione generale sia del tipo $K-(m-1)^2 = -2 h S+h^2$ con $h$ parametro.
@pc_andreone: strano che non ti torni. Con che numeri hai provato?
Se metto [tex]\displaystyle S=\frac{1}{2}[(m-1)^2-K+1][/tex] ottengo:
[tex]\displaystyle K + \{\frac{1}{2}[(m-1)^2-K+1]\}^2 - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4}[(m-1)^4+(1-K)^2 + 2(1-K)(m-1)^2] - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4}(m-1)^4+\frac{1}{4}(1-K)^2 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}K + \frac{1}{4}K^2 +\frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{2}K + \frac{1}{4}K^2 +\frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4}(1+K)^2 + \frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
da cui il tuo:
[tex]\displaystyle \alpha^2 = \{\frac{1}{2}[(m-1)^2-(1+K)]\}^2[/tex]
che effettivamente è:
[tex]\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}[(m-1)^2-(1+K)] = S-1[/tex]. [tex]\diamond[/tex]
P.S. va bene anche [tex]\alpha=1-S[/tex]
Se ci spostiamo nel caso generale che proponi [tex]\displaystyle S=\frac{1}{2h}[(m-1)^2-K+h^2][/tex]
[tex]\displaystyle K + \{\frac{1}{2h}[(m-1)^2-K+h^2]\}^2 - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4h^2}[(m-1)^4+(h^2-K)^2 + 2(h^2-K)(m-1)^2] - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4h^2}(m-1)^4+\frac{1}{4h^2}(h^2-K)^2 - \frac{1}{2h^2}(h^2+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4}h^2 - \frac{1}{2h^2}Kh^2 + \frac{1}{4h^2}K^2 +\frac{1}{4h^2}(m-1)^4 - \frac{1}{2h^2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{2}K + \frac{1}{4}K^2 +\frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4}(h^2+K)^2 + \frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
e finalmente:
[tex]\displaystyle \alpha^2 = \{\frac{1}{2}[(m-1)^2-(h^2+K)]\}^2[/tex]
Da cui:
[tex]\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}[(m-1)^2-(h^2+K)]=S-h^2[/tex]
P.S. anche qui va bene anche [tex]h^2-S[/tex] e dopo tutti questi conti sono concorde che sia una buona soluzione generale
[tex]\displaystyle K + \{\frac{1}{2}[(m-1)^2-K+1]\}^2 - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4}[(m-1)^4+(1-K)^2 + 2(1-K)(m-1)^2] - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4}(m-1)^4+\frac{1}{4}(1-K)^2 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}K + \frac{1}{4}K^2 +\frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{2}K + \frac{1}{4}K^2 +\frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4}(1+K)^2 + \frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
da cui il tuo:
[tex]\displaystyle \alpha^2 = \{\frac{1}{2}[(m-1)^2-(1+K)]\}^2[/tex]
che effettivamente è:
[tex]\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}[(m-1)^2-(1+K)] = S-1[/tex]. [tex]\diamond[/tex]
P.S. va bene anche [tex]\alpha=1-S[/tex]
Se ci spostiamo nel caso generale che proponi [tex]\displaystyle S=\frac{1}{2h}[(m-1)^2-K+h^2][/tex]
[tex]\displaystyle K + \{\frac{1}{2h}[(m-1)^2-K+h^2]\}^2 - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4h^2}[(m-1)^4+(h^2-K)^2 + 2(h^2-K)(m-1)^2] - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4h^2}(m-1)^4+\frac{1}{4h^2}(h^2-K)^2 - \frac{1}{2h^2}(h^2+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4}h^2 - \frac{1}{2h^2}Kh^2 + \frac{1}{4h^2}K^2 +\frac{1}{4h^2}(m-1)^4 - \frac{1}{2h^2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{2}K + \frac{1}{4}K^2 +\frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4}(h^2+K)^2 + \frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
e finalmente:
[tex]\displaystyle \alpha^2 = \{\frac{1}{2}[(m-1)^2-(h^2+K)]\}^2[/tex]
Da cui:
[tex]\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}[(m-1)^2-(h^2+K)]=S-h^2[/tex]
P.S. anche qui va bene anche [tex]h^2-S[/tex] e dopo tutti questi conti sono concorde che sia una buona soluzione generale
Emh...Complimenti per la linearità del discorso.
Hai esposto il mio problema meglio di quanto abbia fatto io.
In termini semplici: si è come dici tu.
Per essere espliciti mi serve:
il primo quadrato perfetto che incontriamo all'aumentare di I.
Hai esposto il mio problema meglio di quanto abbia fatto io
. In termini semplici: si è come dici tu.
Per essere espliciti mi serve:
il primo quadrato perfetto che incontriamo all'aumentare di I.
Non avevo letto la seconda parte....scusate...GRAZIE MILLE....
Appena stacco da lavoro simulo qualcosa e vi faccio sapere....
Appena stacco da lavoro simulo qualcosa e vi faccio sapere....
Non sò però, ho delle perplessità nella simulazione.
Probabilmente è un errore di programmazione (lo ricreo graficamente)
per K=488
ed m=249
Mi da in grafico un punto nullo.
Fidandomi cecamente di quanto sopra per l'ovvia dimostrazione, vorrei una vostra piccola garanzia che l'errore è il mio.
Quanto esce a voi con questi dati?
Andrea.
Probabilmente è un errore di programmazione (lo ricreo graficamente)
per K=488
ed m=249
Mi da in grafico un punto nullo.
Fidandomi cecamente di quanto sopra per l'ovvia dimostrazione, vorrei una vostra piccola garanzia che l'errore è il mio.
Quanto esce a voi con questi dati?
Andrea.
Ma non doveva essere [tex]K \leq 2m-1[/tex]???
Non per essere pignolo....
$488$
è effettivamente minore di
$(249*2)-1$
di fatti
$488<=497$
$488$
è effettivamente minore di
$(249*2)-1$
di fatti
$488<=497$
Con la scelta $S=1/(2h) ((m-1)^2-K+h^2)$ risulta $K+S^2-(m-1)^2 = (S-h)^2$.
Quindi con K=488 e m=249 scegliendo h=1 risulta $S=1/2 (248^2-488+1)$ e torna (anche se S non viene intero, ma non importa).
Forse il problema è che hai dato al calcolatore un m dispari. Prova con un m pari.
Quindi con K=488 e m=249 scegliendo h=1 risulta $S=1/2 (248^2-488+1)$ e torna (anche se S non viene intero, ma non importa).
Forse il problema è che hai dato al calcolatore un m dispari. Prova con un m pari.
"pc_andreone":
Non per essere pignolo....
$488$
è effettivamente minore di
$(249*2)-1$
di fatti
$488<=497$
Ups...
Scusami se sono di coccio, ma proprio non ci arrivo...
Mi svolgeresti questo esmpio?:
k=52
m=39
ti dico solo che il primo quadrato che incontro è 2500....
Credo dunque di aver fatto qualche errore nello esporre il problema...
Mi svolgeresti questo esmpio?:
k=52
m=39
ti dico solo che il primo quadrato che incontro è 2500....
Credo dunque di aver fatto qualche errore nello esporre il problema...
Perché quello di cui ti parliamo funzioni bisogna che tu scelga m e k o entrambi pari o entrambi dispari.
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