Calcolo discreto - Quadrato perfetto
Data la sommatoria:
$sum (2n-1)$ da $N=1$ a $N=S$
Il risultato è ovviamente $S^2$
e.g.
se $S=5$; $y=25$;
Modificando tale successione in:
$K+sum (2n-1)$ da $N=m$ a $N=S$ con $m>1$ e $K<=(2*m)-1$
Per quale valore di S avrò un quadrato perfetto come risultato della sommatoria?
Non sò se è chiaro, in caso chiedete maggiori info. (non sono riuscito a scrivere i valori della sommatoria come richiesto dal forum, mi scuso)
Grazie in anticipo
$sum (2n-1)$ da $N=1$ a $N=S$
Il risultato è ovviamente $S^2$
e.g.
se $S=5$; $y=25$;
Modificando tale successione in:
$K+sum (2n-1)$ da $N=m$ a $N=S$ con $m>1$ e $K<=(2*m)-1$
Per quale valore di S avrò un quadrato perfetto come risultato della sommatoria?
Non sò se è chiaro, in caso chiedete maggiori info. (non sono riuscito a scrivere i valori della sommatoria come richiesto dal forum, mi scuso)
Grazie in anticipo
Risposte
Se non rispondete perche troppo semplice fatemelo notare vi prego.
Andrea

Andrea
Ciao,
cosa è $K$? Una costante?
cosa è $K$? Una costante?
si è una costante e vale la regola che ho esposto.
Non necessariamente disparo come potrebbe sembrare.
Grazie dell'interessamento,
Andrea....
Non necessariamente disparo come potrebbe sembrare.
Grazie dell'interessamento,
Andrea....
La tua domanda non è molto chiara: in generale esisteranno diversi valori di S per cui succede quello che chiedi. Se non mi sbaglio, un esempio è $S=1/2 (m^2-2m-2K+3)$ con $m$ dispari.
C'è un errore di fondo mi sa...controllo e riferisco, intanto grazie
No, mi spiace ma non mi torna nulla...
Con m = 15 e k=4 per esempio non torna
Sicuramente sbaglio io
Con m = 15 e k=4 per esempio non torna
Sicuramente sbaglio io

Hai ragione. Prova con $S=1/2 ((m-1)^2-k+1)$ con $m$ pari.
Scusami ancora, ma non va....
"pc_andreone":
Data la sommatoria:
$sum (2n-1)$ da $N=1$ a $N=S$
Il risultato è ovviamente $S^2$
e.g.
se $S=5$; $y=25$;
Modificando tale successione in:
$K+sum (2n-1)$ da $N=m$ a $N=S$ con $m>1$ e $K<=(2*m)-1$
Per quale valore di S avrò un quadrato perfetto come risultato della sommatoria?
Non sò se è chiaro, in caso chiedete maggiori info. (non sono riuscito a scrivere i valori della sommatoria come richiesto dal forum, mi scuso)
Grazie in anticipo
Allora se non mi sbaglio qui si chiede di trovare [tex]S[/tex] in funzione di [tex]K[/tex] per fare in modo che la quantità sia tale:
[tex]\displaystyle K + \sum_{i=m}^S (2i-1) = \alpha^2[/tex]
per qualche [tex]\alpha[/tex]. Allora riscrivo:
[tex]\displaystyle K + \sum_{i=1}^S (2i-1) - \sum_{j=1}^{m-1} (2j-1)= K + S^2 - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
Si tratta quindi di risolvere la diofantea:
[tex]S^2=\alpha^2-K+(m-1)^2[/tex]
Sbaglio?
Esatto Lord K, e se per esempio imponi $K-(m-1)^2 = -2S+1$ - cioè $S=1/2 ((m-1)^2-K+1)$ - viene $alpha=S-1$.
Credo che la soluzione generale sia del tipo $K-(m-1)^2 = -2 h S+h^2$ con $h$ parametro.
@pc_andreone: strano che non ti torni. Con che numeri hai provato?
Credo che la soluzione generale sia del tipo $K-(m-1)^2 = -2 h S+h^2$ con $h$ parametro.
@pc_andreone: strano che non ti torni. Con che numeri hai provato?
Se metto [tex]\displaystyle S=\frac{1}{2}[(m-1)^2-K+1][/tex] ottengo:
[tex]\displaystyle K + \{\frac{1}{2}[(m-1)^2-K+1]\}^2 - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4}[(m-1)^4+(1-K)^2 + 2(1-K)(m-1)^2] - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4}(m-1)^4+\frac{1}{4}(1-K)^2 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}K + \frac{1}{4}K^2 +\frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{2}K + \frac{1}{4}K^2 +\frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4}(1+K)^2 + \frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
da cui il tuo:
[tex]\displaystyle \alpha^2 = \{\frac{1}{2}[(m-1)^2-(1+K)]\}^2[/tex]
che effettivamente è:
[tex]\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}[(m-1)^2-(1+K)] = S-1[/tex]. [tex]\diamond[/tex]
P.S. va bene anche [tex]\alpha=1-S[/tex]
Se ci spostiamo nel caso generale che proponi [tex]\displaystyle S=\frac{1}{2h}[(m-1)^2-K+h^2][/tex]
[tex]\displaystyle K + \{\frac{1}{2h}[(m-1)^2-K+h^2]\}^2 - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4h^2}[(m-1)^4+(h^2-K)^2 + 2(h^2-K)(m-1)^2] - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4h^2}(m-1)^4+\frac{1}{4h^2}(h^2-K)^2 - \frac{1}{2h^2}(h^2+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4}h^2 - \frac{1}{2h^2}Kh^2 + \frac{1}{4h^2}K^2 +\frac{1}{4h^2}(m-1)^4 - \frac{1}{2h^2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{2}K + \frac{1}{4}K^2 +\frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4}(h^2+K)^2 + \frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
e finalmente:
[tex]\displaystyle \alpha^2 = \{\frac{1}{2}[(m-1)^2-(h^2+K)]\}^2[/tex]
Da cui:
[tex]\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}[(m-1)^2-(h^2+K)]=S-h^2[/tex]
P.S. anche qui va bene anche [tex]h^2-S[/tex] e dopo tutti questi conti sono concorde che sia una buona soluzione generale
[tex]\displaystyle K + \{\frac{1}{2}[(m-1)^2-K+1]\}^2 - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4}[(m-1)^4+(1-K)^2 + 2(1-K)(m-1)^2] - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4}(m-1)^4+\frac{1}{4}(1-K)^2 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}K + \frac{1}{4}K^2 +\frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{2}K + \frac{1}{4}K^2 +\frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4}(1+K)^2 + \frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
da cui il tuo:
[tex]\displaystyle \alpha^2 = \{\frac{1}{2}[(m-1)^2-(1+K)]\}^2[/tex]
che effettivamente è:
[tex]\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}[(m-1)^2-(1+K)] = S-1[/tex]. [tex]\diamond[/tex]
P.S. va bene anche [tex]\alpha=1-S[/tex]
Se ci spostiamo nel caso generale che proponi [tex]\displaystyle S=\frac{1}{2h}[(m-1)^2-K+h^2][/tex]
[tex]\displaystyle K + \{\frac{1}{2h}[(m-1)^2-K+h^2]\}^2 - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4h^2}[(m-1)^4+(h^2-K)^2 + 2(h^2-K)(m-1)^2] - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4h^2}(m-1)^4+\frac{1}{4h^2}(h^2-K)^2 - \frac{1}{2h^2}(h^2+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4}h^2 - \frac{1}{2h^2}Kh^2 + \frac{1}{4h^2}K^2 +\frac{1}{4h^2}(m-1)^4 - \frac{1}{2h^2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{2}K + \frac{1}{4}K^2 +\frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4}(h^2+K)^2 + \frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
e finalmente:
[tex]\displaystyle \alpha^2 = \{\frac{1}{2}[(m-1)^2-(h^2+K)]\}^2[/tex]
Da cui:
[tex]\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}[(m-1)^2-(h^2+K)]=S-h^2[/tex]
P.S. anche qui va bene anche [tex]h^2-S[/tex] e dopo tutti questi conti sono concorde che sia una buona soluzione generale

Emh...Complimenti per la linearità del discorso.
Hai esposto il mio problema meglio di quanto abbia fatto io
.
In termini semplici: si è come dici tu.
Per essere espliciti mi serve:
il primo quadrato perfetto che incontriamo all'aumentare di I.
Hai esposto il mio problema meglio di quanto abbia fatto io

In termini semplici: si è come dici tu.
Per essere espliciti mi serve:
il primo quadrato perfetto che incontriamo all'aumentare di I.
Non avevo letto la seconda parte....scusate...GRAZIE MILLE....
Appena stacco da lavoro simulo qualcosa e vi faccio sapere....
Appena stacco da lavoro simulo qualcosa e vi faccio sapere....
Non sò però, ho delle perplessità nella simulazione.
Probabilmente è un errore di programmazione (lo ricreo graficamente)
per K=488
ed m=249
Mi da in grafico un punto nullo.
Fidandomi cecamente di quanto sopra per l'ovvia dimostrazione, vorrei una vostra piccola garanzia che l'errore è il mio.
Quanto esce a voi con questi dati?
Andrea.
Probabilmente è un errore di programmazione (lo ricreo graficamente)
per K=488
ed m=249
Mi da in grafico un punto nullo.
Fidandomi cecamente di quanto sopra per l'ovvia dimostrazione, vorrei una vostra piccola garanzia che l'errore è il mio.
Quanto esce a voi con questi dati?
Andrea.
Ma non doveva essere [tex]K \leq 2m-1[/tex]???
Non per essere pignolo....
$488$
è effettivamente minore di
$(249*2)-1$
di fatti
$488<=497$
$488$
è effettivamente minore di
$(249*2)-1$
di fatti
$488<=497$
Con la scelta $S=1/(2h) ((m-1)^2-K+h^2)$ risulta $K+S^2-(m-1)^2 = (S-h)^2$.
Quindi con K=488 e m=249 scegliendo h=1 risulta $S=1/2 (248^2-488+1)$ e torna (anche se S non viene intero, ma non importa).
Forse il problema è che hai dato al calcolatore un m dispari. Prova con un m pari.
Quindi con K=488 e m=249 scegliendo h=1 risulta $S=1/2 (248^2-488+1)$ e torna (anche se S non viene intero, ma non importa).
Forse il problema è che hai dato al calcolatore un m dispari. Prova con un m pari.
"pc_andreone":
Non per essere pignolo....
$488$
è effettivamente minore di
$(249*2)-1$
di fatti
$488<=497$
Ups...

Scusami se sono di coccio, ma proprio non ci arrivo...
Mi svolgeresti questo esmpio?:
k=52
m=39
ti dico solo che il primo quadrato che incontro è 2500....
Credo dunque di aver fatto qualche errore nello esporre il problema...
Mi svolgeresti questo esmpio?:
k=52
m=39
ti dico solo che il primo quadrato che incontro è 2500....
Credo dunque di aver fatto qualche errore nello esporre il problema...

Perché quello di cui ti parliamo funzioni bisogna che tu scelga m e k o entrambi pari o entrambi dispari.