Calcolo discreto - Quadrato perfetto

pc_andreone
Data la sommatoria:


$sum (2n-1)$ da $N=1$ a $N=S$


Il risultato è ovviamente $S^2$

e.g.
se $S=5$; $y=25$;

Modificando tale successione in:


$K+sum (2n-1)$ da $N=m$ a $N=S$ con $m>1$ e $K<=(2*m)-1$



Per quale valore di S avrò un quadrato perfetto come risultato della sommatoria?


Non sò se è chiaro, in caso chiedete maggiori info. (non sono riuscito a scrivere i valori della sommatoria come richiesto dal forum, mi scuso)

Grazie in anticipo

Risposte
pc_andreone
Se non rispondete perche troppo semplice fatemelo notare vi prego. :-k

Andrea

Ciao,

cosa è $K$? Una costante?

pc_andreone
si è una costante e vale la regola che ho esposto.

Non necessariamente disparo come potrebbe sembrare.

Grazie dell'interessamento,

Andrea....

La tua domanda non è molto chiara: in generale esisteranno diversi valori di S per cui succede quello che chiedi. Se non mi sbaglio, un esempio è $S=1/2 (m^2-2m-2K+3)$ con $m$ dispari.

pc_andreone
C'è un errore di fondo mi sa...controllo e riferisco, intanto grazie

pc_andreone
No, mi spiace ma non mi torna nulla...

Con m = 15 e k=4 per esempio non torna

Sicuramente sbaglio io :-)

Hai ragione. Prova con $S=1/2 ((m-1)^2-k+1)$ con $m$ pari.

pc_andreone
Scusami ancora, ma non va....

Lord K
"pc_andreone":
Data la sommatoria:


$sum (2n-1)$ da $N=1$ a $N=S$


Il risultato è ovviamente $S^2$

e.g.
se $S=5$; $y=25$;

Modificando tale successione in:


$K+sum (2n-1)$ da $N=m$ a $N=S$ con $m>1$ e $K<=(2*m)-1$



Per quale valore di S avrò un quadrato perfetto come risultato della sommatoria?


Non sò se è chiaro, in caso chiedete maggiori info. (non sono riuscito a scrivere i valori della sommatoria come richiesto dal forum, mi scuso)

Grazie in anticipo


Allora se non mi sbaglio qui si chiede di trovare [tex]S[/tex] in funzione di [tex]K[/tex] per fare in modo che la quantità sia tale:

[tex]\displaystyle K + \sum_{i=m}^S (2i-1) = \alpha^2[/tex]

per qualche [tex]\alpha[/tex]. Allora riscrivo:

[tex]\displaystyle K + \sum_{i=1}^S (2i-1) - \sum_{j=1}^{m-1} (2j-1)= K + S^2 - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]

Si tratta quindi di risolvere la diofantea:

[tex]S^2=\alpha^2-K+(m-1)^2[/tex]

Sbaglio?

Esatto Lord K, e se per esempio imponi $K-(m-1)^2 = -2S+1$ - cioè $S=1/2 ((m-1)^2-K+1)$ - viene $alpha=S-1$.

Credo che la soluzione generale sia del tipo $K-(m-1)^2 = -2 h S+h^2$ con $h$ parametro.

@pc_andreone: strano che non ti torni. Con che numeri hai provato?

Lord K
Se metto [tex]\displaystyle S=\frac{1}{2}[(m-1)^2-K+1][/tex] ottengo:

[tex]\displaystyle K + \{\frac{1}{2}[(m-1)^2-K+1]\}^2 - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4}[(m-1)^4+(1-K)^2 + 2(1-K)(m-1)^2] - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4}(m-1)^4+\frac{1}{4}(1-K)^2 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}K + \frac{1}{4}K^2 +\frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{2}K + \frac{1}{4}K^2 +\frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4}(1+K)^2 + \frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]

da cui il tuo:

[tex]\displaystyle \alpha^2 = \{\frac{1}{2}[(m-1)^2-(1+K)]\}^2[/tex]

che effettivamente è:

[tex]\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}[(m-1)^2-(1+K)] = S-1[/tex]. [tex]\diamond[/tex]

P.S. va bene anche [tex]\alpha=1-S[/tex]

Se ci spostiamo nel caso generale che proponi [tex]\displaystyle S=\frac{1}{2h}[(m-1)^2-K+h^2][/tex]

[tex]\displaystyle K + \{\frac{1}{2h}[(m-1)^2-K+h^2]\}^2 - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4h^2}[(m-1)^4+(h^2-K)^2 + 2(h^2-K)(m-1)^2] - (m-1)^2 = \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4h^2}(m-1)^4+\frac{1}{4h^2}(h^2-K)^2 - \frac{1}{2h^2}(h^2+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle K + \frac{1}{4}h^2 - \frac{1}{2h^2}Kh^2 + \frac{1}{4h^2}K^2 +\frac{1}{4h^2}(m-1)^4 - \frac{1}{2h^2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{2}K + \frac{1}{4}K^2 +\frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1}{4}(h^2+K)^2 + \frac{1}{4}(m-1)^4 - \frac{1}{2}(1+K)(m-1)^2= \alpha^2[/tex]

e finalmente:

[tex]\displaystyle \alpha^2 = \{\frac{1}{2}[(m-1)^2-(h^2+K)]\}^2[/tex]

Da cui:

[tex]\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}[(m-1)^2-(h^2+K)]=S-h^2[/tex]

P.S. anche qui va bene anche [tex]h^2-S[/tex] e dopo tutti questi conti sono concorde che sia una buona soluzione generale :-D

pc_andreone
Emh...Complimenti per la linearità del discorso.

Hai esposto il mio problema meglio di quanto abbia fatto io :-).

In termini semplici: si è come dici tu.

Per essere espliciti mi serve:

il primo quadrato perfetto che incontriamo all'aumentare di I.

pc_andreone
Non avevo letto la seconda parte....scusate...GRAZIE MILLE....

Appena stacco da lavoro simulo qualcosa e vi faccio sapere....

pc_andreone
Non sò però, ho delle perplessità nella simulazione.

Probabilmente è un errore di programmazione (lo ricreo graficamente)

per K=488
ed m=249

Mi da in grafico un punto nullo.

Fidandomi cecamente di quanto sopra per l'ovvia dimostrazione, vorrei una vostra piccola garanzia che l'errore è il mio.

Quanto esce a voi con questi dati?

Andrea.

Lord K
Ma non doveva essere [tex]K \leq 2m-1[/tex]???

pc_andreone
Non per essere pignolo....

$488$

è effettivamente minore di

$(249*2)-1$

di fatti

$488<=497$

Con la scelta $S=1/(2h) ((m-1)^2-K+h^2)$ risulta $K+S^2-(m-1)^2 = (S-h)^2$.

Quindi con K=488 e m=249 scegliendo h=1 risulta $S=1/2 (248^2-488+1)$ e torna (anche se S non viene intero, ma non importa).

Forse il problema è che hai dato al calcolatore un m dispari. Prova con un m pari.

Lord K
"pc_andreone":
Non per essere pignolo....

$488$

è effettivamente minore di

$(249*2)-1$

di fatti

$488<=497$


Ups... :P

pc_andreone
Scusami se sono di coccio, ma proprio non ci arrivo...

Mi svolgeresti questo esmpio?:

k=52
m=39

ti dico solo che il primo quadrato che incontro è 2500....

Credo dunque di aver fatto qualche errore nello esporre il problema... :-s

Perché quello di cui ti parliamo funzioni bisogna che tu scelga m e k o entrambi pari o entrambi dispari.

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