Calcolare gruppo di Galois
Salve a tutti, volevo chiedervi un aiuto per calcolare il gruppo di Galois del polinomio P(x)=x^7+1
Se avessi avuto x^7-1, lo avrei scomposto nei due polinomi ciclotomici (x-1)*(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) e dunque il gruppo di Galois sarebbe stato isomorfo a Z/6Z. Invece, in questo caso come lo risolvo?
Avevo pensato di trovare le radici, cioè i
e di calcolare la radice settima primitiva dell'unità, che ha estensione 6 (giusto?). Dunque, dovrebbe essere isomorfo a Z/6Z*Z/2Z ma penso sia sbagliato! Non ho ben capito come fare in questi casi.
Grazie in anticipo a chiunque risponderà, buona giornata
Se avessi avuto x^7-1, lo avrei scomposto nei due polinomi ciclotomici (x-1)*(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) e dunque il gruppo di Galois sarebbe stato isomorfo a Z/6Z. Invece, in questo caso come lo risolvo?
Avevo pensato di trovare le radici, cioè i
e di calcolare la radice settima primitiva dell'unità, che ha estensione 6 (giusto?). Dunque, dovrebbe essere isomorfo a Z/6Z*Z/2Z ma penso sia sbagliato! Non ho ben capito come fare in questi casi.
Grazie in anticipo a chiunque risponderà, buona giornata
Risposte
Puoi osservare che [tex]X^{14}-1=(X^7-1)(X^7+1)[/tex].
ok quindi x^7+1=(x+1)*(x^6-x^5+x^4-x^33+x^2-x+1) da cui ottengo che il gruppo di Galois è isomorfo a Z/6Z, giusto?
Sì giusto
Ok grazie mille!
Se riesci, dammi un ultima conferma.. ho appena calcolato il gruppo di Galois di x^5+1 e di x^5-1 e in entrambi i casi mi risulta essere Z/4Z. E' giusto?
Se riesci, dammi un ultima conferma.. ho appena calcolato il gruppo di Galois di x^5+1 e di x^5-1 e in entrambi i casi mi risulta essere Z/4Z. E' giusto?
Sì è giusto.
Grazie mille!
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