Binomio di newton

[fu^2]

ok se ho $((n),(k))$ è facile da calcolare, ma non trovo ( e ciò mi scoccia perchè son in crisi) come calcolre il binomio di newton nel caso in cui $ninRR$ qualunque.
tipo $((1/2),(2))$ come faccio a calcolarlo?

grazie per le risposte

[gugo82]

"fu^2":ok se ho $((n),(k))$ è facile da calcolare, ma non trovo ( e ciò mi scoccia perchè son in crisi) come calcolre il binomio di newton nel caso in cui $ninRR$ qualunque.
tipo $((1/2),(2))$ come faccio a calcolarlo?

grazie per le risposte

Visto che per $n,k in NN$ hai $((n),(k))=(n!)/(k!*(n-k)!)=(n*(n-1)*ldots*(n-k+1))/(k!)$, si è pensato di prendere il terzo membro per definire il coefficiente binomiale nel caso $n=alpha in RR$: insomma hai per definizione:

$AA alpha in RR, AA k in NN,quad ((alpha),(k))=(alpha*(alpha-1)*ldots*(alpha-k+1))/(k!)$.

Questi coefficienti sono importanti in quanto intervengono nello sviluppo in serie di MacLaurin $(1+x)^alpha=sum_(k=0)^(+oo)((alpha),(k))*x^k$ (la serie a secondo membro è detta serie binomiale con esponente $alpha$).

[fu^2]

"gugo82":[quote="fu^2"]ok se ho $((n),(k))$ è facile da calcolare, ma non trovo ( e ciò mi scoccia perchè son in crisi) come calcolre il binomio di newton nel caso in cui $ninRR$ qualunque.
tipo $((1/2),(2))$ come faccio a calcolarlo?

grazie per le risposte

Visto che per $n,k in NN$ hai $((n),(k))=(n!)/(k!*(n-k)!)=(n*(n-1)*ldots*(n-k+1))/(k!)$, si è pensato di prendere il terzo membro per definire il coefficiente binomiale nel caso $n=alpha in RR$: insomma hai per definizione:

$AA alpha in RR, AA k in NN,quad ((alpha),(k))=(alpha*(alpha-1)*ldots*(alpha-k+1))/(k!)$.

Questi coefficienti sono importanti in quanto intervengono nello sviluppo in serie di MacLaurin $(1+x)^alpha=sum_(k=0)^(+oo)((alpha),(k))*x^k$ (la serie a secondo membro è detta serie binomiale con esponente $alpha$).[/quote]

infatti prorpio per l'amico Mc Laurin mi serviva
grazie mille non avevo pensato che bastava prendere
$AA alpha in RR, AA k in NN,quad ((alpha),(k))=(alpha*(alpha-1)*ldots*(alpha-k+1))/(k!)$ che scemo che sono!

grazie mille gugo82, perfetto come sempre;)

[gugo82]

Prego!
(L'avevo capito che ti serviva per MacLaurin. )

[fu^2]

in verità anche per vedere se delle funzioni sono uniformemente continue o meno.. che nn riuscivo a sbrigliarmi in maniera corretta

[gugo82]

"fu^2":in verità anche per vedere se delle funzioni sono uniformemente continue o meno.. che nn riuscivo a sbrigliarmi in maniera corretta

La classica "mosca uccisa con un cannone" o era un problema serio?
Sono curioso...

[fu^2]

penso sia la classica mosca uccisa da un cannone soddisfacerò la tua curiosità facendoti vedere l'intero esercizio così mi dici anche cosa te ne pare

stabilire se $phi(x)=sqrt(x^2+2)-sqrt(x^2+1)$ è uniformemente continua in $RR$

allora finalemnete posso sviluppare fino al terzo con taylor entrambe e ottenere
$sqrt(x^2+2)-sqrt(x^2+1)~x+1-sqrt2/8x^2-x-1+1/8x^2=(1-sqrt2)/8x^2

quindi la funzione si comporta come
una parabola con concavità rivolta verso il basso.

quindi basta vedere a questo punto $-x^2$ come si comporta...

$|x_0^2-x^2|x_0^2-epsilonsqrt(x_0^2-epsilon)
$sqrt(x_0^2-episilon)-x_0
quindi posto un $delta_epsilon>|x-x_0|$, se fosse continua in $RR$ uno di quei due intervalli soddisfacerebbe la condizione per il mio delta. Se esso esistesse, allora la funzione è uniformemente continua se no no.
quindi $delta_epsilon=min{|sqrt(x_0^2-epsilon)-x_0|,|sqrt(x_0^2+epsilon)-x_0|}
è facile verificare che $lim_(xto+oo)|sqrt(x_0^2-epsilon)-x_0|=lim_(xto+oo)|sqrt(x_0^2+epsilon)-x_0|=0

quindi il delta non esiste, quindi $phi(x)$ non è uniformemente continua in $RR$

[gugo82]

"fu^2":
penso sia la classica mosca uccisa da un cannone soddisferò la tua curiosità facendoti vedere l'intero esercizio così mi dici anche cosa te ne pare

stabilire se $phi(x)=sqrt(x^2+2)-sqrt(x^2+1)$ è uniformemente continua in $RR$

(segue svolgimento troppo laborioso, che denota tanta buona volontà ma non coglie nel segno)

La $phi$ ha derivata prima limitata in $RR$, quindi è lipschitziana e perciò uniformemente continua in $RR$.

Invero è:

$phi'(x)=x*(1/sqrt(x^2+2)-1/sqrt(x^2+1))$

onde $phi in C^1(RR)$ e $||phi'||_(oo)="max"_(RR) |phi'|=sqrt(4-9/(1+2^(1/3)))~0,133!=0$; comunque fissi due punti $x_1!=x_2in RR$ puoi applicare il Teorema di Lagrange sull'intervallo $["min"{x_1,x_2},"max"{x_1,x_2}]$ e scrivere la seguente catena di relazioni:

(*) $quad |phi(x_1)-phi(x_2)|=|phi'(xi)|*|x_1-x_2|le||phi'||_(oo)*|x_1-x_2|$

(qui evidentemente $xi in ["min"{x_1,x_2},"max"{x_1,x_2}]$ è il punto la cui esistenza è assicurata dal T.d.L.); dalla (*) segue immediatamente che, fissato $epsilon >0$, hai $|phi(x_1)-phi(x_2)|
Probabilmente, però, si può anche prendere una strada più breve.
Infatti sussiste un teorema del genere (mi pare di averlo letto sul Fiorenza-Greco):

Siano $ain RR$ ed $f:[a,+oo[to RR$ [risp. $f:]-oo,a]toRR$] una funzione continua.
Se $f$ è dotata di asintoto orizzontale, allora essa è uniformemente continua in $[a,+oo[$ [risp. $]-oo,a]$].

Visto che la tua funzione è pari e dotata di asintoto orizzontale (a destra e sinistra del dominio l'asintoto è la retta d'eq. $y=0$, ovviamente) allora dovresti poter concludere, con un paio di applicazioni del teorema precedente, che essa è uniformemente continua in $RR$.

Verifica sempre, non prendere per buono tutto ciò che dico, soprattutto ora che sono influenzato, pieno della cena di Vigilia e sto ascoltando i QOTSA!


Ricorda che la serie di Taylor da qualche aiuto quando si tratta di stabilire proprietà locali, perciò in questo caso ti serviva a poco visto che l'uniforme continuità non è una proprietà puntuale come la continuità.
Inoltre, lo sviluppo di MacLaurin di $phi$ ti ha portato ad affermare che $phi$ si comporta come $x^2$ in $RR$, il che è francamente assurdo visto che $phi$ è infinitesima all'infinito: questo deriva dal fatto che lo sviluppo che hai scritto ha raggio di convergenza finito, non infinito come nel caso della serie esponenziale.

Come imparerai nel tuo corso di studi, le mosche si ammazzano sempre con le mani (o al massimo con la "paletta", come in questo caso) e mai col cannone.
Buon Natale!

[fu^2]

"gugo82":

(segue svolgimento troppo laborioso, che denota tanta buona volontà ma non coglie nel segno)

Come imparerai nel tuo corso di studi, le mosche si ammazzano sempre con le mani (o al massimo con la "paletta", come in questo caso) e mai col cannone.
Buon Natale!

grazie mille delle precisazioni!!!!

BUON NATALE anche a te!
mamma che vuoti di ignoranza che ho a volte... è stupido applicare Taylor per questo, hai ragionissima!!!

comunque sei troppo bravo


apresto!

[fu^2]

già che siam in tema, stavo riflettendo e sto cercando di trovare una funzione uniformemente continua, ma non lipschitziana...
me ne potresti dire una?...
In quanto la condizione di lipschit è sufficiente, ma nn necessaria... altrimenti mi vengon strane idee che potrebbe essere sufficiente e necessaria, anche se una dimostrazione di ciò non porta a nulla... quindi stavo cercando un controesempio, ma nn lo trovo

grazie

ciaoo

[gugo82]

"fu^2":già che siam in tema, stavo riflettendo e sto cercando di trovare una funzione uniformemente continua, ma non lipschitziana...
me ne potresti dire una?...

Grazie per i complimenti fu^2.

Per costruire un controesempio basta guardare cosa fa la condizione di Lipschitz: se una funzione $f:ItoRR$ è derivabile in $I$ e gode della proprietà di Lipschitz, allora la sua derivata prima è limitata in $I$.
Quindi se vuoi una funzione uniformemente continua che non sia lipschitziana, la scelta più semplice è prendere una funzione continua in un compatto (ricorda il Teorema di Cantor), ivi derivabile quasi dappertutto e che non abbia la derivata prima limitata... Lascio a te lo sfizio di trovare una funzione del genere e però metto una mia proposta nello spoiler qui sotto.

Un buon esempio è evidentemente $f(x)=x^(1/3)$ ristretta a $[-1,1]$ (o, in generale, $f(x)=x^(1/(2n+1))$, $n in NN " ed " nge1$, ristretta a $[-1,1]$).

[fu^2]

"gugo82":[quote="fu^2"]già che siam in tema, stavo riflettendo e sto cercando di trovare una funzione uniformemente continua, ma non lipschitziana...
me ne potresti dire una?...

Grazie per i complimenti fu^2.

Per costruire un controesempio basta guardare cosa fa la condizione di Lipschitz: se una funzione $f:ItoRR$ è derivabile in $I$ e gode della proprietà di Lipschitz, allora la sua derivata prima è limitata in $I$.
Quindi se vuoi una funzione uniformemente continua che non sia lipschitziana, la scelta più semplice è prendere una funzione continua in un compatto (ricorda il Teorema di Cantor), ivi derivabile quasi dappertutto e che non abbia la derivata prima limitata... Lascio a te lo sfizio di trovare una funzione del genere e però metto una mia proposta nello spoiler qui sotto.

Un buon esempio è evidentemente $f(x)=x^(1/3)$ ristretta a $[-1,1]$ (o, in generale, $f(x)=x^(1/(2n+1))$, $n in NN " ed " nge1$, ristretta a $[-1,1]$).

[/quote]

si in un compatto avevo trovato anche io... ma in $RR$ intendevo, avevo dimenticato in che insieme lo intendevo ghgh
$x^(1/3)$ in $RR$ non è uniformemente continua...
sorry per l'imprecisione mia, e grazie comunque i complimenti son meritati

notte

[Fioravante Patrone1]

0. se hai un esempio su un compatto, presumo tu l'abbia su un intervallo compatto. E allora prolungala come $f(b)$ a destra di $b$ ed $f(a)$ a sinistra di $a$
1. aspetto di vedere la dim che la funzione "radice cubica" non è uc su $RR$
2. non sono d'accordo con mosche, cannoni, palette, etc.
Come notato da gugo82, c'è un errore di fondo nel voler applicare Taylor al tipo di problema che avevi. Taylor è pensato per analizzare proprietà locali, mente il tuo era un problema di carattere globale. Vorrei capire cosa ci fai con quello "$\sim$" che ti ritrovi.
Quindi non si trattava di ammazzare una mosca con un cannone, ma con una bicicletta, o con una stufa.

[gugo82]

"Fioravante Patrone":2. non sono d'accordo con mosche, cannoni, palette, etc.

Vabbè, come al solito sono sempre troppo categorico per i tuoi gusti (a partire dalla citazione di Mathesis che ho in firma)... Però mi concederai che tirare col cannonne ad una mosca è roba da esperti rispetto ad intrappolarla tra le palme delle mani: innanzitutto i cannoni non sono tanto diffusi tra gli studenti del primo anno*, inoltre è difficile calcolare la gittata del proiettile se non hanno sostenuto Fisica I!

"Fioravante Patrone":Come notato da gugo82, c'è un errore di fondo nel voler applicare Taylor al tipo di problema che avevi. Taylor è pensato per analizzare proprietà locali, mente il tuo era un problema di carattere globale. Vorrei capire cosa ci fai con quello "$\sim$" che ti ritrovi.
Quindi non si trattava di ammazzare una mosca con un cannone, ma con una bicicletta, o con una stufa.

Muchas gracias, ma la parte grassettata non l'ho mica capita!

Ti riferisci alla notazione di fu^2, mica alla mia $sqrt(4-9/(1+2^(1/3)))~0,133$? Tuttavia, se quest'ultimo fosse il caso, è presto detto: ho usato la tilde come simbolo di "uguale circa a" che non sapevo riprodurre altrimenti.



_________________
* A meno che alla parola cannoni non venga attribuito altro e ben più stupefacente significato!

[fu^2]

"Fioravante Patrone":
1. aspetto di vedere la dim che la funzione "radice cubica" non è uc su $RR$

in questa notte che nn riesco a chiudere occhio eccomi qui

usando la definizione di uniforme continuità:

$|x^(1/3)-x_0^(1/3)|x_0^(1/3)-epsilon
$(x_0^(1/3)-epsilon)^3-x_0 quindi se devo trovare un $delta>|x-x_0$ in funzione di $epsilon$, mi basta porre
$delta=min{(x_0^(1/3)+epsilon)^3-x_0,x_0-(x_0^(1/3)-epsilon)^3}

questi due intervalli quando la funzione tende all'infinito diventan sempre più grandi, mentre quando tendono a zero, in valore assoluto tendono a $epsilon^3$ quindi basta porre $delta=epsilon^3$ per avere l'uniforme continuità su $RR$
:D:D:D:D:D:D:D:D

$|x^(1/3)-x_0^(1/3)|<|x-x_0|$ $AA_|x|,|x_0|>1$ quindi non è lipschiziana su $RR$ in quanto in $[-1,1]$ come faceva notare anche gugo82 non soddisfa la richiesta e quindi è il controesempio cercato, benissimo!
ora provo (spero) di riuscire a dormire notte a tutti!

[Fioravante Patrone1]

"gugo82":
[quote="Fioravante Patrone"]Vorrei capire cosa ci fai con quello "$\sim$" che ti ritrovi.
Quindi non si trattava di ammazzare una mosca con un cannone, ma con una bicicletta, o con una stufa.

Muchas gracias, ma la parte grassettata non l'ho mica capita!

Ti riferisci alla notazione di fu^2, mica alla mia $sqrt(4-9/(1+2^(1/3)))~0,133$?[/quote]mi riferivo a fu^2

@fu^2:
non ho tempo di controllare la tua dim, ma direi che va nella direzione giusta



EDIT: ho sistemato i "quote" che erano sballati

[fu^2]

"Fioravante Patrone":
@fu^2:
non ho tempo di controllare la tua dim, ma direi che va nella direzione giusta

grazie mille ad entrambi!
dai allora vi rompo solo per l'ultima domanda sull'uniforme continuità...

allora finchè son funzioni lipthziane accendo i fuochi d'artificio anche dentro inervalli compatti :)
quando riesco a isolare il termine incognito allora riesco ad usare la definizione liscio come l'olio :)

ma in generale,
tipo la funzione $xactanx$ su $RR$...

mi conviene studiare prima l'uc di x, poi l'uc di tanx in quanto se sono uniformi, allora anche $x*arctanx$ è uniformemente continua!

right?

perchè ho ottenuto questo semplice risultato,

Siano f,g : $f:X_1->X_2$, $g:X_2->X_3$ - con $X_1,X_2,X_3$ spazi metrici - uniformemente continue, allora
$g+f$
$g*f$
$f/g$ con $g!=0$
$g@f$
sono continue

dim:
per hp su f vale che $d(f(x),f(y))d(x,y) allo stesso modo su g $d(g(x),g(y))d(x,y)
allora $f+g$ sia ha che $d(f(x)+g(x),f(y)+g(y))d(x,y)
$g*f$ si ha $d(f(x)*g(x),f(y)*g(y))d(x,y)
infine $g@f$ si ha che $d(g(x),g(y))d(g(fx),g(f(y))d(x,y)

grazie ancora a tutti!

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Segnala

[Fioravante Patrone1]

"fu^2":
Siano f,g : $f:X_1->X_2$, $g:X_2->X_3$ - con $X_1,X_2,X_3$ spazi metrici - uniformemente continue, allora
$g+f$
$g*f$
$f/g$ con $g!=0$
$g@f$
sono continue

(grassetto sopra, nella citazione, mio)

Bourbaki docet: se mi spieghi come fai a sommare capre (elementi di $X_2$) con cavoli (elementi di $X_3$), allora poi potrei anche guardare la "dim" riguardante $g+f$

Per essere chiaro: nelle tue hp non so cosa voglia dire $g+f$.

[fu^2]

"Fioravante Patrone":[quote="fu^2"]
Siano f,g : $f:X_1->X_2$, $g:X_2->X_3$ - con $X_1,X_2,X_3$ spazi metrici - uniformemente continue, allora
$g+f$
$g*f$
$f/g$ con $g!=0$
$g@f$
sono continue

(grassetto sopra, nella citazione, mio)

Bourbaki docet: se mi spieghi come fai a sommare capre (elementi di $X_2$) con cavoli (elementi di $X_3$), allora poi potrei anche guardare la "dim" riguardante $g+f$

Per essere chiaro: nelle tue hp non so cosa voglia dire $g+f$.[/quote]

si hai ragione .. ho zippato troppo
quelle ipotesi van bene per la dimostrazione della funzione composta...
per le altre due l'ipotesi si riduce a "Siano f,g : $f,g:X_1->X_2$" il resto è uguale, se devo sommare è giusto che siano negli stessi spazi metrii, se no viene fuori un bel minestrone ...

errore grossolano, di distrazione nello scrivere, ma mooolto grossolano...

grazie

[Fioravante Patrone1]

Ok per la correzione, ma io "puntavo" ad un altro errore, per il quale non a caso invocavo il generale.

Se dici che $X_2$ è uno spazio metrico, questo vuol dire che sull'insieme $X_2$ è definita una metrica, ovvero una struttura di tipo topologico.
Ma tu vuoi sommare due funzioni a valori in $X_2$. Per far questo devi avere una struttura algebrica su $X_2$.

Questo è il "grave errore" che indicavo. Quello che hai notato tu è un evidente problema di zippaggio (complimenti per il neologismo semantico!) e non lo trovo preoccupante.

[fu^2]

"Fioravante Patrone":Ok per la correzione, ma io "puntavo" ad un altro errore, per il quale non a caso invocavo il generale.

Se dici che $X_2$ è uno spazio metrico, questo vuol dire che sull'insieme $X_2$ è definita una metrica, ovvero una struttura di tipo topologico.
Ma tu vuoi sommare due funzioni a valori in $X_2$. Per far questo devi avere una struttura algebrica su $X_2$.

Questo è il "grave errore" che indicavo. Quello che hai notato tu è un evidente problema di zippaggio (complimenti per il neologismo semantico!) e non lo trovo preoccupante.

giusto, quindi devo inserire un campo su cui poter operare con le funzioni... giusto giusto
grande errore questo!
ovviamente tutti i ragionamenti si adattano perfettamente in uno spazio metrico a valori reali con una metrica euclidea (con altre metriche non ho ragionato sulla validità ... il ragionamento l'ho fatto con una metrica euclidea... son troppo abbituato a quella anche se penso sia un attimo estenderla ad altre metriche, ma nn lanciamoci troppo oltre )

ora penso che le ipotesi siano complete... giusto?