\((\bigoplus_{i=1}^n Ax_i)/(\bigoplus_{i=1}^n A\alpha_i x_i) \simeq \bigoplus_{i=1}^n A/A\alpha_i \)

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Dato il sistema linearmente indipendente \((x_1,...,x_n)\) di elementi di un $A$-modulo mi è chiaro che l'$A$-isomorfismo \( A\to Ax_i, a\mapsto ax_i\), che fa corrispondere l'ideale $\alpha_i A\subset A$, per un'$\alpha_i\in A$, al sottomodulo $A\alpha x_i\subset A x_i$, è tale da far risultare \(Ax_i/A\alpha_i x_i\) isomorfo a \(A/\alpha_i A\).
In una situazione del genere trovo che \((\bigoplus_{i=1}^n Ax_i)/(\bigoplus_{i=1}^n A\alpha_i x_i) \simeq \bigoplus_{i=1}^n (A/A\alpha_i) \), ma non mi è chiaro come si giustifichi questo passaggio...
Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi a capirne la giustificazione?
Grazie di cuore a tutti!!!

[killing_buddha]

Ti e' sufficiente dimostrare che dato un insieme $I$, se $0\to P_i\to N_i\to M_i\to 0$ e' una sequenza esatta di $A$-moduli per ogni $i\in I$, allora la singola successione \(0\to \bigoplus_{i\in I} P_i\to \bigoplus_{i\in I}N_i\to \bigoplus_{i\in I}M_i\to 0\) e' esatta: questo e' il contenuto di Schapira 4.4.2.3.

[DavideGenova1]

...quindi, se ho capito, \(\bigoplus_{i=1}^n(Ax_i/A\alpha_i x_i)=\bigoplus_{i=1}^n Ax_i/\bigoplus_{i=1}^n A\alpha_i x_i\)...
Grazie di cuore!

[killing_buddha]

Ebbene si': dicesi del funtore \(\bigoplus\) che e' "esatto".

[DavideGenova1]

\(\aleph_1\) grazie!!!