Basi di Groebner - Algoritmo di Buchberger

[bestiedda2]

buonasera a tutti

Stasera vi propongo un lavoro di...deciframento
Per la precisione, vi riporto gli appunti di un mio prof riguardanti l'algoritmo di Buchberger per trovare la base di groebner ridotta di un certo ideale

Sia \(\displaystyle I=(g_1 , ... ,g_s) \) un ideale con generatori \(\displaystyle g_i \). Fissato un term ordering:

1) vediamo se i generatori sono ridotti rispetto a tutti gli altri generatori. In caso contrario RIDUCO TUTTO RISPETTO A TUTTO;
2) prendiamo il m.c.m di due leading terms scelti;
3) riduco il mcm prima rispetto a uno e poi rispetto all'altro generatore, ottenendo due polinomi;
4) se non è zero, aggiungo la loro differenza alla lista dei generatori dell'ideale;
5) riprendo dal punto 1;

Ci sono diversi punti che non mi sono chiari:
Nel punto 1, in che ordine devo ridurre?
Nel punto 2, in base a quale criterio scelgo i leading terms dei generatori?
Nel punto 3, devo ridurre SOLO rispetto all'altro generatore fra i 2? Mi sembra strano.
Il punto 4 è ok

Mi aiutate?

EDIT: meglio che chiarisco cosa intendo per riduzione:
Prendiamo come term ordering l'ordine dei gradi
Suppongo di avere \(\displaystyle I=(g_1,g_2) \) con \(\displaystyle g_1=x^3 - 2xy \) e \(\displaystyle g_2=x^2y-2y^2+x \):
allora \(\displaystyle x^3 \equiv 2xy \) e \(\displaystyle x^2y \equiv 2y^2 - x \) modulo \(\displaystyle I \);
Ridurre, ad esempio, il polinomio \(\displaystyle x^3y \) modulo \(\displaystyle I \) significa sostituire ad ogni fattore \(\displaystyle x^3 \) il suo equivalente \(\displaystyle 2xy \) e ad ogni fattore \(\displaystyle x^2y \) il suo equivalente \(\displaystyle 2y^2-x \) (in modo da diminuire il grado (nel term ordering) del polinomio). Come vedete la riduzione può essere sviluppata in direzioni diverse ottenendo risultati diversi (il risultato della riduzione è indipendente dall'ordine se e solo se la base è di groebner)

[bestiedda2]

UP!