Automorfismo di campi
Salve a tutti.. ho un dubbio sugli automorfismi tra campi..
Sia $f:K->K$ un automorfismo tra campi.
Dimostra che la restrizione di $f$ al campo primo di $K$ é l'identità...
Io ho pensato che $K=(1)$ quindi poiché $f$ é un automorfismo allora $f(1)=1$ e
allora $f(x)=x$ per ogni $x in K$.
Dunque $f$ stessa é l'identità..e a maggior ragione la restrizione al campo primo..
il mio ragionamento è senz'altro sbagliato.. altrimenti che senso avrebbe definire $Aut(K)$?!
Dov'è il mio errore?!
Sia $f:K->K$ un automorfismo tra campi.
Dimostra che la restrizione di $f$ al campo primo di $K$ é l'identità...
Io ho pensato che $K=(1)$ quindi poiché $f$ é un automorfismo allora $f(1)=1$ e
allora $f(x)=x$ per ogni $x in K$.
Dunque $f$ stessa é l'identità..e a maggior ragione la restrizione al campo primo..
il mio ragionamento è senz'altro sbagliato.. altrimenti che senso avrebbe definire $Aut(K)$?!
Dov'è il mio errore?!
Risposte
E' l'identità per il semplice fatto che è un automorfismo quindi manda sottocampi in sottocampi. Ma allora manda il sottocampo più piccolo in un altro sottocampo, che essendo la funzione biunivoca, sarà per forza il sottocampo primo anche quello (visto che è il più piccolo e visto che è un omomorfismo dal campo in sè stesso). Ma essendo il codominio lo stesso campo del dominio, il sottocampo piccolo è lo stesso dunque sei sicura che mantiene il sottocampo primo.
Ora per dire che è l'identità fai proprio come hai fatto tu, infatti il sottocampo primo è isomorfo a $Z_p$ o $Q$ , quindi mandare l'1 nell'1 ti permette di affermare quanto detto da te ma solo per il sottocampo primo. ovvero che se $f(1) = 1$ allora $f(x) = f(x*1) = x*f(1) = x$ ma questo si può affermare intanto solo per il sottocampo primo. (infatti la dimostrazione che il sottocampo primo è isomorfo a uno di quei due campi passa per l'insieme dei multipli dell'1)
Non sai con che campo hai a che fare, in un'estensione di un campo per una certa radice non tutti sono multipli dell'1.
Ora per dire che è l'identità fai proprio come hai fatto tu, infatti il sottocampo primo è isomorfo a $Z_p$ o $Q$ , quindi mandare l'1 nell'1 ti permette di affermare quanto detto da te ma solo per il sottocampo primo. ovvero che se $f(1) = 1$ allora $f(x) = f(x*1) = x*f(1) = x$ ma questo si può affermare intanto solo per il sottocampo primo. (infatti la dimostrazione che il sottocampo primo è isomorfo a uno di quei due campi passa per l'insieme dei multipli dell'1)
Non sai con che campo hai a che fare, in un'estensione di un campo per una certa radice non tutti sono multipli dell'1.
Ok grazie mille 
.. già che ci sono provo a chiederti un altro esercizio.. credo di aver capito che frequentiamo lo stesso corso di algebra con schoof:)
Sia $K subset L $ un'estensione di grado dispari $[L : K]$. Sia $alpha in L$. Dimostrare che $K(alpha)=K( alpha^2)$.
Come hai usato l'ipotesi del grado?!
Grazie ancora
.. già che ci sono provo a chiederti un altro esercizio.. credo di aver capito che frequentiamo lo stesso corso di algebra con schoof:) Sia $K subset L $ un'estensione di grado dispari $[L : K]$. Sia $alpha in L$. Dimostrare che $K(alpha)=K( alpha^2)$.
Come hai usato l'ipotesi del grado?!
Grazie ancora
Alloraaaa, scusa stavo cercando il foglio dove l'avevo fatto.
Praticamente parti per assurdo dicendo che sono diverse quelle due estensioni.
Ora se prendi la base di $K(a)$ su $K$ essa contiene $m$ elementi ordinati del tipo ${1, a, a^2, a^3...., a^m}$. Quindi puoi ben vedere che $a^2 in K(a)$ dunque $K(a^2)$ è incluso in $K(a)$.
Ora se stiamo supponendo che i due campi siano diversi, allora $a$ non è in $K(a^2)$.
Dunque se cerchiamo il grado $[K(a) : K(a^2)] = 2$ poichè il polinomio $x^2 - a^2$ è irriducibile su $K(a^2)$ visto che $a$ non esiste in $K(a^2)$ (infatti se esistesse $x^2 - a^2 = (x + a)(x - a)$.
Ora sapendo che il grado tra le due estensioni è 2, e l'estensione $K(a)$ è inclusa in $L$ allora 2 deve dividere il grado $[K]$ per la proprietà dei gradi nelle catene di inclusioni, ma per ipotesi quel grado era dispari! Quindi abbiamo la contraddizione che nasce proprio dal fatto che li supponiamo diversi, ovvero che $a$ non è in $K(a^2)$ e che poi vi sia un polinomio di grado 2.
p.s.: chi sei?
p.p.s.: se hai da correggere qualcosa fallo! u.u
Praticamente parti per assurdo dicendo che sono diverse quelle due estensioni.
Ora se prendi la base di $K(a)$ su $K$ essa contiene $m$ elementi ordinati del tipo ${1, a, a^2, a^3...., a^m}$. Quindi puoi ben vedere che $a^2 in K(a)$ dunque $K(a^2)$ è incluso in $K(a)$.
Ora se stiamo supponendo che i due campi siano diversi, allora $a$ non è in $K(a^2)$.
Dunque se cerchiamo il grado $[K(a) : K(a^2)] = 2$ poichè il polinomio $x^2 - a^2$ è irriducibile su $K(a^2)$ visto che $a$ non esiste in $K(a^2)$ (infatti se esistesse $x^2 - a^2 = (x + a)(x - a)$.
Ora sapendo che il grado tra le due estensioni è 2, e l'estensione $K(a)$ è inclusa in $L$ allora 2 deve dividere il grado $[K]$ per la proprietà dei gradi nelle catene di inclusioni, ma per ipotesi quel grado era dispari! Quindi abbiamo la contraddizione che nasce proprio dal fatto che li supponiamo diversi, ovvero che $a$ non è in $K(a^2)$ e che poi vi sia un polinomio di grado 2.
p.s.: chi sei?
p.p.s.: se hai da correggere qualcosa fallo! u.u
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