Automorfismi interni
Buonasera a tutti.
Ho qualche problema con gli automorfismi di gruppi.
Dunque, la definizione è chiara, ci sono. E ho capito anche quali sono gli automorfismi interni.
Voglio però mostrare che, detto $mathcal I(G)$ l'insieme degli automorfismi interni di G, ho che $mathcal I(G)$ è normale in $Aut(G)$ (che è l'insieme degli automorfismi di G).
Qual è l'idea nella dimostrazione? Io mi perdo persino nel dimostrare che è sottogruppo...
E sulla normalità? Sarei tentato di dire che è ovvio perchè $\mathcal I(G)$ è chiuso per coniugio per sua stessa definizione, ma temo sia un ragionamento circolare....
Grazie in anticipo.
Ho qualche problema con gli automorfismi di gruppi.
Dunque, la definizione è chiara, ci sono. E ho capito anche quali sono gli automorfismi interni.
Voglio però mostrare che, detto $mathcal I(G)$ l'insieme degli automorfismi interni di G, ho che $mathcal I(G)$ è normale in $Aut(G)$ (che è l'insieme degli automorfismi di G).
Qual è l'idea nella dimostrazione? Io mi perdo persino nel dimostrare che è sottogruppo...
E sulla normalità? Sarei tentato di dire che è ovvio perchè $\mathcal I(G)$ è chiuso per coniugio per sua stessa definizione, ma temo sia un ragionamento circolare....
Grazie in anticipo.
Risposte
La so, la so!!! 
Ma non te lo dico. 
Invece, ti passo un link: http://www.jmilne.org/math/ ; vai a "Course Notes", "Group Theory" e scaricati la dispensa che ne vale la pena. Poi nell'indice clicca su "Automorphisms of groups", è nel terzo capitolo. La prima pagina del paragrafo contiene esattamente tutto ciò che ti serve.
Ma non te lo dico. Invece, ti passo un link: http://www.jmilne.org/math/ ; vai a "Course Notes", "Group Theory" e scaricati la dispensa che ne vale la pena. Poi nell'indice clicca su "Automorphisms of groups", è nel terzo capitolo. La prima pagina del paragrafo contiene esattamente tutto ciò che ti serve.
Prova a fare il conto: chiama $phi$ un generico automorfismo di G e $gamma_g$ l'automorfismo di $G$ che manda $x$ in $g^{-1}xg$. Dato $x in G$ a cosa è uguale [tex](\phi^{-1} \gamma_g \phi) (x)[/tex] ?
Questo per la normalità.
Poi $I(G)$ è sottogruppo perché [tex]\gamma_g \gamma_h^{-1} = \gamma_{h^{-1}g}[/tex] e [tex]\gamma_1=1[/tex].
Questo per la normalità.
Poi $I(G)$ è sottogruppo perché [tex]\gamma_g \gamma_h^{-1} = \gamma_{h^{-1}g}[/tex] e [tex]\gamma_1=1[/tex].
Anzitutto grazie mille a dissonance per lo stupendo link (quanta roba! Grazie mille, sei sempre un grande).
In secondo luogo, vediamo se ho capito: provo a rispondere alla domanda di Martino:
Ci provo.
[tex](\phi^{-1} \gamma_g \phi) (x)=\phi^{-1} \gamma_g (\phi(x))=\phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g)[/tex]
Per le proprietà degli omomorfismi di gruppi l'inverso dell'immagine è l'immagine dell'inverso.
[tex]\phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g)=\phi((g^{-1}\phi(x)g)^{-1})[/tex]
L'inverso di un prodotto è $(ab)^(-1)=b^(-1)a^(-1)$. Inoltre, uso la proprietà associativa:
[tex]\phi((g^{-1}\phi(x)g)^{-1})=\phi((\phi(x)g)^{-1}g)=\phi(g^{-1}\phi^{-1}(x)g)=\phi(g^{-1})\cdot x \cdot \phi(g)[/tex]
dove si è usato il fatto che $\phi$ è un morfismo.
Ma [tex]\phi(g^{-1})\cdot x \cdot \phi(g)=\gamma_{\phi(g)}[/tex] e quindi è un automorfismo interno.
Ok?
GRAZIE mille.
Grazie mille, sei sempre un grande).In secondo luogo, vediamo se ho capito: provo a rispondere alla domanda di Martino:
"Martino":
Prova a fare il conto: chiama $phi$ un generico automorfismo di G e $gamma_g$ l'automorfismo di $G$ che manda $x$ in $g^{-1}xg$. Dato $x in G$ a cosa è uguale [tex](\phi^{-1} \gamma_g \phi) (x)[/tex] ?
Ci provo.
[tex](\phi^{-1} \gamma_g \phi) (x)=\phi^{-1} \gamma_g (\phi(x))=\phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g)[/tex]
Per le proprietà degli omomorfismi di gruppi l'inverso dell'immagine è l'immagine dell'inverso.
[tex]\phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g)=\phi((g^{-1}\phi(x)g)^{-1})[/tex]
L'inverso di un prodotto è $(ab)^(-1)=b^(-1)a^(-1)$. Inoltre, uso la proprietà associativa:
[tex]\phi((g^{-1}\phi(x)g)^{-1})=\phi((\phi(x)g)^{-1}g)=\phi(g^{-1}\phi^{-1}(x)g)=\phi(g^{-1})\cdot x \cdot \phi(g)[/tex]
dove si è usato il fatto che $\phi$ è un morfismo.
Ma [tex]\phi(g^{-1})\cdot x \cdot \phi(g)=\gamma_{\phi(g)}[/tex] e quindi è un automorfismo interno.
Ok?
GRAZIE mille.
"Paolo90":Questo non va bene. Non è vero in generale che $phi^{-1}(x) = phi(x)^{-1}$. Infatti supponendolo vero e scrivendo $x=phi(y)$ otterremmo $phi(phi(y))=y^{-1}$, il che è falso in generale.
[tex]\phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g)=\phi((g^{-1}\phi(x)g)^{-1})[/tex]
Ma quel passaggio in realtà non ti serve!
Sei molto vicino alla soluzione.
"Martino":Questo non va bene. Non è vero in generale che $phi^{-1}(x) = phi(x)^{-1}$. Infatti supponendolo vero e scrivendo $x=phi(y)$ otterremmo $phi(phi(y))=y^{-1}$, il che è falso in generale.
[quote="Paolo90"][tex]\phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g)=\phi((g^{-1}\phi(x)g)^{-1})[/tex]
[/quote]
Scusami, è vero, ho fatto confusione.
Ma quel passaggio in realtà non ti serve!
Sei molto vicino alla soluzione.
E' vero, sono stato proprio cieco! La soluzione è lì.
[tex]\phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g)=\phi^{-1} (g^{-1})\cdot x \cdot \phi^{-1}(g)=[\phi^{-1} (g)]^{-1} \cdot x \cdot \phi^{-1}(g)=\gamma_{\phi^{-1}(g)}[/tex]
dove ho applicato la definizione di omomorfismo e (spero correttamente) la proprietà che menzionavo sopra. Così va bene?
Grazie.
"Paolo90":Direi piuttosto che risulta [tex]\gamma_{\phi^{-1}(g)}[/tex].
[tex]\phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g)=\phi^{-1} (g^{-1})\cdot x \cdot \phi^{-1}(g)=[\phi^{-1} (g)]^{-1} \cdot x \cdot \phi^{-1}(g)=\gamma_{\phi(g)}[/tex]
Visto? Non era difficile
"Martino":Direi piuttosto che risulta [tex]\gamma_{\phi^{-1}(g)}[/tex].
[quote="Paolo90"][tex]\phi^{-1} (g^{-1}\phi(x)g)=\phi^{-1} (g^{-1})\cdot x \cdot \phi^{-1}(g)=[\phi^{-1} (g)]^{-1} \cdot x \cdot \phi^{-1}(g)=\gamma_{\phi(g)}[/tex]
Visto? Non era difficile
[/quote]Sì, scusami, è stata una svista, ora correggo.
Grazie.
Mi viene però un'altra curiosità relativa a questo argomento.
La definizione di sottogruppo normale qual è?
Supponiamo io dica: definisco $H$ normale in $G$ se per ogni $x in G$ si ha $xH=Hx$ cioè i laterali destri sono uguali a quelli sinistri. Però questa storia del coniugio ce l'ho poco chiara. Se non ho capito male, vale $H " normale " iff x^-1Hx =H $ per ogni $x in G$.
Assumo dunque come definizione quella che riguarda i laterali e voglio dimostrare questa equivalenza.
Una direzione è banale: se $H$ è normale in $G$, per definizione ho per $x in G$ $xH=Hx$, da cui moltiplicando per l'inverso $H=x^-1Hx$.
Analogamente per l'altra direzione.
Ma è corretto?
Ti ringrazio molto.
"Paolo90":E perché non dovrebbe esserlo?
Ma è corretto?
Invece è leggermente più difficile mostrare l'equivalenza tra
1) $g^{-1}Hg=H$ per ogni $g in G$;
2) $g^{-1}hg in H$ per ogni $g in G$, $h in H$.
Ma proprio leggerissimamente
"Martino":E perché non dovrebbe esserlo?
[quote="Paolo90"]Ma è corretto?
[/quote]
Wow. Evvai! Grazie capo!
Invece è leggermente più difficile mostrare l'equivalenza tra
1) $g^{-1}Hg=H$ per ogni $g in G$;
2) $g^{-1}hg in H$ per ogni $g in G$, $h in H$.
Ma proprio leggerissimamente
Ci provo.
Supponiamo sia $g^{-1}Hg=H$ per ogni $g in G$; per ciò che abbiamo detto sopra abbiamo che da ciò segue $Hg=gH$, l'uguaglianza va intesa tra laterali.
Questo significa che esistono, in $H$, $h_1$ e $h_2$ tali che $h_1g=gh_2$. Moltiplicando ho $g^-1h_1g=h_2 in H$ che è quanto si voleva mostrare.
Per il viceversa dovrebbe essere sufficiente leggere al contrario la dimostrazione appena data.
Che dici?
Grazie mille!
Domanda:
Ho fatto il conto, non dovrebbe essere [tex]\gamma_g \gamma_h^{-1} = \gamma_{h^{-1}g}[/tex]?
Grazie.
"Martino":
Poi $I(G)$ è sottogruppo perché [tex]\gamma_g \gamma_h^{-1} = \gamma_{gh^{-1}}[/tex] e [tex]\gamma_1=1[/tex].
Ho fatto il conto, non dovrebbe essere [tex]\gamma_g \gamma_h^{-1} = \gamma_{h^{-1}g}[/tex]?
Grazie.
"Paolo90":No, purtroppo non va bene. L'uguaglianza $Hg=gH$ significa che per ogni $h in H$ esiste $k in H$ tale che $hg=gk$.
Supponiamo sia $g^{-1}Hg=H$ per ogni $g in G$; per ciò che abbiamo detto sopra abbiamo che da ciò segue $Hg=gH$, l'uguaglianza va intesa tra laterali.
Questo significa che esistono, in $H$, $h_1$ e $h_2$ tali che $h_1g=gh_2$. Moltiplicando ho $g^-1h_1g=h_2 in H$ che è quanto si voleva mostrare.
Inoltre tu hai mostrato che $g^{-1}h_1g=h_2$ per due specifici elementi $h_1,h_2$ di $H$, invece lo devi fare per ogni due elementi di $H$.
"Paolo90":Ho fatto il conto, non dovrebbe essere [tex]\gamma_g \gamma_h^{-1} = \gamma_{h^{-1}g}[/tex]?[/quote]Sì, hai proprio ragione, ora correggo.
[quote="Martino"] Poi $I(G)$ è sottogruppo perché [tex]\gamma_g \gamma_h^{-1} = \gamma_{gh^{-1}}[/tex] e [tex]\gamma_1=1[/tex].
"Martino":Scusa, intendevo, devi mostrare che per ogni $h_1 in H$ esiste $h_2 in H$ che si comporta così.
tu hai mostrato che $g^{-1}h_1g=h_2$ per due specifici elementi $h_1,h_2$ di $H$, invece lo devi fare per ogni due elementi di $H$.
Ciao!
Scusa se rispondo tardi.
Ho pensato un po' all'equivalenza che mi proponevi tu ieri sera:
Va bene così?
$1 =>2$. Supponiamo che valga 1 che sappiamo equivale a dire che $Hg=gH$ per ogni $g in G$. Preso un $h in H$ arbitrario $hg in Hg = gH$, pertanto esiste $k in H$ tale che $hg = gk$ . Segue che $g^-1hg = k in H$. E quindi avrei mostrato che per ogni $h in H$ esiste un $k in H$ (che era l'obiezione che mi portavi tu). Inoltre anche $g$ è arbitrario: per cui vale 2.
$2=>1$. L'idea è quella di passare dall'uguaglianza di laterali. Per cui suppongo valga 2, e considero sempre $g in G$ e $h in H$ arbitrari. Ovviamente $hg in Hg$. Inoltre, per ipotesi, $g^-1hg in H iff EE k in H " tale che " g^-1hg=k =>hg=gk in gH$. Ho mostrato che $Hg subseteq gH$. Analogamente per l'altra inclusione; ottengo $Hg=gH$, da cui 1.
Ok?
Grazie mille!
Scusa se rispondo tardi.
Ho pensato un po' all'equivalenza che mi proponevi tu ieri sera:
"Martino":
Mostrare l'equivalenza tra
1) $g^{-1}Hg=H$ per ogni $g in G$;
2) $g^{-1}hg in H$ per ogni $g in G$, $h in H$.
Va bene così?
$1 =>2$. Supponiamo che valga 1 che sappiamo equivale a dire che $Hg=gH$ per ogni $g in G$. Preso un $h in H$ arbitrario $hg in Hg = gH$, pertanto esiste $k in H$ tale che $hg = gk$ . Segue che $g^-1hg = k in H$. E quindi avrei mostrato che per ogni $h in H$ esiste un $k in H$ (che era l'obiezione che mi portavi tu). Inoltre anche $g$ è arbitrario: per cui vale 2.
$2=>1$. L'idea è quella di passare dall'uguaglianza di laterali. Per cui suppongo valga 2, e considero sempre $g in G$ e $h in H$ arbitrari. Ovviamente $hg in Hg$. Inoltre, per ipotesi, $g^-1hg in H iff EE k in H " tale che " g^-1hg=k =>hg=gk in gH$. Ho mostrato che $Hg subseteq gH$. Analogamente per l'altra inclusione; ottengo $Hg=gH$, da cui 1.
Ok?
Grazie mille!
Sì, così va bene.
Un altro modo è considerare (fissato [tex]g \in G[/tex]) il coniugio [tex]\gamma_g:G \to G[/tex] (ricorda che è un automorfismo di G) ristretto a H (ed ora si tratta di dimostrare che tale restrizione ha valori in H se e solo se la sua immagine è H). E' ovvio che se [tex]\gamma_g (H)=H[/tex] allora i coniugati degli elementi di H stanno in H. Viceversa se [tex]\gamma_g(h) \in H[/tex] per ogni [tex]h \in H[/tex] allora [tex]\gamma_g|_H :H \to H[/tex] è suriettiva in quanto invertibile, l'inversa è [tex]\gamma_{g^{-1}}|_H[/tex].
Un altro modo è considerare (fissato [tex]g \in G[/tex]) il coniugio [tex]\gamma_g:G \to G[/tex] (ricorda che è un automorfismo di G) ristretto a H (ed ora si tratta di dimostrare che tale restrizione ha valori in H se e solo se la sua immagine è H). E' ovvio che se [tex]\gamma_g (H)=H[/tex] allora i coniugati degli elementi di H stanno in H. Viceversa se [tex]\gamma_g(h) \in H[/tex] per ogni [tex]h \in H[/tex] allora [tex]\gamma_g|_H :H \to H[/tex] è suriettiva in quanto invertibile, l'inversa è [tex]\gamma_{g^{-1}}|_H[/tex].
Hey, Ciao!
Ti ringrazio.
Sì, ho capito l'idea. Ora provo con calma a scriverlo poi ti farò sapere. E' decisamente interessante questa parte sugli automorfismi!
Grazie ancora.
"Martino":
Sì, così va bene.
Ti ringrazio.
Un altro modo è considerare (fissato [tex]g \in G[/tex]) il coniugio [tex]\gamma_g:G \to G[/tex] (ricorda che è un automorfismo di G) ristretto a H (ed ora si tratta di dimostrare che tale restrizione ha valori in H se e solo se la sua immagine è H). E' ovvio che se [tex]\gamma_g (H)=H[/tex] allora i coniugati degli elementi di H stanno in H. Viceversa se [tex]\gamma_g(h) \in H[/tex] per ogni [tex]h \in H[/tex] allora [tex]\gamma_g|_H :H \to H[/tex] è suriettiva in quanto invertibile, l'inversa è [tex]\gamma_{g^{-1}}|_H[/tex].
Sì, ho capito l'idea. Ora provo con calma a scriverlo poi ti farò sapere. E' decisamente interessante questa parte sugli automorfismi!
Grazie ancora.
Sì, ci sono e ho capito tutto. Grazie.
Posso farti una domanda (sì, lo so, stresso parecchio )? Ho studiato che $G//Z(G) cong "Inn"(G)$ (cioè il quoziente tra il gruppo e il suo centro è isomorfo al gruppo degli automorfismi interni). Mi sono posto però il problema anche su $"Aut"(G)//"Inn"(G)$, che d'altra parte è sempre un gruppo giacchè $"Inn"(G)$ è normale in $"Aut"(G)$
Leggo dalle tue note di algebra:
Posso chiederti che cosa intendi precisamente? Io sapevo che un automorfismo si dice interno se (brutalmente) è della forma $g^-1xg$.
Un automorfismo non interno è detto esterno.
Mi sono perso qualcosa?
Grazie mille.
Posso farti una domanda (sì, lo so, stresso parecchio
)? Ho studiato che $G//Z(G) cong "Inn"(G)$ (cioè il quoziente tra il gruppo e il suo centro è isomorfo al gruppo degli automorfismi interni). Mi sono posto però il problema anche su $"Aut"(G)//"Inn"(G)$, che d'altra parte è sempre un gruppo giacchè $"Inn"(G)$ è normale in $"Aut"(G)$Leggo dalle tue note di algebra:
"Martino":
Il quoziente $"Aut"(G)//"Inn"(G)$ si indica con $"Out"(G)$. Gli elementi di $"Out"(G)$ si chiamano automorfi smi esterni, sebbene non siano automorfi smi nel senso proprio.
Posso chiederti che cosa intendi precisamente? Io sapevo che un automorfismo si dice interno se (brutalmente) è della forma $g^-1xg$.
Un automorfismo non interno è detto esterno.
Mi sono perso qualcosa?
Grazie mille.
"Paolo90":In realtà questo è un punto in cui ci sono terminologie discordi. O meglio, spesso la nozione di automorfismo non interno (nel senso ovvio) e quella di automorfismo esterno (nel senso che ho scritto nelle note) vengono confuse (di proposito!). Non so esattamente perché, ma mi piace l'idea
Io sapevo che un automorfismo si dice interno se (brutalmente) è della forma $g^-1xg$.
Un automorfismo non interno è detto esterno.
Ah, ecco. Capisco.
Però mi sorge un quesito: alla fine i laterali sono o no automorfismi? Perchè tu dici "non sono automorfismi nel senso proprio"?
Ora provo a ragionare un po', voglio capire come sono fatti gli elementi di quel quoziente.
Grazie.
Però mi sorge un quesito: alla fine i laterali sono o no automorfismi? Perchè tu dici "non sono automorfismi nel senso proprio"?
Ora provo a ragionare un po', voglio capire come sono fatti gli elementi di quel quoziente.
Grazie.
"Paolo90":Certo che no, sono oggetti diversi.
alla fine i laterali sono o no automorfismi?
Prendi [tex]A_n[/tex]. Si dimostra che il gruppo [tex]\mbox{Aut}(A_n)[/tex] è isomorfo a [tex]S_n[/tex] (ogni automorfismo è dato dal coniugio con un elemento di [tex]S_n[/tex]) per ogni [tex]n \ne 2,3,6[/tex]. Quindi [tex]\mbox{Out}(A_n) \cong C_2[/tex] per [tex]n \ne 2,6[/tex]. Invece [tex]\mbox{Out}(A_2)=\{1\}[/tex] e [tex]\mbox{Out}(A_6) \cong C_2 \times C_2[/tex].
Quindi se [tex]n \ne 2,6[/tex] c'è essenzialmente "un solo" automorfismo non interno di [tex]A_n[/tex], essenzialmente nel senso che due qualunque automorfismi non interni "differiscono" per un automorfismo interno.
Ma rimanendo nel rigore letterale un elemento di [tex]\mbox{Out}(A_n)[/tex] è una classe [tex]\phi A_n[/tex] dove [tex]\phi \in \text{Aut}(A_n)[/tex].
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