Automorfismi interni
Buonasera a tutti.
Ho qualche problema con gli automorfismi di gruppi.
Dunque, la definizione è chiara, ci sono. E ho capito anche quali sono gli automorfismi interni.
Voglio però mostrare che, detto $mathcal I(G)$ l'insieme degli automorfismi interni di G, ho che $mathcal I(G)$ è normale in $Aut(G)$ (che è l'insieme degli automorfismi di G).
Qual è l'idea nella dimostrazione? Io mi perdo persino nel dimostrare che è sottogruppo...
E sulla normalità? Sarei tentato di dire che è ovvio perchè $\mathcal I(G)$ è chiuso per coniugio per sua stessa definizione, ma temo sia un ragionamento circolare....
Grazie in anticipo.
Ho qualche problema con gli automorfismi di gruppi.
Dunque, la definizione è chiara, ci sono. E ho capito anche quali sono gli automorfismi interni.
Voglio però mostrare che, detto $mathcal I(G)$ l'insieme degli automorfismi interni di G, ho che $mathcal I(G)$ è normale in $Aut(G)$ (che è l'insieme degli automorfismi di G).
Qual è l'idea nella dimostrazione? Io mi perdo persino nel dimostrare che è sottogruppo...
E sulla normalità? Sarei tentato di dire che è ovvio perchè $\mathcal I(G)$ è chiuso per coniugio per sua stessa definizione, ma temo sia un ragionamento circolare....
Grazie in anticipo.
Risposte
"Martino":Certo che no, sono oggetti diversi.
[quote="Paolo90"]alla fine i laterali sono o no automorfismi?
Prendi [tex]A_n[/tex]. Si dimostra che il gruppo [tex]\mbox{Aut}(A_n)[/tex] è isomorfo a [tex]S_n[/tex] (ogni automorfismo è dato dal coniugio con un elemento di [tex]S_n[/tex]) per ogni [tex]n \ne 2,6[/tex]. Quindi [tex]\mbox{Out}(A_n) \cong C_2[/tex] per [tex]n \ne 2,6[/tex]. Invece [tex]\mbox{Out}(A_2)=\{1\}[/tex] e [tex]\mbox{Out}(A_6) \cong C_2 \times C_2[/tex].
Quindi se [tex]n \ne 2,6[/tex] c'è essenzialmente "un solo" automorfismo non interno di [tex]A_n[/tex], essenzialmente nel senso che due qualunque automorfismi non interni "differiscono" per un automorfismo interno.
[/quote]
Wow. Più o meno ho capito. Inutile dire che ho provato ad immaginarmi la dimostrazione di questi fatti, ma penso esuli dalle mie capacità (ho visto che se è parlato poco tempo fa sul forum in un vecchio topic di alvinlee).
Ma rimanendo nel rigore letterale un elemento di [tex]\mbox{Out}(A_n)[/tex] è una classe [tex]\phi A_n[/tex] dove [tex]\phi in \mbox{Aut}(A_n)[/tex].
Sì, questo è chiaro.
Posso chiederti un favore? Non è che per caso hai problemi interessanti (e abbastanza semplici) sugli automorfismi da proporre, per piacere? Sulla scia ad esempio degli automorfismi di gruppi ciclici (che è un esercizio molto bello, secondo me)...
GRAZIE.
Prova a trovare [tex]\mbox{Aut}(C_2 \times C_2)[/tex].
"Martino":
Prova a trovare [tex]\mbox{Aut}(C_2 \times C_2)[/tex].
Grazie.
Il gruppo $C_2 xx C_2$ non è ciclico e ha ordine 4. Sto cercando gli automorfismi, dunque delle particolari biiezioni (quelle che conservano l'operazione). Le biiezioni di un insieme di 4 elementi in se stesso sono $4! =24$. Quindi, $|Aut(C_2 xx C_2)|<=24$.
Di questi 24 comincio a buttarne via un po': tengo solo quelli che mandano l'elemento neutro in sè stesso (perchè sia un omomorfismo di gruppi deve essere soddisfatta questa proprietà). Quindi i candidati sono solo più $3! =6$.
Adesso come mi suggerisci di procedere? Devo "scrivere" in cosa viene mandato ogni elemento e verificare se conserva l'operazione?
Ti ringrazio molto, come al solito.
Inoltre (mi è venuto in mente ora), dal momento che il gruppo trirettangolo è abeliano, il centro coincide con tutto il gruppo e il solo automorfismo interno è l'identità.
Restano cinque biiezioni (esclusa l'identità) da provare. Ora continuo a pensarci.
Restano cinque biiezioni (esclusa l'identità) da provare. Ora continuo a pensarci.
Elenca le cinque biiezioni e cerca di capire se sono omomorfismi
Comincio ad avere il sospetto che il gruppo che sto cercando è $S_3$.
Le biiezioni che cerco sono le permutazioni di tre elementi, quindi la congettura è sensata.
La cosa che mi stupisce è che conservano le operazioni! E' una cosa che non mi sarei mai aspettato
Ho fatto dei tentativi, ad esempio:
$sigma=((abc),(cab))$
Ho $sigma(ac)=sigma(b)=a$
e
$sigma(a)sigma(c)=cb=a$
Effettivamente le cose tornano, mi chiedo solo come dimostro che gli elementi di $S_3$ conservano le operazioni?
Grazie e scusa se ho sparato scemenze.
Le biiezioni che cerco sono le permutazioni di tre elementi, quindi la congettura è sensata.
La cosa che mi stupisce è che conservano le operazioni! E' una cosa che non mi sarei mai aspettato
Ho fatto dei tentativi, ad esempio:
$sigma=((abc),(cab))$
Ho $sigma(ac)=sigma(b)=a$
e
$sigma(a)sigma(c)=cb=a$
Effettivamente le cose tornano, mi chiedo solo come dimostro che gli elementi di $S_3$ conservano le operazioni?
Grazie e scusa se ho sparato scemenze.
Direi che non c'è altro modo che fare i conti a mano (sono un numero finito 
) per capire quante di quelle cinque biiezioni conservano le operazioni.
Una curiosità: se p è un numero primo e n è un intero positivo il gruppo [tex]\mbox{Aut}({C_p}^n)[/tex] si indica con [tex]GL(n,p)[/tex] (è un caso particolare di una classe di gruppi più generale, ma per comprenderla devi conoscere l'algebra lineare). Quindi il gruppo che ti ho proposto è [tex]GL(2,2)[/tex]. Tu hai dimostrato che esso è isomorfo ad un sottogruppo di [tex]S_3[/tex]. Ma a quale?
) per capire quante di quelle cinque biiezioni conservano le operazioni.Una curiosità: se p è un numero primo e n è un intero positivo il gruppo [tex]\mbox{Aut}({C_p}^n)[/tex] si indica con [tex]GL(n,p)[/tex] (è un caso particolare di una classe di gruppi più generale, ma per comprenderla devi conoscere l'algebra lineare). Quindi il gruppo che ti ho proposto è [tex]GL(2,2)[/tex]. Tu hai dimostrato che esso è isomorfo ad un sottogruppo di [tex]S_3[/tex]. Ma a quale?
C'è qualcosa che non mi torna. Trovo che tutte le biiezioni conservano le operazioni.
Ti faccio vedere come ho fatto.
Chiamo $V={1,a,b,c} \cong ZZ_2 xx ZZ_2$ il gruppo di cui sto cercando gli automorfismi. E' il trirettangolo per cui il composto di due elementi è il terzo e ogni elemento ha periodo 2.
Considero adesso la permutazione $((abc),(acb))$ per esempio.
Trovo:
$sigma(ab)=sigma(c)=b=ac=sigma(a)sigma(b)$
$sigma(bc)=sigma(a)=a=cb=sigma(b)sigma(c)$
$sigma(ac)=sigma(b)=c=ab=sigma(a)sigma(c)$
E' giusto questo modo di procedere? Perchè ho fatto i conti e mi trovo che tutte le permutazioni vanno bene...
Mmmm, qui c'è qualcosa che non va
Scusa il disturbo e grazie per l'aiuto.
Ti faccio vedere come ho fatto.
Chiamo $V={1,a,b,c} \cong ZZ_2 xx ZZ_2$ il gruppo di cui sto cercando gli automorfismi. E' il trirettangolo per cui il composto di due elementi è il terzo e ogni elemento ha periodo 2.
Considero adesso la permutazione $((abc),(acb))$ per esempio.
Trovo:
$sigma(ab)=sigma(c)=b=ac=sigma(a)sigma(b)$
$sigma(bc)=sigma(a)=a=cb=sigma(b)sigma(c)$
$sigma(ac)=sigma(b)=c=ab=sigma(a)sigma(c)$
E' giusto questo modo di procedere? Perchè ho fatto i conti e mi trovo che tutte le permutazioni vanno bene...
Mmmm, qui c'è qualcosa che non va
Scusa il disturbo e grazie per l'aiuto.
Ogni automorfismo di [tex]C_2\times C_2[/tex] manda [tex](0,0) \to (0,0)[/tex]. Inoltre [tex]a=(1,0), b=(0,1), c=(1,1)[/tex] in dei generatori di sottogruppi di ordine [tex]2[/tex] e quindi le permuta tra di loro.
Riguardo alla dimostrazione che è [tex]S_3[/tex] non serve provarle tutte ma solamente le [tex]3[/tex] trasposizioni dato che generano [tex]S_3[/tex]. Anzi ne basta [tex]1[/tex]: [tex](ac)[/tex] o [tex](bc)[/tex]. L'esistenza dell'automorfismo [tex](ab)[/tex] è banale per le proprietà del prodotto diretto. Se la trasposizione non conservasse l'operazione rimarrebbe [tex]C_3\cong A_3[/tex] e il sottogruppo banale. Ma d'altra parte non ce n'é bisogno...
Riguardo alla dimostrazione che è [tex]S_3[/tex] non serve provarle tutte ma solamente le [tex]3[/tex] trasposizioni dato che generano [tex]S_3[/tex]. Anzi ne basta [tex]1[/tex]: [tex](ac)[/tex] o [tex](bc)[/tex]. L'esistenza dell'automorfismo [tex](ab)[/tex] è banale per le proprietà del prodotto diretto. Se la trasposizione non conservasse l'operazione rimarrebbe [tex]C_3\cong A_3[/tex] e il sottogruppo banale. Ma d'altra parte non ce n'é bisogno...
Ciao Vittorio.
Grazie per la risposta.
Fin qui chiarissimo: infatti avevo capito che il problema alla fine si basava sulle permutazioni di tre elementi (appunto, l'elemento neutro è fissato).
Ah, bella questa cosa: $S_3$ è generato dai tre scambi. Bello, non lo sapevo; se è così capisco ciò che dici, verificato che una delle tre trasposizioni mantiene l'operazione allora anche le altre due lo fanno, come giustamente dici tu. Quindi, $Aut(C_2 xx C_2) cong S_3$? Pensavo, dal post di Martino, che fosse isomorfo a qualche sottogruppo proprio di $S_3$, non a tutto il gruppo...
Questo non l'ho capito, scusami. Se la trasposizione non conservasse l'operazione mi rimangono i due 3-cicli e l'elemento neutro (quindi il sottogruppo alterno): ma c'è un solo gruppo con 3 elementi, quindi avrei quell'isomorfismo con $C_3$. Ma quindi la conclusione qual è? Non è che puoi spiegarmi meglio, per piacere?
Grazie.
Grazie per la risposta.
"vict85":
Ogni automorfismo di [tex]C_2\times C_2[/tex] manda [tex](0,0) \to (0,0)[/tex]. Inoltre [tex]a=(1,0), b=(0,1), c=(1,1)[/tex] in dei generatori di sottogruppi di ordine [tex]2[/tex] e quindi le permuta tra di loro.
Fin qui chiarissimo: infatti avevo capito che il problema alla fine si basava sulle permutazioni di tre elementi (appunto, l'elemento neutro è fissato).
Riguardo alla dimostrazione che è [tex]S_3[/tex] non serve provarle tutte ma solamente le [tex]3[/tex] trasposizioni dato che generano [tex]S_3[/tex]. Anzi ne basta [tex]1[/tex].
Ah, bella questa cosa: $S_3$ è generato dai tre scambi. Bello, non lo sapevo; se è così capisco ciò che dici, verificato che una delle tre trasposizioni mantiene l'operazione allora anche le altre due lo fanno, come giustamente dici tu. Quindi, $Aut(C_2 xx C_2) cong S_3$? Pensavo, dal post di Martino, che fosse isomorfo a qualche sottogruppo proprio di $S_3$, non a tutto il gruppo...
Se la trasposizione non conservasse l'operazione rimarrebbe [tex]C_3\cong A_3[/tex] e il sottogruppo banale. Ma d'altra parte non ce n'é bisogno...
Questo non l'ho capito, scusami. Se la trasposizione non conservasse l'operazione mi rimangono i due 3-cicli e l'elemento neutro (quindi il sottogruppo alterno): ma c'è un solo gruppo con 3 elementi, quindi avrei quell'isomorfismo con $C_3$. Ma quindi la conclusione qual è? Non è che puoi spiegarmi meglio, per piacere?
Grazie.
P.S. Scusa, ho visto solo ora il tuo edit. Comunque m è oscuro anche questo passaggio:
Grazie.
"vict85":
L'esistenza dell'automorfismo [tex](ab)[/tex] è banale per le proprietà del prodotto diretto.
Grazie.
"Paolo90":Non ho mai detto proprio...
Pensavo, dal post di Martino, che fosse isomorfo a qualche sottogruppo proprio di $S_3$
La butto lì: questa cosa che hai detto:
"Paolo90":è proprio l'idea che si usa per dimostrare che [tex]\mbox{Aut}(S_3) \cong S_3[/tex]. Nel caso volessi provare.
$S_3$ è generato dai tre scambi.
Prima tutto sommato forse gli converrebbe iniziare da [tex]S_n[/tex] è generato dagli scambi [tex](12),(13),...,(1n)[/tex] inoltre da [tex](12),(23),...,(n-1,n)[/tex]
Per dimostrarlo ti basa dimostrare che i cicli possono essere generati da trasposizioni e che ogni trasposizione è prodotto di quelle trasposizioni. Quindi a rigore [tex]S_3[/tex] come ogni altro gruppo isomorfo ad un gruppo si simmetria di un poligono regolare da due trasposizioni (geometricamente parlando rispetto a 2 assi "consecutivi").
Se ti interessa invece [tex]A_n[/tex] è generato dai [tex]3[/tex]-cicli.
EDIT: avevo dimenticato le virgole...
Per dimostrarlo ti basa dimostrare che i cicli possono essere generati da trasposizioni e che ogni trasposizione è prodotto di quelle trasposizioni. Quindi a rigore [tex]S_3[/tex] come ogni altro gruppo isomorfo ad un gruppo si simmetria di un poligono regolare da due trasposizioni (geometricamente parlando rispetto a 2 assi "consecutivi").
Se ti interessa invece [tex]A_n[/tex] è generato dai [tex]3[/tex]-cicli.
EDIT: avevo dimenticato le virgole...
"Martino":Non ho mai detto proprio...
[quote="Paolo90"]Pensavo, dal post di Martino, che fosse isomorfo a qualche sottogruppo proprio di $S_3$
[/quote]
Ci ero cascato (sono proprio un asino
). Pensavo ti riferissi a un sottogruppo proprio, mea culpa. Ok, quindi $Aut(C_2 xx C_2) cong S_3$. Alla fine, la dimostrazione è quella che ho dato io con gli accorgimenti di vict85, no? In sintesi:
• sto cercando degli automorfismi, delle particolari biiezioni: quindi cerco prima le biiezioni
• dico che l'elemento neutro è fissato
• cerco le biiezioni di un insieme di tre elementi in se stesso e trovo $S_3$
• verifico che i tre scambi mantengono l'operazione (faccio i conti solo su uno, per simmetria vanno bene anche gli altri)
• concludo che $Aut(C_2 xx C_2) cong S_3$
[/list:u:1sh1wuf9]
Grazie mille.
La butto lì: questa cosa che hai detto:"Paolo90":è proprio l'idea che si usa per dimostrare che [tex]\mbox{Aut}(S_3) \cong S_3[/tex]. Nel caso volessi provare.
$S_3$ è generato dai tre scambi.
Oh sì, certo. Ci provo senz'altro. Prima però vorrei chiedere una cosa ancora sul fatto $S_3$ è generato dagli scambi. Mi sono reso conto che ciò che ho detto (facendo eco a vict85) è praticamente banale. Vorrei però una conferma: ogni $S_n$ è generato dagli scambi perchè ogni permutazione si può scrivere come prodotto si scambi (non necessariamente disgiunti). Giusto?
Se è giusto, passo a ragionare un po' su [tex]\mbox{Aut}(S_3) \cong S_3[/tex]. Non è troppo difficile, vero?
Danke.
"Paolo90":
P.S. Scusa, ho visto solo ora il tuo edit. Comunque m è oscuro anche questo passaggio:
[quote="vict85"]L'esistenza dell'automorfismo [tex](ab)[/tex] è banale per le proprietà del prodotto diretto.
Grazie.[/quote]
Beh... [tex]G_1\times G_2 \cong G_2\times G_1[/tex] e nel caso [tex]G_1[/tex] e [tex]G_2[/tex] siano isomorfi tra di loro allora quello è un automorfismo quindi [tex](ab)[/tex] era un automorfismo per quello. Ho solo voluto indebolire la mia affermazione per non dare troppe cose per scontate.
"vict85":
Prima tutto sommato forse gli converrebbe iniziare da [tex]S_n[/tex] è generato dagli scambi [tex](12)(13)...(1n)[/tex] inoltre da [tex](12)(23)...(n-1,n)[/tex]
Per dimostrarlo ti basa dimostrare che i cicli possono essere generati da trasposizioni e che ogni trasposizione è prodotto di quelle trasposizioni. Quindi a rigore [tex]S_3[/tex] come ogni altro gruppo isomorfo ad un gruppo si simmetria di un poligono regolare da due trasposizioni (geometricamente parlando rispetto a 2 assi "consecutivi").
Perfetto, era la conferma che cercavo. Grazie.
Se ti interessa invece [tex]A_n[/tex] è generato dai [tex]3[/tex]-cicli.
Sì, questo lo sapevo. Grazie mille.
Sono proprio scemo, bastava cercare... E dire che è passato solo un mesetto da questa discussione (che avevo anche letto, ma a quell'epoca mi pareva arabo!).
Ok per la prima parte, è esattamente quello che si diceva stamani con vict85.
Tuttavia, tu dici che $Aut(S_3)$ si immerge in $S_3$ tramite quell'omomorfismo che però, scusami, io non ho capito.
$gamma$ è un automorfismo di $S_3$, giusto? Poi, logicamente i tre scambi fissano ognuno un elemento. Ad esempio, $(12)$ fissa 3.
Allora io mando $gamma$ in $((123),(???))$: non ho capito come trovo questa permutazione...
Grazie e scusa se rompo sempre.
"Martino":
P
Per quanto riguarda i gruppi classici lo si è fatto. Per esempio si è dimostrato che:
Teorema (automorfismi del gruppo simmetrico): se $n ge 3$ e $n ne 6$ allora $Aut(S_n)=S_n$.
Per esempio per mostrare che $Aut(S_3)=S_3$ osserva che ogni automorfismo di $S_3$ permuta $(12)$, $(13)$ e $(23)$, quindi $Aut(S_3)$ si immerge in $S_3$ (tramite l'omomorfismo che manda $gamma$ nella permutazione che manda $i$ nel punto fissato dall'immagine tramite $gamma$ della trasposizione che fissa $i$) e hai concluso.
Ok per la prima parte, è esattamente quello che si diceva stamani con vict85.
Tuttavia, tu dici che $Aut(S_3)$ si immerge in $S_3$ tramite quell'omomorfismo che però, scusami, io non ho capito.
$gamma$ è un automorfismo di $S_3$, giusto? Poi, logicamente i tre scambi fissano ognuno un elemento. Ad esempio, $(12)$ fissa 3.
Allora io mando $gamma$ in $((123),(???))$: non ho capito come trovo questa permutazione...
Grazie e scusa se rompo sempre.
"Paolo90":Solo ora apprendo che stavo giocando a carte scoperte
Sono proprio scemo, bastava cercare... E dire che è passato solo un mesetto da questa discussione
Il fatto è questo: chiama G il gruppo [tex]\mbox{Aut}(S_3)[/tex]. Allora puoi definire la seguente funzione (se X è un insieme indico con [tex]\mbox{Sym}(X)[/tex] il gruppo delle funzioni biiettive [tex]X \to X[/tex]):
[tex]\psi: G \to \mbox{Sym}(\{(12),(13),(23)\}) \cong S_3[/tex]
[tex]g \mapsto \varphi_g[/tex]
dove [tex]\varphi_g[/tex] è la funzione [tex]\{(12),(13),(23)\} \to \{(12),(13),(23)\}[/tex] definita da [tex]\varphi_g(x) := g(x)[/tex]. (Osserva che per mostrare che questa funzione è ben definita bisogna provare che ogni elemento di G mappa scambi in scambi).
Si ha che [tex]\psi[/tex] è iniettiva (questa è la cosa da dimostrare) - in realtà è anche un omomorfismo -, quindi [tex]|G| \leq 6[/tex].
Se conosci le azioni dei gruppi, tutto questo si può dire più semplicemente come segue: [tex]\mbox{Aut}(S_3)[/tex] agisce fedelmente sui tre scambi di [tex]S_3[/tex] e quindi si immerge in [tex]S_3[/tex].
D'altra parte [tex]S_3[/tex] si immerge in G (essendo [tex]Z(S_3)=\{1\}[/tex]) e quindi [tex]G \cong S_3[/tex].
Se fin qua hai capito, dovresti capire anche perché questo caso è così facilmente risolvibile. Per esempio, sapresti dire perché l'argomento fallisce per [tex]S_4[/tex]? (Questa è davvero una domanda stupida, ma è solo per vedere se hai capito)
Grazie ancora per la risposta. Porta pazienza, ti prego, perdonami per la mia ignoranza. Provo a mettere insieme i pezzi piano piano.
Ti confesso che ho qualche difficoltà nell'"immaginarmi" la situazione. Come è fatto un automorfismo di $S_3$? Ho capito dove vuoi arrivare, almeno credo, ma mi sto perdendo nei dettagli.
A livello intuitivo penso di poter affermare questo: se l'automorfismo è interno esso mappa certamente scambi in scambi, perchè manda un elemento in un suo coniugato; ma elementi coniugati in $S_n$ hanno la medesima struttura ciclica, per cui un 2-ciclo viene mandato in un 2-ciclo.
Non solo, se riuscissi a far vedere che ogni automorfismo (non solo quelli interni) mappano 2-cicli in 2-cicli, potrei dire che allora sono tutti interni. Infatti, facendo il ragionamento al contrario, posso dire che ogni automorfismo che permuta 2-cicli è interno: ma siamo sicuri di tutto questo? Ho paura di aver fatto un po' di casino...
Grazie ancora.
Paolo
"Martino":
Il fatto è questo: chiama G il gruppo [tex]\mbox{Aut}(S_3)[/tex]. Allora puoi definire la seguente funzione (se X è un insieme indico con [tex]\mbox{Sym}(X)[/tex] il gruppo delle funzioni biiettive [tex]X \to X[/tex]):
[tex]\psi: G \to \mbox{Sym}(\{(12),(13),(23)\}) \cong S_3[/tex]
[tex]g \mapsto \varphi_g[/tex]
dove [tex]\varphi_g[/tex] è la funzione [tex]\{(12),(13),(23)\} \to \{(12),(13),(23)\}[/tex] definita da [tex]\varphi_g(x) := g(x)[/tex]. (Osserva che per mostrare che questa funzione è ben definita bisogna provare che ogni elemento di G mappa scambi in scambi).
Ti confesso che ho qualche difficoltà nell'"immaginarmi" la situazione. Come è fatto un automorfismo di $S_3$? Ho capito dove vuoi arrivare, almeno credo, ma mi sto perdendo nei dettagli.
A livello intuitivo penso di poter affermare questo: se l'automorfismo è interno esso mappa certamente scambi in scambi, perchè manda un elemento in un suo coniugato; ma elementi coniugati in $S_n$ hanno la medesima struttura ciclica, per cui un 2-ciclo viene mandato in un 2-ciclo.
Non solo, se riuscissi a far vedere che ogni automorfismo (non solo quelli interni) mappano 2-cicli in 2-cicli, potrei dire che allora sono tutti interni. Infatti, facendo il ragionamento al contrario, posso dire che ogni automorfismo che permuta 2-cicli è interno: ma siamo sicuri di tutto questo? Ho paura di aver fatto un po' di casino...
Grazie ancora.
Paolo
"Paolo90":Tu dici: se un automorfismo di $S_3$ manda 2-cicli in 2-cicli allora è interno. E' così evidente?
Non solo, se riuscissi a far vedere che ogni automorfismo (non solo quelli interni) mappano 2-cicli in 2-cicli, potrei dire che allora sono tutti interni. Infatti, facendo il ragionamento al contrario, posso dire che ogni automorfismo che permuta 2-cicli è interno
In realtà è proprio questo che stiamo cercando di dimostrare!
Prova a dimostrare la seguente proposizione.
PROP. Sia $f:G to H$ un omomorfismo iniettivo di gruppi. Allora per ogni $g in G$, l'ordine di $f(g)$ in $H$ è uguale all'ordine di $g$ in $G$.
In altre parole gli omomorfismi iniettivi conservano gli ordini degli elementi. Nel nostro caso quindi un 2-ciclo dove potrà andare mai a finire?
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