Automorfismi interni
Buonasera a tutti.
Ho qualche problema con gli automorfismi di gruppi.
Dunque, la definizione è chiara, ci sono. E ho capito anche quali sono gli automorfismi interni.
Voglio però mostrare che, detto $mathcal I(G)$ l'insieme degli automorfismi interni di G, ho che $mathcal I(G)$ è normale in $Aut(G)$ (che è l'insieme degli automorfismi di G).
Qual è l'idea nella dimostrazione? Io mi perdo persino nel dimostrare che è sottogruppo...
E sulla normalità? Sarei tentato di dire che è ovvio perchè $\mathcal I(G)$ è chiuso per coniugio per sua stessa definizione, ma temo sia un ragionamento circolare....
Grazie in anticipo.
Ho qualche problema con gli automorfismi di gruppi.
Dunque, la definizione è chiara, ci sono. E ho capito anche quali sono gli automorfismi interni.
Voglio però mostrare che, detto $mathcal I(G)$ l'insieme degli automorfismi interni di G, ho che $mathcal I(G)$ è normale in $Aut(G)$ (che è l'insieme degli automorfismi di G).
Qual è l'idea nella dimostrazione? Io mi perdo persino nel dimostrare che è sottogruppo...
E sulla normalità? Sarei tentato di dire che è ovvio perchè $\mathcal I(G)$ è chiuso per coniugio per sua stessa definizione, ma temo sia un ragionamento circolare....
Grazie in anticipo.
Risposte
"Martino":Tu dici: se un automorfismo di $S_3$ manda 2-cicli in 2-cicli allora è interno. E' così evidente?
[quote="Paolo90"]Non solo, se riuscissi a far vedere che ogni automorfismo (non solo quelli interni) mappano 2-cicli in 2-cicli, potrei dire che allora sono tutti interni. Infatti, facendo il ragionamento al contrario, posso dire che ogni automorfismo che permuta 2-cicli è interno
In realtà è proprio questo che stiamo cercando di dimostrare!
[/quote]
No, ma è che io sono troppo avanti
Per me è scontatissimo...
Ad ogni modo, torno serio. Sorry. Pensavo che se l'automorfismo preserva la struttura ciclica allora manda un elemento in un suo coniugato, dunque l'automorfismo è interno.
Dov'è che fa acqua questo ragionamento?
Prova a dimostrare la seguente proposizione.
PROP. Sia $f:G to H$ un omomorfismo iniettivo di gruppi. Allora per ogni $g in G$, l'ordine di $f(g)$ in $H$ è uguale all'ordine di $g$ in $G$.
In altre parole gli omomorfismi iniettivi conservano gli ordini degli elementi. Nel nostro caso quindi un 2-ciclo dove potrà andare mai a finire?
Sia $n$ l'ordine di $g in G$; per una nota proprietà, $g^n=1$. Allora, $[f(g)]^n=f(g^n)=f(1)=1$ per le proprietà dei morfismi. Il fatto che $f$ sia iniettivo garantisce poi che $1$ non ha altre controimmagini, per cui $n$ è effettivamente il minimo intero t.c $[f(g)]^n=1$. Quindi il periodo di $f(g)$ in $H$ è di nuovo $n$.
Ti prego, non mi fare del male. Abbi pietà di me
P.S. Grazie.
"Paolo90":Certo, ma occorre uniformità! (per usare una terminologia analitica!
Pensavo che se l'automorfismo preserva la struttura ciclica allora manda un elemento in un suo coniugato
). In altre parole: detto $phi$ il tuo automorfismo del gruppo $S_3$, tu sai che esistono $g_1,g_2,g_3 in S_3$ tali che $phi(12)=(12)^{g_1}$, $phi(13)=(13)^{g_2}$, $phi(23)=(23)^{g_3}$. Ma nessuno ti garantisce che $g_1=g_2=g_3$.Bene, hai mostrato che gli omomorfismi iniettivi conservano gli ordini. Questo ti dice che ogni automorfismo di $S_3$ manda 2-cicli in 2-cicli (perché gli elementi di ordine 2 di $S_3$ sono proprio i 2-cicli!), quindi quella funzione [tex]\psi[/tex] che ti ho definito ha senso. Prova a proseguire ora.
"Martino":Certo, ma occorre uniformità! (per usare una terminologia analitica!
[quote="Paolo90"]Pensavo che se l'automorfismo preserva la struttura ciclica allora manda un elemento in un suo coniugato
). In altre parole: detto $phi$ il tuo automorfismo del gruppo $S_3$, tu sai che esistono $g_1,g_2,g_3 in S_3$ tali che $phi(12)=(12)^{g_1}$, $phi(13)=(13)^{g_2}$, $phi(23)=(23)^{g_3}$. Ma nessuno ti garantisce che $g_1=g_2=g_3$.[/quote]
Oh, già, vero. Giusto, giusto. Evvai, sono già felice perchè l'ultima proposizione sono riuscito a dimostrarla correttamente!
Torniamo a noi.
"Martino":
Il fatto è questo: chiama G il gruppo [tex]\mbox{Aut}(S_3)[/tex]. Allora puoi definire la seguente funzione (se X è un insieme indico con [tex]\mbox{Sym}(X)[/tex] il gruppo delle funzioni biiettive [tex]X \to X[/tex]):
[tex]\psi: G \to \mbox{Sym}(\{(12),(13),(23)\}) \cong S_3[/tex]
[tex]g \mapsto \varphi_g[/tex]
dove [tex]\varphi_g[/tex] è la funzione [tex]\{(12),(13),(23)\} \to \{(12),(13),(23)\}[/tex] definita da [tex]\varphi_g(x) := g(x)[/tex]. (Osserva che per mostrare che questa funzione è ben definita bisogna provare che ogni elemento di G mappa scambi in scambi).
Si ha che [tex]\psi[/tex] è iniettiva (questa è la cosa da dimostrare) - in realtà è anche un omomorfismo -, quindi [tex]|G| \leq 6[/tex].
Verificato che $\varphi$ (e di conseguenza anche $\psi$) sono ben poste, devo far vedere che $psi$ è iniettiva. D'altra parte, $"ker"psi={x in G, " " \varphi_{g} (x)=g(x)=1}={id}$: il nucleo è banale, dunque $\psi$ è iniettiva.
Se conosci le azioni dei gruppi, tutto questo si può dire più semplicemente come segue: [tex]\mbox{Aut}(S_3)[/tex] agisce fedelmente sui tre scambi di [tex]S_3[/tex] e quindi si immerge in [tex]S_3[/tex].
D'altra parte [tex]S_3[/tex] si immerge in G (essendo [tex]Z(S_3)=\{1\}[/tex]) e quindi [tex]G \cong S_3[/tex].
Se il centro è banale, allora l'omomorfismo è iniettivo? Non sapevo questa proprietà...
GRAZIE.
"Paolo90":Beh però non spieghi come mai il nucleo è banale...
Verificato che $\varphi$ (e di conseguenza anche $\psi$) sono ben poste, devo far vedere che $psi$ è iniettiva. D'altra parte, $"ker"psi={x in G, " " \varphi_{g} (x)=g(x)=1}={id}$: il nucleo è banale, dunque $\psi$ è iniettiva.
E poi a rigore se usi il nucleo dovresti dimostrare che $psi$ è un omomorfismo.
[quote][tex]S_3[/tex] si immerge in G (essendo [tex]Z(S_3)=\{1\}[/tex]) e quindi [tex]G \cong S_3[/tex].Se il centro è banale, allora l'omomorfismo è iniettivo? Non sapevo questa proprietà...[/quote]Mi riferisco all'omomorfismo $S_3 to "Aut"(S_3)$ che manda $g$ nel coniugio tramite $g$. Il nucleo di questo omomorfismo, come sai, è $Z(S_3)$.
Rieccomi qui, dopo una piacevolissima giornata trascorsa in biblioteca. Ho letto un sacco di cose, ho sfogliato bellissimi libri di teoria dei gruppi e di algebra in generale. Venendo al nostro problema, ho letto la dimostrazione sul Rotman e sul Kurosh (mi sono fotocopiato proprio quelle pagine di quest'ultimo) e... non l'ho capita completamente: che novità !
Va detto che in entrambi i libri ho letto la dimostrazione del fatto più generale secondo cui "quasi tutti gli $S_n$ sono completi, ovvero hanno centro banale e dunque $Aut(S_n) cong S_n$ ($n>=3, n != 6$)".
In ogni caso, caro Martino, per come mi hai guidato tu, il ragionamento mi è più chiaro. C'è solo una cosa che non riesco ad immaginarmi, ed è come diavolo è fatta quella $psi$. O meglio, non riesco a capire come è fatto un automorfismo di $S_3$. L'altra sera ho provato a scrivermi delle funzioni di $S_3$ in $S_3$ che mandassero 2 cicli in 2 cicli. Erano effettivamente biiezioni, ma non riuscivo a trovarne una che conservasse l'operazione. Ora non ricordo esattamente quali funzioni ho provato (ci sarà sicuramente su qualche foglio su questa scrivania, ma c'è una tale casino...), però mi sembra di ricordare che avevo provato con $f: sigma mapsto (123)sigma$ (o forse era $sigma(123)$?). In ogni caso, si potrebbe scrivere esplicitamente un automorfismo?
Ho chiaro il discorso sugli ordini, c'è solo questa cosa che non mi torna, ed è la struttura di quell'omomorfismo $psi$.
Grazie per il tuo aiuto.
P.S. Ho preso in prestito dalla biblioteca l'Hernstein... ho come per idea che nei prossimi giorni ti stresserò particolarmente: cercherò di risolvere qualche problema e avrò sicuramente bisogno del tuo fondamentale aiuto... Grazie in anticipo. Ciao mitico!
! Va detto che in entrambi i libri ho letto la dimostrazione del fatto più generale secondo cui "quasi tutti gli $S_n$ sono completi, ovvero hanno centro banale e dunque $Aut(S_n) cong S_n$ ($n>=3, n != 6$)".
In ogni caso, caro Martino, per come mi hai guidato tu, il ragionamento mi è più chiaro. C'è solo una cosa che non riesco ad immaginarmi, ed è come diavolo è fatta quella $psi$. O meglio, non riesco a capire come è fatto un automorfismo di $S_3$. L'altra sera ho provato a scrivermi delle funzioni di $S_3$ in $S_3$ che mandassero 2 cicli in 2 cicli. Erano effettivamente biiezioni, ma non riuscivo a trovarne una che conservasse l'operazione. Ora non ricordo esattamente quali funzioni ho provato (ci sarà sicuramente su qualche foglio su questa scrivania, ma c'è una tale casino...), però mi sembra di ricordare che avevo provato con $f: sigma mapsto (123)sigma$ (o forse era $sigma(123)$?). In ogni caso, si potrebbe scrivere esplicitamente un automorfismo?
Ho chiaro il discorso sugli ordini, c'è solo questa cosa che non mi torna, ed è la struttura di quell'omomorfismo $psi$.
Grazie per il tuo aiuto.
P.S. Ho preso in prestito dalla biblioteca l'Hernstein... ho come per idea che nei prossimi giorni ti stresserò particolarmente: cercherò di risolvere qualche problema e avrò sicuramente bisogno del tuo fondamentale aiuto... Grazie in anticipo.
Ciao mitico!
Prego! Ma...
"Paolo90":Il fatto che $Z(S_n)=\{1\}$ per ogni $n ge 3$ è di facile dimostrazione, e non implica assolutamente che $"Aut"(S_n) cong S_n$, attenzione! (Infatti ciò è falso per $n=6$) Implica solo che $S_n$ è isomorfo ad un sottogruppo di $"Aut"(S_n)$ (il sottogruppo che consiste degli automorfismi interni). Per provare che $"Aut"(S_n) cong S_n$ servono altri argomenti. Quello che ti ho proposto io funziona per $S_3$.
Va detto che in entrambi i libri ho letto la dimostrazione del fatto più generale secondo cui "quasi tutti gli $S_n$ sono completi, ovvero hanno centro banale e dunque $Aut(S_n) cong S_n$ ($n>=3, n != 6$)".
C'è solo una cosa che non riesco ad immaginarmi, ed è come diavolo è fatta quella $psi$.Un elemento di $"Aut"(S_3)$ permuta i 2-cicli, no? Bene, $psi$ manda un elemento di $"Aut"(S_3)$ nella permutazione indotta sui tre 2-cicli. Siccome i 2-cicli sono proprio tre, $psi$ è un omomorfismo $"Aut"(S_3) to S_3$, che risulta essere iniettivo! La ragione per cui è iniettivo è la seguente: i tre 2-cicli di $S_3$ generano $S_3$ (se ti ricordi è l'idea di cui ti parlavo!) e quindi fissare i tre 2-cicli per un omomorfismo significa fissare tutto.
cercherò di risolvere qualche problemaBene!
"Martino":Il fatto che $Z(S_n)=\{1\}$ per ogni $n ge 3$ è di facile dimostrazione, e non implica assolutamente che $"Aut"(S_n) cong S_n$, attenzione! (Infatti ciò è falso per $n=6$) Implica solo che $S_n$ è isomorfo ad un sottogruppo di $"Aut"(S_n)$ (il sottogruppo che consiste degli automorfismi interni). Per provare che $"Aut"(S_n) cong S_n$ servono altri argomenti. Quello che ti ho proposto io funziona per $S_3$.
Prego! Ma...
[quote="Paolo90"]Va detto che in entrambi i libri ho letto la dimostrazione del fatto più generale secondo cui "quasi tutti gli $S_n$ sono completi, ovvero hanno centro banale e dunque $Aut(S_n) cong S_n$ ($n>=3, n != 6$)".
[/quote]
Ah, ok. Grazie perchè non avevo capito bene.
Un elemento di $"Aut"(S_3)$ permuta i 2-cicli, no? Bene, $psi$ manda un elemento di $"Aut"(S_3)$ nella permutazione indotta sui tre 2-cicli. Siccome i 2-cicli sono proprio tre, $psi$ è un omomorfismo $"Aut"(S_3) to S_3$, che risulta essere iniettivo! La ragione per cui è iniettivo è la seguente: i tre 2-cicli di $S_3$ generano $S_3$ (se ti ricordi è l'idea di cui ti parlavo!) e quindi fissare i tre 2-cicli per un omomorfismo significa fissare tutto.
[quote]C'è solo una cosa che non riesco ad immaginarmi, ed è come diavolo è fatta quella $psi$.
[/quote]
Sì, avevo capito che la differenza con $S_4$ (è la tua domanda "sciocca" che mi dicevi serviva solo per vedere se avevo capito) stava proprio in questo: i due cicli di $S_4$ sono 6, e quindi non posso fare questo giochino. Giusto?
Thanks.
"Paolo90":In realtà il caso di $S_3$ è molto più patologico di così: in $S_3$ non solo i 2-cicli sono proprio tre (quanto il grado del gruppo simmetrico in cui stanno) ma sono i soli elementi di ordine 2. In $S_4$ ci sono due problemi: ci sono elementi di ordine 2 che non sono 2-cicli, e (comunque) il numero dei 2-cicli è troppo grande.
Sì, avevo capito che la differenza con $S_4$ (è la tua domanda "sciocca" che mi dicevi serviva solo per vedere se avevo capito) stava proprio in questo: i due cicli di $S_4$ sono 6, e quindi non posso fare questo giochino. Giusto?
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