Automorfismi di un campo
Se abbiamo un campo $K$ un estensione semplice $K(a)$ quanti automorfismi possiede?
Risposte
La domanda non è ben posta. Per esempio se $a in K$ allora $K(a)=K$ e quindi stai chiedendo a tutti gli effetti "dato un campo $K$, quanti automorfismi possiede?". Questa domanda è troppo generale, dipende da caso a caso.
A volte un numero finito, a volte un numero infinito. Dipende dal campo e da $a$.
Se suppongo che il campo sia $Q$, il campo dei razionali, $a$ non appartenente ad $Q$ ed $Q(a)$ un estensione semplice, quanti automorfismi possiede l'estensione?
È chiaro che se $a$ appartiene ad $Q$, dato che si tratta del campo dei razionali l'unico automorfismo esistente è quello identico, giusto? Nel caso invece che $a$ non appartiene ad $Q$ ed $Q(a)$ è un estensione semplice quanti automorfismi avremo?
È chiaro che se $a$ appartiene ad $Q$, dato che si tratta del campo dei razionali l'unico automorfismo esistente è quello identico, giusto? Nel caso invece che $a$ non appartiene ad $Q$ ed $Q(a)$ è un estensione semplice quanti automorfismi avremo?
Continua a dipendere da $a$. A volte un numero finito, a volte un numero infinito.
La domanda continua ad essere estremamente generale, troppo.
Per esempio, c'è un teorema che afferma che se $K$ è una qualunque estensione di $QQ$ di grado finito (cioè $QQ$ è sottocampo di $K$ e la dimensione di $K$ su $QQ$ è finita) allora esiste $a in K$ tale che $K=QQ(a)$ (questo si chiama "teorema dell'elemento primitivo", cercalo).
Quindi in pratica stai chiedendo (in particolare) "quanti automorfismi possiede un'estensione finita di $QQ$?". Domanda troppo generale.
Per esempio, c'è un teorema che afferma che se $K$ è una qualunque estensione di $QQ$ di grado finito (cioè $QQ$ è sottocampo di $K$ e la dimensione di $K$ su $QQ$ è finita) allora esiste $a in K$ tale che $K=QQ(a)$ (questo si chiama "teorema dell'elemento primitivo", cercalo).
Quindi in pratica stai chiedendo (in particolare) "quanti automorfismi possiede un'estensione finita di $QQ$?". Domanda troppo generale.
Scusate se ad esempio prendo il campo $Q$ dei razionali e considero l'elemento $i$(unità immagginaria) non appartenente a $Q$ ma algebrico su $Q$ il cui polinomio minimo se non erro é $x^2+1$ allora $Q(i)$ è un estensione semplice, in quanto contiene tutte le radici di tale polinomio, giusto? In questo caso si hanno due automorfismi per l'estensione di campo $Q(i)$, tanti quali il grado del polinomio minimo giusto?
Sì
Ora questo è un fatto più generale, se ad esempio considero il campo dei razionali $Q$ ed un elemento $alpha$ algebrico su $Q$ che abbia come polinomio minimo un polinomio di grado $n$ tale che $E=Q(alpha)$ contiene tutte le radici del polinomio, allora tale estensione algebrica di grado $n$ possiede esattamente $n$ automorfismi, è questo che voglio provare a dimostrare.Ad esempio $Q(sqrt(2),sqrt(3)) $ è un estensione semplice $=Q(sqrt(2)+sqrt(3))$, il suo polinomio primitivo è $x^4-10x^2 +1$ ed ha esattamente $4$ automorfismi.
"francicko":Sì questo è vero, lo trovi facilmente in qualsiasi libro di testo, insieme alla sua dimostrazione. Comunque cosa hai provato a fare per dimostrarlo?
considero il campo dei razionali $Q$ ed un elemento $alpha$ algebrico su $Q$ che abbia come polinomio minimo un polinomio di grado $n$ tale che $E=Q(alpha)$ contiene tutte le radici del polinomio, allora tale estensione algebrica di grado $n$ possiede esattamente $n$ automorfismi
Beh non molto, comunque ho intuito che un estensione di questo tipo Vista come spazio vettoriale ha una base della forma ${1,alpha,alpha^2,.., alpha^(n-1)} $,
ogni altra base risulta essere del tipo ${q_0,q_1alpha,q_2alpha^2,..., q_(n-1)alpha^(n-1)}$ con
$q_0,q_1,q_2,...,q_(n-1)$ $in$ $Q$, in quanto anche le altre radici sono combinazione lineare di $alpha$ d'altronde un automorfismo deve fare corrispondere basi e radici, indicando con $alpha_i$ un altra radice distinta da $alpha$ avremo che un automorfismo $sigma$ é determinato da $sigma(alpha) =alpha_i$, ed essendo $n$ le radici distinte avrò esattamente $n$ automorfismi distinti, non credo sia corretto il ragionamento, comunque ci ho provato, grazie per le risposte.
ogni altra base risulta essere del tipo ${q_0,q_1alpha,q_2alpha^2,..., q_(n-1)alpha^(n-1)}$ con
$q_0,q_1,q_2,...,q_(n-1)$ $in$ $Q$, in quanto anche le altre radici sono combinazione lineare di $alpha$ d'altronde un automorfismo deve fare corrispondere basi e radici, indicando con $alpha_i$ un altra radice distinta da $alpha$ avremo che un automorfismo $sigma$ é determinato da $sigma(alpha) =alpha_i$, ed essendo $n$ le radici distinte avrò esattamente $n$ automorfismi distinti, non credo sia corretto il ragionamento, comunque ci ho provato, grazie per le risposte.
E hai capito perché $sigma(alpha)$ è radice?
"francicko":Comunque questo è falso.
ogni altra base risulta essere del tipo ${q_0,q_1alpha,q_2alpha^2,..., q_(n-1)alpha^(n-1)}$ con
$q_0,q_1,q_2,...,q_(n-1)$ $in$ $Q$.
Ti consiglio di concentrarti molto di più sulle dimostrazioni.
E poi ti avviso che senza una solida base di algebra lineare è difficile andare lontano.
Puoi mostrarmi perché è falso?
Per esempio se $n=2$ come dici una base è ${1,alpha}$, un'altra base per esempio è ${1+alpha,1-alpha}$, e non è del tipo che hai detto.
Non ti dimostro che ${1+alpha,1-alpha}$ è una base perché è un esercizio elementarissimo di algebra lineare.
Non ti dimostro che ${1+alpha,1-alpha}$ è una base perché è un esercizio elementarissimo di algebra lineare.
Hai ragione! Ascolterò il consiglio!
Se $alpha$ è radice del polinomio $p(x)$ a coefficienti ed airriducibile in $Q$, si ha:$a_0+a_1alpha+a_2alpha^2 +..... +a_nalpha^n=0$ ed un automorfismo $ sigma$ avrò $sigma(a_0)+sigma(a_1alpha)+sigma(a_2alpha^2) ..... +sigma(a_nalpha^n)=sigma(0) $ $=sigma(a_0)+sigma(a_1)sigma(alpha)+sigma(a_2)sigma(alpha^2)+..........+sigma(a_n)sigma(alpha^n)=sigma(0)$
ed essendo che $sigma(a_i) =a_i$ avrò che $a_0+a_1sigma(alpha_1)+a_2sigma(alpha^2) +..
........+sigma(alpha^n)=0$ $=a_0+a_1sigma(alpha)+ a_2(sigma(alpha) )^2 +.... +a_n(sigma(alpha)) ^n=0$ per cui $sigma(alpha)$ risulta radice di $p(x)$ giusto?
Se $alpha$ è radice del polinomio $p(x)$ a coefficienti ed airriducibile in $Q$, si ha:$a_0+a_1alpha+a_2alpha^2 +..... +a_nalpha^n=0$ ed un automorfismo $ sigma$ avrò $sigma(a_0)+sigma(a_1alpha)+sigma(a_2alpha^2) ..... +sigma(a_nalpha^n)=sigma(0) $ $=sigma(a_0)+sigma(a_1)sigma(alpha)+sigma(a_2)sigma(alpha^2)+..........+sigma(a_n)sigma(alpha^n)=sigma(0)$
ed essendo che $sigma(a_i) =a_i$ avrò che $a_0+a_1sigma(alpha_1)+a_2sigma(alpha^2) +..
........+sigma(alpha^n)=0$ $=a_0+a_1sigma(alpha)+ a_2(sigma(alpha) )^2 +.... +a_n(sigma(alpha)) ^n=0$ per cui $sigma(alpha)$ risulta radice di $p(x)$ giusto?
Giusto.
Adesso resta da mostrare il viceversa, ovvero che se $beta in E$ è una qualsiasi radice di $p(x)$ allora la mappa
$sigma:E to E$
$sigma(sum_(i=0)^k a_i alpha^i) := sum_(i=0)^k a_i beta^i$
è un automorfismo di $E=QQ(alpha)$ (che stiamo supponendo essere un campo di spezzamento di $p(x)$). Sai farlo?
Adesso resta da mostrare il viceversa, ovvero che se $beta in E$ è una qualsiasi radice di $p(x)$ allora la mappa
$sigma:E to E$
$sigma(sum_(i=0)^k a_i alpha^i) := sum_(i=0)^k a_i beta^i$
è un automorfismo di $E=QQ(alpha)$ (che stiamo supponendo essere un campo di spezzamento di $p(x)$). Sai farlo?
Ci rifletto un po e ci provo! Grazie!!
Ok, ti avviso che vanno dimostrate le seguenti quattro cose.
1. $sigma$ è ben definita.
2. $sigma$ è omomorfismo di anelli.
3. $sigma$ è iniettiva.
4. $sigma$ è suriettiva.
Di queste cose, la più interessante da dimostrare è la prima.
1. $sigma$ è ben definita.
2. $sigma$ è omomorfismo di anelli.
3. $sigma$ è iniettiva.
4. $sigma$ è suriettiva.
Di queste cose, la più interessante da dimostrare è la prima.
Non riesco, prova a darmi qualche indizio, grazie!
Per $sigma(sum_(i=0)^k a_i alpha^i) $ si intende tutti gli elementi della forma $sigma(a_0+a_1alpha+a_2alpha+...+a_kalpha^k)$? con $(a_0,a_1,a_2,...,a_k) $ arbitrari $in$ $Q$?
Quindi $sigma(a_0+a_1alpha+a_2alpha^2+... +a_kalpha^k)$ $=a_0+a_1beta+a_2beta^2+.... +a_kbeta^k$?
Quindi $sigma(a_0+a_1alpha+a_2alpha^2+... +a_kalpha^k)$ $=a_0+a_1beta+a_2beta^2+.... +a_kbeta^k$?
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