Automorfismi di un campo
Se abbiamo un campo $K$ un estensione semplice $K(a)$ quanti automorfismi possiede?
Risposte
Scusa perché va specificato che $1,beta$ sono linearmente indipendenti su $Q$?
Se ho supposto $beta$non appartenente a $Q$?
Se lo fossero $beta$ dovrebbe appartenere a $Q$.
Ed $a, a', b, b'$ era chiaro che sono elementi appartenenti a $Q$
Se ho supposto $beta$non appartenente a $Q$?
Se lo fossero $beta$ dovrebbe appartenere a $Q$.
Ed $a, a', b, b'$ era chiaro che sono elementi appartenenti a $Q$
Sì ma è chiaro solo per chi ha letto questo argomento dall'inizio. Per questo dico che è importante scrivere una dimostrazione dall'inizio alla fine e non "spezzettata", perché se no è difficile recuperare quello che si sta dicendo.
Per $n=3$ con $P(x)$ irriducibile ed $Q(alpha)=Q(beta)=Q(gamma)$ avrò esattamente $3$ automorfismi, in generale con $P(x)$ irriducibile di grado $n$ ed $x_1,x_2,...,x_n$ le sue radici distinte ed $Q(x_1)=Q(x_2)=...=Q(x_n)$ avrò esattamente $n$ automorfismi, con $[E]=n$. Se comunque scelti $x_i, x_j$ appartenenti all'insieme delle soluzioni $(x_1,x_2,...,x_n)$ si ha che $x_i$ non appartiene ad $Q(x_j)$ allora il gruppo di automorfismi avrà ordine $n!$ è sarà $[E]=n!$ giusto?
"francicko":No questo è falso, penso che il controesempio più piccolo sia dato da un polinomio irriducibile di grado $4$ con gruppo di Galois $A_4$ (per esempio $f(X)=X^4+8X+12$). In questo caso gli stabilizzatori delle radici sono $4$, due a due distinti, e quindi i corrispondenti campi $QQ(x_i)$ (tramite le corrispondenze di Galois) sono anch'essi due a due distinti e hanno tutti grado $4$ su $QQ$, quindi non può succedere che $x_i \in QQ(x_j)$ se $i ne j$. Tuttavia $|E:QQ|=|A_4|=12 ne 4!$ $=24$.
Se comunque scelti $x_i, x_j$ appartenenti all'insieme delle soluzioni $(x_1,x_2,...,x_n)$ si ha che $x_i$ non appartiene ad $Q(x_j)$ allora il gruppo di automorfismi avrà ordine $n!$ è sarà $[E]=n!$ giusto?
Grazie per le risposte!
Nel caso di un polinomio irriducibile in $Q$ di grado $3$ avente gruppo di galois $S_3$, quindi composto da tutte le possibili permutazioni tra le radici ${x_1,x_2,x_3}$, non dovrebbe risultare $E=Q(x_1,x_2,x_3)=Q(x_1,x_2)=Q(x_2,x_3)=Q(x_3,x_1)$
Mi sbaglio?
Nel caso di un polinomio irriducibile in $Q$ di grado $3$ avente gruppo di galois $S_3$, quindi composto da tutte le possibili permutazioni tra le radici ${x_1,x_2,x_3}$, non dovrebbe risultare $E=Q(x_1,x_2,x_3)=Q(x_1,x_2)=Q(x_2,x_3)=Q(x_3,x_1)$
Mi sbaglio?
"francicko":No non ti sbagli.
Mi sbaglio?
Ok!
Nel caso di un polinomio quadratico di $4°$ come ad esempio $x^4-x^2 +1$ il gruppo di galois non può avere ordine che $4$ oppure $8$, mi sbaglio?
Nel caso di un polinomio quadratico di $4°$ come ad esempio $x^4-x^2 +1$ il gruppo di galois non può avere ordine che $4$ oppure $8$, mi sbaglio?
Non ti sbagli, ma non capisco bene che senso abbia chiedere conferme su frasi isolate senza particolare interesse per quello che conta davvero, cioè le dimostrazioni.
"francicko":
Ok!
Nel caso di un polinomio quadratico di $4°$ come ad esempio $x^4-x^2 +1$ il gruppo di galois non può avere ordine che $4$ oppure $8$, mi sbaglio?
Che poi oltretutto così formulato non è neanche vero, dipende dal campo di base.
Sia $Q$ campo dei razionali, $Q(alpha)$ un estensione di campo, sia $[Q(alpha):Q]=n$, se $n$ è primo il gruppo di automorfismi risulterà ovviamente ciclico, in quali altri casi potra risultare ciclico?
In molti altri casi, cosa intendi?
Mi interesserebbe un esempio in cui il gruppo di automorfismi è ciclico, essendo $n$ non primo.
"francicko":
Mi interesserebbe un esempio in cui il gruppo di automorfismi è ciclico, essendo $n$ non primo.
$x^4+4x^2+2$.
Avrebbe più senso chiedere di determinare l'insieme $X$ dei numeri naturali $n in NN$ che hanno la seguente proprietà: se $F$ è una qualsiasi estensione di $QQ$ di grado $n$, il gruppo degli automorfismi di $F$ è ciclico.
Per fare questo è utile ricordare che, se $M//K$ è estensione di Galois e $K le L le M$ è un campo intermedio (con $L//K$ non necessariamente Galois), allora il gruppo $Aut(L//K)$ (cioè il gruppo degli automorfismi di $L$ che fissano ogni elemento di $K$) è isomorfo al gruppo quoziente $N_G(H)//H$ dove $G$ è il gruppo di Galois di $M//K$, $H$ è il sottogruppo di $G$ corrispondente a $L$, cioè $H$ è il gruppo di Galois di $M//L$, e $N_G(H)$ indica il normalizzante di $H$ in $G$.
Mi verrebbe da dire che $X$ coincide con l'insieme dei numeri naturali $n$ tali che ogni gruppo di ordine $n$ è ciclico, che (come è noto) coincide con l'insieme degli $n$ tali che $n$ è coprimo con $phi(n)$ (dove $phi$ è la funzione di Eulero). Ma non ho scritto una dimostrazione, è solo una congettura.
Per fare questo è utile ricordare che, se $M//K$ è estensione di Galois e $K le L le M$ è un campo intermedio (con $L//K$ non necessariamente Galois), allora il gruppo $Aut(L//K)$ (cioè il gruppo degli automorfismi di $L$ che fissano ogni elemento di $K$) è isomorfo al gruppo quoziente $N_G(H)//H$ dove $G$ è il gruppo di Galois di $M//K$, $H$ è il sottogruppo di $G$ corrispondente a $L$, cioè $H$ è il gruppo di Galois di $M//L$, e $N_G(H)$ indica il normalizzante di $H$ in $G$.
Mi verrebbe da dire che $X$ coincide con l'insieme dei numeri naturali $n$ tali che ogni gruppo di ordine $n$ è ciclico, che (come è noto) coincide con l'insieme degli $n$ tali che $n$ è coprimo con $phi(n)$ (dove $phi$ è la funzione di Eulero). Ma non ho scritto una dimostrazione, è solo una congettura.
"Martino":
Mi verrebbe da dire che $X$ coincide con l'insieme dei numeri naturali $n$ tali che ogni gruppo di ordine $n$ è ciclico, che (come è noto) coincide con l'insieme degli $n$ tali che $n$ è coprimo con $phi(n)$ (dove $phi$ è la funzione di Eulero). Ma non ho scritto una dimostrazione, è solo una congettura.
Certamente se i gruppi di ordine $n$ sono tutti ciclici allora $n\in X$, infatti se prendi \(F/\mathbb Q\) di grado $n$ dove $n$ ha quella proprietà e prendi $G$ il gruppo degli automorfismi, allora $|G|$ divide $n$ perchè $[F:F^G]=|G|$. Ma chiaramente se ogni gruppo di ordine $n$ è ciclico allora ogni gruppo di ordine un divisore di $n$ è ciclico. Il viceversa sembra piuttosto complicato.
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