Assioma moltiplicativo equivalente all'assioma di scelta?
Buonasera a tutto il forum. Spero che stavolta qualcuno mi possa rispondere
Bisogna dimostrare che l'assioma moltiplicativo è equivalente all'assioma di scelta: a tal proposito proporrò un tentativo di dimostrazione dell'assioma moltiplicativo utilizzando l'assioma di scelta, e successivamente mostrerò che l'assioma moltiplicativo implica l'assioma di scelta. I miei dubbi riguardano la correttezza del mio ragionamento.
Innanzitutto diamo la definizione di prodotto cartesiano di una famiglia qualunque di insiemi: sia \(\displaystyle \{A_i\}_{i \in I} \) la nostra famiglia di insiemi: allora si definisce \(\displaystyle \prod_{i \in I} A_i := \{f:I \rightarrow \bigcup_{i \in I} A_i | (\forall i)(f(i) \in A_i)\} \). Cercherò di dimostrare l'
ASSIOMA MOTIPLICATIVO: \(\displaystyle \prod_{i \in I} A_i = \emptyset \Leftrightarrow (\exists i \in I)(A_i =\emptyset) \)
DIMOSTRAZIONE:
\(\displaystyle \Leftarrow \): dimostriamo equivalentemente che \(\displaystyle \prod_{i \in I} A_i \not = \emptyset \Rightarrow (\not \exists i \in I)(A_i =\emptyset) \): dall'ipotesi si ha che esiste una funzione \(\displaystyle f \) definita su \(\displaystyle I \) tale che \(\displaystyle (\forall i \in I)(f(i) \in A_i) \), e questo prova che ogni \(\displaystyle A_i \) è non vuoto;
\(\displaystyle \Rightarrow \): dimostriamo equivalentemente che \(\displaystyle (\not \exists i \in I)(A_i =\emptyset) \Rightarrow \prod_{i \in I} A_i \not = \emptyset \): a tal proposito consideriamo gli insiemi \(\displaystyle X_i=A_i \times \{i\}, i \in I \): dall'ipotesi si ha che gli \(\displaystyle X_i \) sono non vuoti, e dalla definizione che sono a due a due disgiunti (infatti \(\displaystyle (x,y) \in X_i \cap X_j \Rightarrow y=i \wedge y=j \Rightarrow i=j \) ); ne consegue che, per l'assioma di scelta, esiste una funzione di scelta \(\displaystyle \phi: \{X_i\}_{i \in I} \rightarrow \bigcup_{i \in I} X_i \) ; possiamo allora definire \(\displaystyle f:I \rightarrow \bigcup_{i \in I} A_i \) in questo modo: \(\displaystyle \forall i \in I, f(i) \) è la prima componente di \(\displaystyle \phi(X_i) \); questa funzione appartiene al prodotto cartesiano, che è pertanto non vuoto. C.V.D.
completiamo ora la dimostrazione: dimostriamo che
ASSIOMA MOLTIPLICATIVO \(\displaystyle \Rightarrow \) ASSIOMA DI SCELTA
DIMOSTRAZIONE: presa una qualunque famiglia di insiemi non vuoti e a due a due disgiunti, il loro prodotto cartesiano è non vuoto per cui tutte le funzioni appartenenti ad esso sono funzioni di scelta. C.V.D.
Il ragionamento è corretto? Mi chiedevo, assumendo l'assioma di scelta, si può affermare l'esistenza di una funzione di scelta per una qualsiasi famiglia di insiemi non vuoti (quindi non necessariamente a due a due disgiunti) ?
Bisogna dimostrare che l'assioma moltiplicativo è equivalente all'assioma di scelta: a tal proposito proporrò un tentativo di dimostrazione dell'assioma moltiplicativo utilizzando l'assioma di scelta, e successivamente mostrerò che l'assioma moltiplicativo implica l'assioma di scelta. I miei dubbi riguardano la correttezza del mio ragionamento.
Innanzitutto diamo la definizione di prodotto cartesiano di una famiglia qualunque di insiemi: sia \(\displaystyle \{A_i\}_{i \in I} \) la nostra famiglia di insiemi: allora si definisce \(\displaystyle \prod_{i \in I} A_i := \{f:I \rightarrow \bigcup_{i \in I} A_i | (\forall i)(f(i) \in A_i)\} \). Cercherò di dimostrare l'
ASSIOMA MOTIPLICATIVO: \(\displaystyle \prod_{i \in I} A_i = \emptyset \Leftrightarrow (\exists i \in I)(A_i =\emptyset) \)
DIMOSTRAZIONE:
\(\displaystyle \Leftarrow \): dimostriamo equivalentemente che \(\displaystyle \prod_{i \in I} A_i \not = \emptyset \Rightarrow (\not \exists i \in I)(A_i =\emptyset) \): dall'ipotesi si ha che esiste una funzione \(\displaystyle f \) definita su \(\displaystyle I \) tale che \(\displaystyle (\forall i \in I)(f(i) \in A_i) \), e questo prova che ogni \(\displaystyle A_i \) è non vuoto;
\(\displaystyle \Rightarrow \): dimostriamo equivalentemente che \(\displaystyle (\not \exists i \in I)(A_i =\emptyset) \Rightarrow \prod_{i \in I} A_i \not = \emptyset \): a tal proposito consideriamo gli insiemi \(\displaystyle X_i=A_i \times \{i\}, i \in I \): dall'ipotesi si ha che gli \(\displaystyle X_i \) sono non vuoti, e dalla definizione che sono a due a due disgiunti (infatti \(\displaystyle (x,y) \in X_i \cap X_j \Rightarrow y=i \wedge y=j \Rightarrow i=j \) ); ne consegue che, per l'assioma di scelta, esiste una funzione di scelta \(\displaystyle \phi: \{X_i\}_{i \in I} \rightarrow \bigcup_{i \in I} X_i \) ; possiamo allora definire \(\displaystyle f:I \rightarrow \bigcup_{i \in I} A_i \) in questo modo: \(\displaystyle \forall i \in I, f(i) \) è la prima componente di \(\displaystyle \phi(X_i) \); questa funzione appartiene al prodotto cartesiano, che è pertanto non vuoto. C.V.D.
completiamo ora la dimostrazione: dimostriamo che
ASSIOMA MOLTIPLICATIVO \(\displaystyle \Rightarrow \) ASSIOMA DI SCELTA
DIMOSTRAZIONE: presa una qualunque famiglia di insiemi non vuoti e a due a due disgiunti, il loro prodotto cartesiano è non vuoto per cui tutte le funzioni appartenenti ad esso sono funzioni di scelta. C.V.D.
Il ragionamento è corretto? Mi chiedevo, assumendo l'assioma di scelta, si può affermare l'esistenza di una funzione di scelta per una qualsiasi famiglia di insiemi non vuoti (quindi non necessariamente a due a due disgiunti) ?
Risposte
"bestiedda2":
Il ragionamento è corretto?
E' corretto, don't worry!
"bestiedda2":
Mi chiedevo, assumendo l'assioma di scelta, si può affermare l'esistenza di una funzione di scelta per una qualsiasi famiglia di insiemi non vuoti (quindi non necessariamente a due a due disgiunti) ?
La risposta è sì. Ma ti sei già rispost* da sol* nella dimostrazione precedente! XD
Se [tex]\{X_i\}_{i \in I}[/tex] è una famiglia di sottoinsiemi di un dato [tex]X[/tex], non necessariamente a due a due disgiunti, considera semplicemente gli insiemi [tex]\{X_i \times \{i\}\}_{i \in I} \subset X \times I[/tex]. Questi saranno a due a due disgiunti, quindi puoi applicare l'assioma della scelta. E chiaramente, proiettando sui fattori [tex]X_i[/tex], ottieni la funzione di scelta che cercavi!
....sono un pollo 
grazie
grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo