Assioma della scelta su una collezione di insiemi numerabili
Se abbiamo una collezione non numerabile di insiemi, chiamiamola $A$, ma ogni insieme di $A$ è numerabile, l'assioma della scelta non serve?
Ad esempio una collezione non numerabile di intervalli in $\mathbb{R}$ in cui prendiamo solo i razionali?
L'assioma non servirebbe, nel caso dei razionali, perché (dato che ci sonobiezioni una biezioni tra razionali e naturali) esistono delle numerazioni concrete, esplicite, degli algoritmi veri e propri, che consentono di dire esplicitamente qual è il primo razionale di ogni intervallo e quindi non c'è scelta arbitraria? Abbiamo concretamente la funzione di scelta, non la dobbiamo supporre per assioma.
È come quando Russel dice: 'Se abbiamo infinite paia di scarpe possiamo dire 'scelgo la scarpa destra, ma se abbiamo infinite paia di calzini no, dato che non possiamio distinguere destra e sinistra? E serve l'assioma della scelta, mentre con le scarpe no?
Ad esempio una collezione non numerabile di intervalli in $\mathbb{R}$ in cui prendiamo solo i razionali?
L'assioma non servirebbe, nel caso dei razionali, perché (dato che ci sonobiezioni una biezioni tra razionali e naturali) esistono delle numerazioni concrete, esplicite, degli algoritmi veri e propri, che consentono di dire esplicitamente qual è il primo razionale di ogni intervallo e quindi non c'è scelta arbitraria? Abbiamo concretamente la funzione di scelta, non la dobbiamo supporre per assioma.
È come quando Russel dice: 'Se abbiamo infinite paia di scarpe possiamo dire 'scelgo la scarpa destra, ma se abbiamo infinite paia di calzini no, dato che non possiamio distinguere destra e sinistra? E serve l'assioma della scelta, mentre con le scarpe no?
Risposte
Beh anche nel esempio dei calzini abbiamo infiniti insiemi distinti di 2 calzini. 2 calzini sono numerabili 
Ciascuna coppia di calzini puoi metterla in biiezione con \(\{1,2\} \) e poi dire che scegli \(1\). Il problema è che la scelta della biiezione è arbitraria. Credo che in modo analogo in ciascun insieme numerabile di \(A\), puoi fissare una biiezione con \( \mathbb{N}\) e poi dire che prendi l'elemento in biiezione con \(1\), ma la biiezione che fissi a priori su ciascun insieme è arbitraria, credo ma non sono sicuro che usi AC (l'assioma della scelta) per scegliere la biiezione simultaneamente in ciascun insieme di \(A\). In altre parole se i tuoi insiemi di \(A\) sono \(A_i \) con \(i \in I \) dove \(I\) è un insieme che indicizza \(A\), e per ogni \(i \in I \) hai una biiezione \( f_i : A_i \to \mathbb{N} \) allora l'assioma della scelta è usato per scegliere la successione \( (f_i)_{i \in I } \). Infatti per ogni insieme di \(A\) devi scegliere una biiezione tra un numero non numerabile di biiezioni possibili (l'insieme delle permutazioni di \( \mathbb{N} \) non è numerabile, e una volta che hai una biiezione puoi comporla con una permutazione arbitraria di \( \mathbb{N}\) e ottenere una biiezione differente).
Il punto tra calzini e scarpe è che è una metafora! Con le scarpe hai un modo uniforme di fare la tua scelta e costruire esplicitamente la tua funzione di scelta perché utilizzi delle caratteristiche degli oggetti delle scarpe che è intrinseco degli oggetti stessi. Ma è una metafora. La metafora dei calzini ti dice che se hai una collezione \( I\) di insiemi \(A_i\) di cardinalità \(2\) arbitraria allora è richiesta l'assioma della scelta per trovare una funzione di scelta \(f : I \to \bigcup_{i \in I} A_i \) tale che \(f(i) \in A_i \) per ogni \( i \in I \).
L'analogo con le scarpe è che se hai degli esempi specifici (probabilmente) se pensi a sufficienza spesso riesci a costruire una funzione di scelta utilizzando delle proprietà sui tuoi \(A_i\) espliciti in modo uniforme per ogni \(i \) che ti permettono di fare questa scelta esplicita e non hai bisogno del assioma della scelta. Ad esempio se hai infinite copie distinte di \( \mathbb{N} \) puoi scegliere \(1\) senza usare l'assioma della scelta, questo perché \( \mathbb{N} \) arriva con un buon ordine predefinito. Se hai un infinità di gruppi puoi scegliere l'elemento neutro in ciascuno di essi senza usare l'assioma della scelta. Questi esempi sono l'analogo delle scarpe.
Mentre se hai una collezione infinita di insiemi numerabili \(A_i \) senza nessuna informazione aggiuntiva dei tuoi \(A_i\) allora senza nessuna informazione aggiuntiva puoi trovare una funzione di scelta grazie al assioma della scelta.
Ciascuna coppia di calzini puoi metterla in biiezione con \(\{1,2\} \) e poi dire che scegli \(1\). Il problema è che la scelta della biiezione è arbitraria. Credo che in modo analogo in ciascun insieme numerabile di \(A\), puoi fissare una biiezione con \( \mathbb{N}\) e poi dire che prendi l'elemento in biiezione con \(1\), ma la biiezione che fissi a priori su ciascun insieme è arbitraria, credo ma non sono sicuro che usi AC (l'assioma della scelta) per scegliere la biiezione simultaneamente in ciascun insieme di \(A\). In altre parole se i tuoi insiemi di \(A\) sono \(A_i \) con \(i \in I \) dove \(I\) è un insieme che indicizza \(A\), e per ogni \(i \in I \) hai una biiezione \( f_i : A_i \to \mathbb{N} \) allora l'assioma della scelta è usato per scegliere la successione \( (f_i)_{i \in I } \). Infatti per ogni insieme di \(A\) devi scegliere una biiezione tra un numero non numerabile di biiezioni possibili (l'insieme delle permutazioni di \( \mathbb{N} \) non è numerabile, e una volta che hai una biiezione puoi comporla con una permutazione arbitraria di \( \mathbb{N}\) e ottenere una biiezione differente).
Il punto tra calzini e scarpe è che è una metafora! Con le scarpe hai un modo uniforme di fare la tua scelta e costruire esplicitamente la tua funzione di scelta perché utilizzi delle caratteristiche degli oggetti delle scarpe che è intrinseco degli oggetti stessi. Ma è una metafora. La metafora dei calzini ti dice che se hai una collezione \( I\) di insiemi \(A_i\) di cardinalità \(2\) arbitraria allora è richiesta l'assioma della scelta per trovare una funzione di scelta \(f : I \to \bigcup_{i \in I} A_i \) tale che \(f(i) \in A_i \) per ogni \( i \in I \).
L'analogo con le scarpe è che se hai degli esempi specifici (probabilmente) se pensi a sufficienza spesso riesci a costruire una funzione di scelta utilizzando delle proprietà sui tuoi \(A_i\) espliciti in modo uniforme per ogni \(i \) che ti permettono di fare questa scelta esplicita e non hai bisogno del assioma della scelta. Ad esempio se hai infinite copie distinte di \( \mathbb{N} \) puoi scegliere \(1\) senza usare l'assioma della scelta, questo perché \( \mathbb{N} \) arriva con un buon ordine predefinito. Se hai un infinità di gruppi puoi scegliere l'elemento neutro in ciascuno di essi senza usare l'assioma della scelta. Questi esempi sono l'analogo delle scarpe.
Mentre se hai una collezione infinita di insiemi numerabili \(A_i \) senza nessuna informazione aggiuntiva dei tuoi \(A_i\) allora senza nessuna informazione aggiuntiva puoi trovare una funzione di scelta grazie al assioma della scelta.
Grazie 3m0o.
In effetti stavo dando uno sguardo a un libro di teoria degli insiemi e da là mi sembra che per generici insiemi numerabili c'è bisogno dell'assioma della scelta, nel senso che dici tu.
Mentre può non essere necessario per insiemi numerabili più specifici, di cui conosci delle proprietà, in base alle quali puoi definire esplicitamente una regola che determina un unico membro di ciascun insieme.
Il libro parla in questo caso di effectivness e effectively defined choice set, e fa l'esempio dei naturali come esempio base.
Ho trovato questo concetto di Effectivness vs Axiom of choice molto utile.
Molto utile il tuo esempio dei gruppi e e delle scelta ell'elemento neutro.
Il mio problema riguardava specificamente la scelta di un numero razionale da un insieme non numerabile di intervalli di $\mathbb{R}$, perché è un problema che sorge in una dimostrazione piuttosto nota di microeconomia (teoria delle preferenze).
Possiamo dire che esiste un algoritmo, una regola, un modo costruttivo, una funzione di scelta concreta data a priori, che ci permette di individuare il primo razionale in ogni intervallo? E quindi non avere bisogno dell'assioma della scelta?
Cioè, esistono algoritmi numerativi adeguati? Mi è sembrato di sì, ma non so.
Perché mi è sembrato di capire che la numerazione che viene dal metodo diagonale di Cantor non è considerata adeguata. L'ho letto su Wikipedia, :
è vero che il numero diagonale viene costruito, ma l'assunto iniziale di avere una lista di tutti i numeri non costruisce effettivamente tale lista o, se si preferisce, non dà un algoritmo per calcolare in tempo finito qual è la posizione di un numero dato. Essa è quindi rifiutata dalla scuola costruttivista.
In effetti stavo dando uno sguardo a un libro di teoria degli insiemi e da là mi sembra che per generici insiemi numerabili c'è bisogno dell'assioma della scelta, nel senso che dici tu.
Mentre può non essere necessario per insiemi numerabili più specifici, di cui conosci delle proprietà, in base alle quali puoi definire esplicitamente una regola che determina un unico membro di ciascun insieme.
Il libro parla in questo caso di effectivness e effectively defined choice set, e fa l'esempio dei naturali come esempio base.
Ho trovato questo concetto di Effectivness vs Axiom of choice molto utile.
Molto utile il tuo esempio dei gruppi e e delle scelta ell'elemento neutro.
Il mio problema riguardava specificamente la scelta di un numero razionale da un insieme non numerabile di intervalli di $\mathbb{R}$, perché è un problema che sorge in una dimostrazione piuttosto nota di microeconomia (teoria delle preferenze).
Possiamo dire che esiste un algoritmo, una regola, un modo costruttivo, una funzione di scelta concreta data a priori, che ci permette di individuare il primo razionale in ogni intervallo? E quindi non avere bisogno dell'assioma della scelta?
Cioè, esistono algoritmi numerativi adeguati? Mi è sembrato di sì, ma non so.
Perché mi è sembrato di capire che la numerazione che viene dal metodo diagonale di Cantor non è considerata adeguata. L'ho letto su Wikipedia, :
è vero che il numero diagonale viene costruito, ma l'assunto iniziale di avere una lista di tutti i numeri non costruisce effettivamente tale lista o, se si preferisce, non dà un algoritmo per calcolare in tempo finito qual è la posizione di un numero dato. Essa è quindi rifiutata dalla scuola costruttivista.
E comunque, anche se un algoritmo andasse bene per numerare concretamente i razionali, sarebbe applicabile concretamente per trovare il più piccolo razionale in un quasiasi intervallo della retta reale?
Come? Ammettiamo che ho una formula, che faccio? Ci schiaffo arbitrariamente un razionale dell'intervallo dentro e vedo che naturale esce? E poi? Ci devo schiaffare dentro tutti i razioanli dell'intervallo per confrontarli, così non me la caverò in tempo finito?
Oppure, dovrei numerare con i naturali ex novo i razionali del'intervallo? E come faccio?
Come? Ammettiamo che ho una formula, che faccio? Ci schiaffo arbitrariamente un razionale dell'intervallo dentro e vedo che naturale esce? E poi? Ci devo schiaffare dentro tutti i razioanli dell'intervallo per confrontarli, così non me la caverò in tempo finito?
Oppure, dovrei numerare con i naturali ex novo i razionali del'intervallo? E come faccio?
"gabriella127":
E comunque, anche se un algoritmo andasse bene per numerare concretamente i razionali, sarebbe applicabile concretamente per trovare il più piccolo razionale in un quasiasi intervallo della retta reale?
Come? Ammettiamo che ho una formula, che faccio? Ci schiaffo arbitrariamente un razionale dell'intervallo dentro e vedo che naturale esce? E poi? Ci devo schiaffare dentro tutti i razioanli dell'intervallo per confrontarli, così non me la caverò in tempo finito?
Oppure, dovrei numerare con i naturali ex novo i razionali del'intervallo? E come faccio?
Non esiste il più piccolo razionale in un intervallo reale (a meno che l'intervallo non sia chiuso e l'estremo non sia un razionale) ma siccome, da quanto ho capito, hai un infinità non numerabile di intervalli reali allora in un infinità non numerabili di intervalli reali non avrai il più piccolo razionale nel senso standard di ordinamento. Ovviamente il teorema del buon ordinamento ci garantisce che ogni insieme può essere ben ordinabile (well-ordered). Un insieme \(X\) è ben ordinabile se esiste un ordine stretto totale tale che ogni sotto insieme non vuoto di \(X\) possiede un elemento minimale (più piccolo). Ora il teorema del buon ordinamento ti permette di ben ordinare i razionali nei tuoi intervalli però il teorema è equivalente al assioma della scelta e inoltre non sono conosciuti buoni ordini di \( \mathbb{R} \) e quindi credo neppure di \( I \cap \mathbb{Q} \) dove \(I\) è un intervallo di \( \mathbb{R} \). Nota comunque che sebbene questo teorema ci garantisce un buon ordinamento, esso non è da intendere in senso standard.
Edit: Se per più piccolo intendi rispetto ad una biiezione \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{Q} \) data. Cioè dato un intervallo \( I \) vuoi cercare \(r \in I \) tale che \( f(n) = r \) e per ogni \(k < n \) abbiamo che \( f(k) \in \mathbb{R} \setminus I \). Ti direi che il seguente algoritmo (migliorabile di sicuro) funziona:
Input: \(I\) e una biezione \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{Q} \)
Step 1: Scegli \( r \in I \cap \mathbb{Q} \) in modo casuale e calcoli \(n=f^{-1}(r) \in \mathbb{N} \).
Step 2: Sia \(k=1\).
Step 3: Calcoli \( f(k) \).
Step 4: Se \( f(k) \in I \) allora \( n=k \) e vai allo Step 5 altrimenti se \(k+1
Problema del algoritmo. \(f \) o \(f^{-1}\) potrebbe essere difficile da calcolare o non computabile del tutto. Inoltre \(f^{-1}(r) \) potrebbe essere enorme. Forse se allo step 1 generi casualmente \( r_1, \ldots, r_N \) razionali in \(I\) con \(N\) grande e scegli \(r_j \) tale che \( n=f^{-1}(r_j) \) è minimale puoi risparmiare tempo.
"3m0o":
Edit: Se per più piccolo intendi rispetto ad una biiezione \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{Q} \) data. Cioè dato un intervallo \( I \) vuoi cercare \(r \in I \) tale che \( f(n) = r \) e per ogni \(k < n \) abbiamo che \( f(k) \in \mathbb{R} \setminus I \). Ti direi che il seguente algoritmo (migliorabile di sicuro) funziona:
Input: \(I\) e una biezione \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{Q} \)
Step 1: Scegli \( r \in I \cap \mathbb{Q} \) in modo casuale e calcoli \(n=f^{-1}(r) \in \mathbb{N} \).
Step 2: Sia \(k=1\).
Step 3: Calcoli \( f(k) \).
Step 4: Se \( f(k) \in I \) allora \( k=n \) e vai allo Step 5 altrimenti se \(k+1Step 5: Restituisci \(n\).
Problema del algoritmo. \(f \) o \(f^{-1}\) potrebbe essere difficile da calcolare o non computabile del tutto. Inoltre \(f^{-1}(r) \) potrebbe essere enorme. Forse se allo step 1 generi casualmente \( r_1, \ldots, r_N \) razionali con \(N\) grande e scegli \(r_j \) tale che \( f^{-1}(r_j) \) è minimale puoi risparmiare tempo.
Si intendo questo, più piccolo rispetto a una biezione.
Cioè, come trovare concretamente il primo razionale, quello a cui corrisponde il naturale più piccolo, nell'intervallo.
Mi leggo con calma il tuo algoritmo.
Ma intanto: L'esistenza (funzionante) di algoritmi del genere è così scontata da dire che si può stabilire con non chalance qual è il 'primo' razionale in un intervallo e evitare l'assioma della scelta?
A me sembra azzardato, ma non è che io ne sappia molto.
Mi sembra cioè, con l'algoritmo, che mi stai dicendo che prendi un razionale a caso in $I$, e vedi che 'etichetta' ha in $\mathbb{N}$ (la chiami $n$) e poi provi a uno a uno tutti i razionali, in base alla biezione con i naturali, $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$ etc. etc. fino a $n$, che potrebbe essere enorme, per verificare che non ce ne sia uno con un'etichetta più piccola.
(E, tra l'altro, questo lo devo fare per un'infinità non numerabile di intervalli... è una comodità
)
(E, tra l'altro, questo lo devo fare per un'infinità non numerabile di intervalli... è una comodità
)
"gabriella127":
Ma intanto: L'esistenza (funzionante) di algoritmi del genere è così scontata da dire che si può stabilire con non chalance qual è il 'primo' razionale in un intervallo e evitare l'assioma della scelta?
A me sembra azzardato, ma non è che io ne sappia molto.
Se esiste una biiezione \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{Q} \) tale che esiste un algoritmo che calcola facilmente e velocemente \(f(n) \) per ogni \(n \in \mathbb{N} \) e \(f^{-1}(r) \) per ogni \(r \in \mathbb{Q} \) allora sì. Forse puoi usare la funzione suggerita qui https://math.stackexchange.com/questions/424654/list-of-explicit-enumerations-of-rational-numbers
"gabriella127":
Mi sembra cioè, con l'algoritmo, che mi stai dicendo che prendi un razionale a caso in $I$, e vedi che 'etichetta' ha in $\mathbb{N}$ (la chiami $n$) e poi provi a uno a uno tutti i razionali, in base alla biezione con i naturali, $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$ etc. etc. fino a $n$, che potrebbe essere enorme, per verificare che non ce ne sia uno con un'etichetta più piccola.
(E, tra l'altro, questo lo devo fare per un'infinità non numerabile di intervalli... è una comodità
Esatto!
ps: ovviamente non esiste un algoritmo che ti controlla tutti gli intervalli se ne hai un numero non numerabile. Al massimo puoi controllare un numero finito ma arbitrariamente grande di intervalli se vuoi veramente farlo con un computer
Grazie mille, ma non devo calcolare niente, non è un fatto pratico.
Era solo una domanda teorica sull'uso o meno dell'assioma della scelta in questo teorema della teoria delle preferenze che mi è capitato di riprendere.
Comunque per usare il tuo algoritmo bisogna conoscere sia $f$ che $f^{-1}$, il che non è immagino sempre ovvio.
In questo link, che mi hai indicato, c'è una biezione di cui si fa vedere che si conosce pure $f^{-1}$ (la seconda risposta):
https://math.stackexchange.com/question ... d-naturals
Era solo una domanda teorica sull'uso o meno dell'assioma della scelta in questo teorema della teoria delle preferenze che mi è capitato di riprendere.
Comunque per usare il tuo algoritmo bisogna conoscere sia $f$ che $f^{-1}$, il che non è immagino sempre ovvio.
In questo link, che mi hai indicato, c'è una biezione di cui si fa vedere che si conosce pure $f^{-1}$ (la seconda risposta):
https://math.stackexchange.com/question ... d-naturals
Cioè, come trovare concretamente il primo razionale, quello a cui corrisponde il naturale più piccolo, nell'intervallo.Data una biiezione \(\phi :\mathbb Q \to \mathbb N\), prendi \(\phi^{-1}(0)\) [e \(\mathbb Q\) eredita l'ordine per trasporto di struttura, ma è un ordine stupido, perché non può essere una congruenza rispetto alla struttura di anello...]: non capisco perché parlarne per una pagina intera.
Ti è chiaro, spero, che l'esistenza di una biiezione \(\mathbb Q \to \mathbb N\) non implica che ne esista una canonica (e quindi rispetto a quale biiezione cerchi il razionale più piccolo? Perché quella? Perché non un'altra?).
Credo che non ci siamo proprio capiti, sto chiedendo tutt'altro.
Sia data una biezione da $\phi: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{N}$
Ho un intervallo qualsiasi $I\sub \mathbb{R}$ e voglio sapere come trovare il 'primo' razionale dell'intervallo
in base alla biezione.
Non il primo in assoluto, e grazie al... ops! che è $\phi^{-1}(0)$, ma il primo nell'intervallo.
3m0o mi ha dato una risposta, con un algoritmo, nel caso che conosciamo esplicitamente una biezione e la sua inversa.
Quale sia la biezione non ha nessuna importanza, non c'entra niente, lo so che ce ne possono essere un milardo, me ne basta una qualsiasi.
il punto è l'uso dell'assioma della scelta quando devo scegliere un razionale in un infinità non numerabile di intervalli di $\mathbb{R}$ (come capita in un teorema che conosco). Ripeto:
esiste una biezione concreta, costruttiva, una formula, che mi dà una funzione di scelta effettiva, del 'primo' razionale in un intervallo $\mathbb{R}$ , così non mi serve l'assioma delle scelta, ma prendo costruttivamente questo 'primo' razionale?
Sia data una biezione da $\phi: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{N}$
Ho un intervallo qualsiasi $I\sub \mathbb{R}$ e voglio sapere come trovare il 'primo' razionale dell'intervallo
in base alla biezione.
Non il primo in assoluto, e grazie al... ops!
che è $\phi^{-1}(0)$, ma il primo nell'intervallo.3m0o mi ha dato una risposta, con un algoritmo, nel caso che conosciamo esplicitamente una biezione e la sua inversa.
Quale sia la biezione non ha nessuna importanza, non c'entra niente, lo so che ce ne possono essere un milardo, me ne basta una qualsiasi.
il punto è l'uso dell'assioma della scelta quando devo scegliere un razionale in un infinità non numerabile di intervalli di $\mathbb{R}$ (come capita in un teorema che conosco). Ripeto:
esiste una biezione concreta, costruttiva, una formula, che mi dà una funzione di scelta effettiva, del 'primo' razionale in un intervallo $\mathbb{R}$ , così non mi serve l'assioma delle scelta, ma prendo costruttivamente questo 'primo' razionale?
"3m0o":
Il problema è che la scelta della biiezione è arbitraria. Credo che in modo analogo in ciascun insieme numerabile di \(A\), puoi fissare una biiezione con \( \mathbb{N}\) e poi dire che prendi l'elemento in biiezione con \(1\), ma la biiezione che fissi a priori su ciascun insieme è arbitraria, credo ma non sono sicuro che usi AC (l'assioma della scelta) per scegliere la biiezione simultaneamente in ciascun insieme di \(A\). In altre parole se i tuoi insiemi di \(A\) sono \(A_i \) con \(i \in I \) dove \(I\) è un insieme che indicizza \(A\), e per ogni \(i \in I \) hai una biiezione \( f_i : A_i \to \mathbb{N} \) allora l'assioma della scelta è usato per scegliere la successione \( (f_i)_{i \in I } \). Infatti per ogni insieme di \(A\) devi scegliere una biiezione tra un numero non numerabile di biiezioni possibili (l'insieme delle permutazioni di \( \mathbb{N} \) non è numerabile, e una volta che hai una biiezione puoi comporla con una permutazione arbitraria di \( \mathbb{N}\) e ottenere una biiezione differente).
Credo comunque che la risposta generale sia questa tua.
Con generici insiemi numerabili bisogna scegliere per ogni insieme numerabile una biezione, e l'assioma della scelta serve.
L'esempio è il teorema che l'unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile, dove sembra che la dimostrazione sia costruttiva e non richiede l'assioma della scelta.
Invece lo richiede, perché per ogni insieme numerabile devi scegliere una biezione.
Però nel caso di insiemi di razionali, abbiamo delle formule esplicite costruttive per le biezioni, e quindi facciamo una sola scelta in una sola botta all'inizio scegliendo la formula.
E quindi evitiamo l'assioma della scelta.
Almeno questo è quello che mi sembra provvisoriamente di aver capito.
p.s resta da stabilire se un algoritmo che ci può mettere due-tre secoli è 'costruttivo'
ma qui andiamo sul filosofico.
Mi intrometto perchè questi argomenti mi piacciono
È molto facile, li scorri finchè non ne trovi uno dentro l'intervallo. Non so se si capisce, intendo ti metti ad elencarli in ordine finchè non ne trovi uno appartenente all'intervallo. In formule, se $\phi:NN->QQ$ è una biezione, dato $I$ intervallo, il primo è $\min_(InnQQ)\phi^(-1)$.
E si, ci vuole l'assioma della scelta (o per lo meno una sua versione più debole) se devi scegliere tra infiniti insiemi, perchè anche nel caso di esempi come quelli che avete fatto, è solo con quello che si può concludere che l'insieme delle biezioni sia appunto un insieme.
Comunque non c'entra che sia $NN$ e non un insieme generico a garantire che ogni sua potenza sia non vuota, infatti qualsiasi potenza di un insieme non vuoto è non vuota (ricordatevi che l'assioma della scleta è equivalente a dire che ogni prodotto di insiemi non vuoto è non vuoto), perchè tutte le funzioni costanti le si possono considerare senza problemi.
"gabriella127":
E comunque, anche se un algoritmo andasse bene per numerare concretamente i razionali, sarebbe applicabile concretamente per trovare il più piccolo razionale in un quasiasi intervallo della retta reale?
Come? Ammettiamo che ho una formula, che faccio? Ci schiaffo arbitrariamente un razionale dell'intervallo dentro e vedo che naturale esce? E poi? Ci devo schiaffare dentro tutti i razioanli dell'intervallo per confrontarli, così non me la caverò in tempo finito?
Oppure, dovrei numerare con i naturali ex novo i razionali del'intervallo? E come faccio?
È molto facile, li scorri finchè non ne trovi uno dentro l'intervallo. Non so se si capisce, intendo ti metti ad elencarli in ordine finchè non ne trovi uno appartenente all'intervallo. In formule, se $\phi:NN->QQ$ è una biezione, dato $I$ intervallo, il primo è $\min_(InnQQ)\phi^(-1)$.
E si, ci vuole l'assioma della scelta (o per lo meno una sua versione più debole) se devi scegliere tra infiniti insiemi, perchè anche nel caso di esempi come quelli che avete fatto, è solo con quello che si può concludere che l'insieme delle biezioni sia appunto un insieme.
Comunque non c'entra che sia $NN$ e non un insieme generico a garantire che ogni sua potenza sia non vuota, infatti qualsiasi potenza di un insieme non vuoto è non vuota (ricordatevi che l'assioma della scleta è equivalente a dire che ogni prodotto di insiemi non vuoto è non vuoto), perchè tutte le funzioni costanti le si possono considerare senza problemi.
Grazie otta, mi fai un regalo a intrometterti.
Anche a me sono argomenti che mi piacciono.
Sì infatti, poi l'ho pensato, li provi a mano a uno uno, tu e tuoi pronipoti, se il primo razionale nell'intervallo è per un $n$ enorme. Volevo trovare una scorciatoia.
Aiuto, non ho capito! Mi interessa.
Cioè tu stai dicendo che anche se devo scegliere in insiemi di razionali, ad esempio un razionale in ognuno di una infinità non-numerabile di intervalli di $\mathbb{R}$ (che è l'esempio che in primis mi interessava perché sta in un noto teorema di teoria delle preferenze), ci vuole l'assioma della scelta?
Parlo di razionali eh? non di generici insiemi numerabili, per cui mi sembra di capire che ci vuole per forza l'assioma.
Perché una tesi, discussa con 3m0o, è che essendoci biezioni concrete, enumerazioni esplicite, formule, tra naturali e razionali, si può scegliere una di quelle, apri la pagina di MathStackExchange dove ci stanno e ne becchi una; una sola scelta all'inizio invece di infinite scelte arbitrarie, e quindi evito l'assioma con questo procedimento costruttivo che individua il primo razionale di ogni intervallo (secondo la biezione esplicita scelta).
Questo per riassumere il problema, per capirci.
Tu dici che anche scegliendo una specifica biezione ci vuole in ogni caso l'assioma della scelta?
E perché devi stabilire che l'insieme delle biezioni è un insieme, invece di prenderne una e basta?
Anche a me sono argomenti che mi piacciono.
Sì infatti, poi l'ho pensato, li provi a mano a uno uno, tu e tuoi pronipoti, se il primo razionale nell'intervallo è per un $n$ enorme. Volevo trovare una scorciatoia.
"otta96":
E si, ci vuole l'assioma della scelta (o per lo meno una sua versione più debole) se devi scegliere tra infiniti insiemi, perchè anche nel caso di esempi come quelli che avete fatto, è solo con quello che si può concludere che l'insieme delle biezioni sia appunto un insieme.
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Aiuto, non ho capito! Mi interessa.
Cioè tu stai dicendo che anche se devo scegliere in insiemi di razionali, ad esempio un razionale in ognuno di una infinità non-numerabile di intervalli di $\mathbb{R}$ (che è l'esempio che in primis mi interessava perché sta in un noto teorema di teoria delle preferenze), ci vuole l'assioma della scelta?
Parlo di razionali eh? non di generici insiemi numerabili, per cui mi sembra di capire che ci vuole per forza l'assioma.
Perché una tesi, discussa con 3m0o, è che essendoci biezioni concrete, enumerazioni esplicite, formule, tra naturali e razionali, si può scegliere una di quelle, apri la pagina di MathStackExchange dove ci stanno e ne becchi una; una sola scelta all'inizio invece di infinite scelte arbitrarie, e quindi evito l'assioma con questo procedimento costruttivo che individua il primo razionale di ogni intervallo (secondo la biezione esplicita scelta).
Questo per riassumere il problema, per capirci.
Tu dici che anche scegliendo una specifica biezione ci vuole in ogni caso l'assioma della scelta?
E perché devi stabilire che l'insieme delle biezioni è un insieme, invece di prenderne una e basta?
Ho ancora molta difficoltà a capire la domanda e il perché tu non enunci il tuo problema in modo chiaro, formalizzato invece che in pseudocodice. Questo è quello che mi sembra di capire quando leggo la tua domanda:
Sia \(\{J_\alpha\mid \alpha\in\mathfrak c\}\) una collezione [?] di \(\mathfrak c=\text{card}(\mathbb R)\) intervalli [tutti non banali? Tutti distinti?], consideriamo la famiglia \(J'_\alpha\) dove \(J'_\alpha := J_\alpha\cap\mathbb Q\); discutere la natura della funzione \(\alpha\mapsto \inf J'_\alpha\), per esempio il fatto che sia una funzione [computabile? In quale senso di "computabile"? Monotòna? Scappellante a destra?]?.
Chi ti legge non dovrebbe avere l'onere di decifrare cosa vuoi, e va benissimo non sapere tu stessa cosa intendi in alcuni punti nevralgici della domanda, ma vedi quante moving parts contiene la tua richiesta (e in quanti modi diversi è possibile rispondere a seconda di come esse vengono risolte)? Alcune osservazioni a costo zero: fatta così la domanda non ha veramente senso, perché l'inf in questione potrebbe esistere solo in $RR$; non puoi chiedere troppo alla disgiunzione mutua dei $J_\alpha$, teorema di Baire; non può essere che \(\alpha\mapsto \inf J'_\alpha\) sia monotona per il punto precedente... e altre osservazioni del genere.
Ora, quando questo genere di cose sia risolto compiutamente e definitivamente possiamo parlare dell'uso e abuso dell'assioma della scelta (che io penso ti serva in una qualche forma debole, per il semplice motivo che countable choice è equivalente al fatto che dato un insieme infinito numerabile $X$ ogni suriezione $X\to D$ (con $D$ non vuoto, ovviamente) fuori di esso abbia un'inversa destra: stai letteralmente scegliendo un punto sopra ogni elemento di $D$, ragionando fibra-fibra).
La presenza di AC in una dimostrazione è quasi sempre una cosa sottile: se non partiamo da definizioni precise è pressoché impossibile decidere in generale se ne si ha bisogno.
Sia \(\{J_\alpha\mid \alpha\in\mathfrak c\}\) una collezione [?] di \(\mathfrak c=\text{card}(\mathbb R)\) intervalli [tutti non banali? Tutti distinti?], consideriamo la famiglia \(J'_\alpha\) dove \(J'_\alpha := J_\alpha\cap\mathbb Q\); discutere la natura della funzione \(\alpha\mapsto \inf J'_\alpha\), per esempio il fatto che sia una funzione [computabile? In quale senso di "computabile"? Monotòna? Scappellante a destra?]?.
Chi ti legge non dovrebbe avere l'onere di decifrare cosa vuoi, e va benissimo non sapere tu stessa cosa intendi in alcuni punti nevralgici della domanda, ma vedi quante moving parts contiene la tua richiesta (e in quanti modi diversi è possibile rispondere a seconda di come esse vengono risolte)? Alcune osservazioni a costo zero: fatta così la domanda non ha veramente senso, perché l'inf in questione potrebbe esistere solo in $RR$; non puoi chiedere troppo alla disgiunzione mutua dei $J_\alpha$, teorema di Baire; non può essere che \(\alpha\mapsto \inf J'_\alpha\) sia monotona per il punto precedente... e altre osservazioni del genere.
Ora, quando questo genere di cose sia risolto compiutamente e definitivamente possiamo parlare dell'uso e abuso dell'assioma della scelta (che io penso ti serva in una qualche forma debole, per il semplice motivo che countable choice è equivalente al fatto che dato un insieme infinito numerabile $X$ ogni suriezione $X\to D$ (con $D$ non vuoto, ovviamente) fuori di esso abbia un'inversa destra: stai letteralmente scegliendo un punto sopra ogni elemento di $D$, ragionando fibra-fibra).
La presenza di AC in una dimostrazione è quasi sempre una cosa sottile: se non partiamo da definizioni precise è pressoché impossibile decidere in generale se ne si ha bisogno.
@megas_archon, gli altri capiscono, tu non ti prendi la briga di leggere i post e capisci fischi per fiaschi.
È difficile la frase nel primo post 'collezione non numerabile di intervalli di $\mathbb{R}$ in ognuno dei quali dobbiamo prendere un razionale'?
Si deve formalizzare per capirla?
Dobbiamo scegliere un elemento da ognuno di una infinità non numerabile di insiemi del tipo ${(a,b) \cap \mathbb {Q}}_{a,b\in mathbb{R}}$.
Serve l'assioma della scelta?
È difficile la frase nel primo post 'collezione non numerabile di intervalli di $\mathbb{R}$ in ognuno dei quali dobbiamo prendere un razionale'?
Si deve formalizzare per capirla?
Dobbiamo scegliere un elemento da ognuno di una infinità non numerabile di insiemi del tipo ${(a,b) \cap \mathbb {Q}}_{a,b\in mathbb{R}}$.
Serve l'assioma della scelta?
Punto 2 della domanda (sempre nel primo post):
Il motivo per cui non servirebbe nel caso di insiemi di razionali [nota]per generici insiemi numerabili sì[/nota] l'Assioma è che esistono delle numerazioni concrete, esplicite, degli algoritmi veri e propri, che consentono di dire esplicitamente qual è il primo razionale di ogni intervallo e quindi non c'è scelta arbitraria.
(3m0o ha capito e mi ha risposto adeguatamente).
Il motivo per cui non servirebbe nel caso di insiemi di razionali [nota]per generici insiemi numerabili sì[/nota] l'Assioma è che esistono delle numerazioni concrete, esplicite, degli algoritmi veri e propri, che consentono di dire esplicitamente qual è il primo razionale di ogni intervallo e quindi non c'è scelta arbitraria.
(3m0o ha capito e mi ha risposto adeguatamente).
Si deve formalizzare per capirla?Sì, e ti ho spiegato cosa non è chiaro. Se gli altri ti leggono nella mente kudos a loro.
mi ha risposto adeguatamenteTi interessa di più che ti si dia una risposta educata, o una risposta giusta? Mi regolo di conseguenza.
Mi interessa che uno legga con un minimo di attenzione quello che gli altri scrivono cercando di capire il il discorso nel thread invece di scrivere di getto la prima cosa che viene in mente 'a impressione'.
Da quello che dici vedo che non hai afferrato qual è la questione.
3m0o mi ha risposto a tono, quello che lui ha detto è quello che poi ho trovato consultando qualche libro, dove si parla della necessità o meno dell'Assioma della scelta se si fanno scelte in una collezione infinitab di insiemi numerabil.
Da quello che dici vedo che non hai afferrato qual è la questione.
3m0o mi ha risposto a tono, quello che lui ha detto è quello che poi ho trovato consultando qualche libro, dove si parla della necessità o meno dell'Assioma della scelta se si fanno scelte in una collezione infinitab di insiemi numerabil.
"gabriella127":L'infinità dell'insieme di indici non è numerabile. Ciascuno degli elementi della famiglia lo è. E' diverso. Sembri confondere le due cose. Quindi, cos'è che vuoi?
Dobbiamo scegliere un elemento da ognuno di una infinità numerabile di insiemi del tipo ${(a,b) \cap \mathbb {Q}}_{a,b\in mathbb{R}}$.
Serve l'assioma della scelta?
Poi, se la funzione biiettiva \(\varphi : \mathbb N \to \mathbb Q\) ti è stata data, e ti sono state date anche le biiezioni \(\varphi^{a,b} : \mathbb N \to \mathbb Q\cap (a,b)\), tu vuoi sapere se serve l'assioma della scelta per calcolare \(\varphi^{a,b}(1)\) al variare di \(a,b\in\mathbb R\)? Anche questo non è chiaro. Soprattutto perché non hai spiegato cosa significa "calcolare": quanto "calcolabile" vuoi che sia questo numero?
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