Assioma della scelta su una collezione di insiemi numerabili
Se abbiamo una collezione non numerabile di insiemi, chiamiamola $A$, ma ogni insieme di $A$ è numerabile, l'assioma della scelta non serve?
Ad esempio una collezione non numerabile di intervalli in $\mathbb{R}$ in cui prendiamo solo i razionali?
L'assioma non servirebbe, nel caso dei razionali, perché (dato che ci sonobiezioni una biezioni tra razionali e naturali) esistono delle numerazioni concrete, esplicite, degli algoritmi veri e propri, che consentono di dire esplicitamente qual è il primo razionale di ogni intervallo e quindi non c'è scelta arbitraria? Abbiamo concretamente la funzione di scelta, non la dobbiamo supporre per assioma.
È come quando Russel dice: 'Se abbiamo infinite paia di scarpe possiamo dire 'scelgo la scarpa destra, ma se abbiamo infinite paia di calzini no, dato che non possiamio distinguere destra e sinistra? E serve l'assioma della scelta, mentre con le scarpe no?
Ad esempio una collezione non numerabile di intervalli in $\mathbb{R}$ in cui prendiamo solo i razionali?
L'assioma non servirebbe, nel caso dei razionali, perché (dato che ci sonobiezioni una biezioni tra razionali e naturali) esistono delle numerazioni concrete, esplicite, degli algoritmi veri e propri, che consentono di dire esplicitamente qual è il primo razionale di ogni intervallo e quindi non c'è scelta arbitraria? Abbiamo concretamente la funzione di scelta, non la dobbiamo supporre per assioma.
È come quando Russel dice: 'Se abbiamo infinite paia di scarpe possiamo dire 'scelgo la scarpa destra, ma se abbiamo infinite paia di calzini no, dato che non possiamio distinguere destra e sinistra? E serve l'assioma della scelta, mentre con le scarpe no?
Risposte
Non sto confondendo niente, ho fatto un errore di battitura, scusami, ogni singolo insieme è numerabile, è un insieme di razionali, la collezione non lo è, è non numerabile.
il punto è un'altro:
un'obiezione alla necessità dell'uso dell'Assioma è che esistono biezioni concrete, numerazioni concrete, formule, tra $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Q}$, quindi si può scegliere una di queste, prendendo tramite questa il primo razionale in ogni intervallo, e evitare le infinite scelte.
Voglio sapere se questa obiezione è valida.
il punto è un'altro:
un'obiezione alla necessità dell'uso dell'Assioma è che esistono biezioni concrete, numerazioni concrete, formule, tra $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Q}$, quindi si può scegliere una di queste, prendendo tramite questa il primo razionale in ogni intervallo, e evitare le infinite scelte.
Voglio sapere se questa obiezione è valida.
E io continuo a dirti che vorrei facessi la domanda in modo preciso, perché anche se l'esistenza di una biiezione \(\mathbb N \to \mathbb Q\) ti è stata data, chi ti ha dato la biiezione \(\mathbb Q\cong\mathbb Q\cap (a,b)\) (e come ti ho già chiesto: supponi che tutti i tuoi intervalli siano non banali? Come supponi che si intersechino?)?
E' peregrino interrogarsi (o ricevere risposte che ti piacciono) riguardo a una domanda infondata perché non ha senso ciò che chiedi. Puoi fare tutte le domande che vuoi e ricevere risposte bellissime, ma ex falso quodlibet eccetera. Quello che chiedi ha senso a parole, ma come ti ho detto e ripetuto è fatto da diverse parti mobili che non stai chiarendo. Perciò, la domanda è: prima di fare la tua domanda, quello che chiedi ha senso?
E' peregrino interrogarsi (o ricevere risposte che ti piacciono) riguardo a una domanda infondata perché non ha senso ciò che chiedi. Puoi fare tutte le domande che vuoi e ricevere risposte bellissime, ma ex falso quodlibet eccetera. Quello che chiedi ha senso a parole, ma come ti ho detto e ripetuto è fatto da diverse parti mobili che non stai chiarendo. Perciò, la domanda è: prima di fare la tua domanda, quello che chiedi ha senso?
La maniera in cui io interpreto la tua domanda, leggendo e riempiendo col buonsenso i buchi che lasci, è circa questa: Dio ti ha dato una biiezione \(\varphi : \mathbb N\to\mathbb Q\). Ti ha anche dato una famiglia non numerabile di intervalli di $RR$, diciamo $I_\lambda = (a_\lambda,b_\lambda)$, uno per ogni \(\lambda\in\mathbb R\). Definiamo \(J_\lambda := I_\lambda\cap\mathbb Q\). Chiaramente, per densità di $QQ$ in $RR$, se tutti gli \(I_\lambda\) sono non banali ciascuno di questi intervalli contiene infiniti razionali, sicché c'è una biiezione composta \(f_\lambda : \mathbb N \overset\varphi\to \mathbb Q \cong J_\lambda\).
Domanda: serve una qualche forma di AC per determinare la famiglia di elementi \(\{f_\lambda(0)\mid\lambda\in\mathbb R\}\)?
Mi riesci a dire se è questo quello che vuoi? Perché sto perdendo la pazienza: mi sembra incredibile che tu non riesca a esprimerti a questo livello di precisione, che è l'unico con cui possiamo fare matematica.
Se è questo quello che vuoi, la risposta secondo me è che dipende dalla calcolabilità/costruibilità degli estremi \(a_\lambda,b_\lambda\). Se li prendi fatti sufficientemente a merda, anche se \(\varphi\) è esplicita, sei nei guai.
Domanda: serve una qualche forma di AC per determinare la famiglia di elementi \(\{f_\lambda(0)\mid\lambda\in\mathbb R\}\)?
Mi riesci a dire se è questo quello che vuoi? Perché sto perdendo la pazienza: mi sembra incredibile che tu non riesca a esprimerti a questo livello di precisione, che è l'unico con cui possiamo fare matematica.
Se è questo quello che vuoi, la risposta secondo me è che dipende dalla calcolabilità/costruibilità degli estremi \(a_\lambda,b_\lambda\). Se li prendi fatti sufficientemente a merda, anche se \(\varphi\) è esplicita, sei nei guai.
E nota che sto facendo tantissima fatica per non essere verbalmente violento.
"megas_archon":
E nota che sto facendo tantissima fatica per non essere verbalmente violento.
Scusa ma perchè dovresti esserlo? Siamo in ambito di discussione e raffronto tra ciò che si sa, ciò che si è capito e ciò che si vorrebbe capire. Il tutto può essere di aiuto a qualcun altro che un giorno avrà lo stesso problema ed un insieme di spiegazione verbale unito alla formalizzazione sarebbe preferibile. Grazie.
C'è anche il fatto che quella famiglia di intervalli è largamente ridondante non appena essi son tutti larghi abbastanza. Se ricoprono R, o qualcosa di isomorfo a R, ne basta una quantità numerabile per le ragioni che immagino tu sappia. Però questo magari lo risolviamo dopo, intanto avere una domanda chiara è fondamentale.
"megas_archon":
Mi riesci a dire se è questo quello che vuoi? Perché sto perdendo la pazienza: mi sembra incredibile che tu non riesca a esprimerti a questo livello di precisione, che è l'unico con cui possiamo fare matematica.
Ho usato un linguaggio che è identico a quello che ho trovato in libri.
Sei tu che non vuoi capire.
Se perdi la pazienza lascia perdere, non te l'ha ordinato il medico di intervenire, e lascia in pace me e il thread.
"megas_archon":
E nota che sto facendo tantissima fatica per non essere verbalmente violento.
Ecco, risparmiati la fatica e non intervenire.
Questo tuo atteggiamento non è tollerabile, fai 'fatica a evitare la violenza verbale', ma siamo impazziti?
Smettila di trattarmi come un imbecille e aggressivamente appena apro bocca, come ad esempio nel tuo recente intervento a capocchia sulla definizione di funzione, e altre tue amenità.
Tu non vuoi un dlalogo, il tuo scopo è solo questo, trattarmi come un imbecille.
Sei un disturbatore.
E sono troppo signorile per non usare strumenti di moderazione in questa diatriba tra me e te.
"DavidGnomo":
[quote="megas_archon"]E nota che sto facendo tantissima fatica per non essere verbalmente violento.
Scusa ma perchè dovresti esserlo?
[/quote] evidentemente sei nuovo qui, o sbaglio? Comunque non ne ho motivo, mi dà solo sui nervi la scarsa precisione e i "è chiaro cosa intendo".
"gabriella127":
[quote="megas_archon"]
Mi riesci a dire se è questo quello che vuoi? Perché sto perdendo la pazienza: mi sembra incredibile che tu non riesca a esprimerti a questo livello di precisione, che è l'unico con cui possiamo fare matematica.
Ho usato un linguaggio che è identico a quello che ho trovato in libri.
Sei tu che non vuoi capire.
Se perdi la pazienza lascia perdere, non te l'ha ordinato il medico di intervenire, e lascia in pace me e il thread.
"megas_archon":
E nota che sto facendo tantissima fatica per non essere verbalmente violento.
Ecco, risparmiati la fatica e non intervenire.
Questo tuo atteggiamento non è tollerabile, fai 'fatica a evitare la violenza verbale', ma siamo impazziti?
Smettila di trattarmi come un imbecille e aggressivamente appena apro bocca, come ad esempio nel tuo recente intervento a capocchia sulla definizione di funzione, e altre tue amenità.
Tu non vuoi un dlalogo, il tuo scopo è solo questo, trattarmi come un imbecille.
Sei un disturbatore.
E sono troppo signorile per non usare strumenti di moderazione in questa diatriba tra me e te.[/quote] cioè il motivo per cui non rispondi alla matematica è solo la mia scortesia? Che sciocchezza...
Poi che sia un disturbatore è chiaro, ma non ho alcun interesse a trattare *te* come un imbecille... Se non pensassi che sei in grado di esprimerti propriamente perché mai pensi mi sarei impuntato così tanto sul costringerti a farlo? Finendo poi per scrivere al posto tuo il claim di cui ti interessa la dimostrazione, ti sarebbe sufficiente dirmi se è quello che vuoi o no.. Sto perdendo la pazienza perché è la quarta volta che ti richiedo la stessa cosa e non mi rispondi...
Non è solo la scortesia, ma anche quella, è eccessiva, non ti puoi permettere di parlare di violenza verbale, ma chi ti credi di essere?
È che non hai nessun interesse a capire e al dialogo e cerchi sempre i 'difetti', a proposito e sproposito, come anche altre volte. E sei il primo a parlare a vanvera senza aver nemmeno letto i post, interventi di due metri quadri a cavolo tanto per rompere le scatole.
E di fatto hai rovinato il thread, grazie mille.
Discorso chiuso.
È che non hai nessun interesse a capire e al dialogo e cerchi sempre i 'difetti', a proposito e sproposito, come anche altre volte. E sei il primo a parlare a vanvera senza aver nemmeno letto i post, interventi di due metri quadri a cavolo tanto per rompere le scatole.
E di fatto hai rovinato il thread, grazie mille.
Discorso chiuso.
Faccio semplicemente quello che faccio di lavoro. Trovare i punti deboli di un ragionamento che non mi fila, perché è molto facile lasciarsi affabulare dalle proprie convinzioni e credere a un teorema perché suona giusto. Ma il diavolo è nei dettagli.
In ogni caso, se hai voglia dimmi se quello che ho scritto sopra è l'enunciato che vuoi, e se non hai voglia ti lascio discutere con gli altri di una domanda che secondo me è formulata in maniera imprecisa (e resterò col dubbio di cosa tu speri di ricavarne, anche avendo una risposta che ti soddisfa a pelle: immagina dover decidere se serve AC per una costruzione che non è definita formalmente!)
In ogni caso, se hai voglia dimmi se quello che ho scritto sopra è l'enunciato che vuoi, e se non hai voglia ti lascio discutere con gli altri di una domanda che secondo me è formulata in maniera imprecisa (e resterò col dubbio di cosa tu speri di ricavarne, anche avendo una risposta che ti soddisfa a pelle: immagina dover decidere se serve AC per una costruzione che non è definita formalmente!)
"megas_archon":
E nota che sto facendo tantissima fatica per non essere verbalmente violento.
Non è per nulla educato mostrare supponenza e superiorità intellettuale in modo così sprezzante! Potresti anche avere ragione e saperne di più di chiunque qui dentro sulla questione, ma ti suggerisco di approcciarti alle persone in modo più educato e gentile. Saranno senz'altro più disposti ad imparare dagli insegnamenti che hai da dare, e sicuramente ne hai molti!
@ megas_archon Forse dovevo mettere il teorema di teoria delle preferenze in cui è sorto il problema, ma veniva una cosa lunghissima e pesante.
Credo che la mia domanda fosse chiara fin dal primo post, non è che volevo sapere morte e miracoli su AC.
Ecco, trova i punti deboli con un po' più di cortesia e attenzione a quello che dicono gli altri e non straparlando a vanvera.
Cordiali saluti e sentiti omaggi.
Credo che la mia domanda fosse chiara fin dal primo post, non è che volevo sapere morte e miracoli su AC.
Ecco, trova i punti deboli con un po' più di cortesia e attenzione a quello che dicono gli altri e non straparlando a vanvera.
Cordiali saluti e sentiti omaggi.
"megas_archon":Ma sei fuori?
E nota che sto facendo tantissima fatica per non essere verbalmente violento.
"gabriella127":
Sì infatti, poi l'ho pensato, li provi a mano a uno uno, tu e tuoi pronipoti, se il primo razionale nell'intervallo è per un $n$ enorme. Volevo trovare una scorciatoia.
Eh, non c'è
Aiuto, non ho capito! Mi interessa.
Cioè tu stai dicendo che anche se devo scegliere in insiemi di razionali, ad esempio un razionale in ognuno di una infinità non-numerabile di intervalli di $\mathbb{R}$ (che è l'esempio che in primis mi interessava perché sta in un noto teorema di teoria delle preferenze), ci vuole l'assioma della scelta?
No, intendevo riferito ad un'altra cosa, quando parlavate di fare una scelta anche numerabile, come si fa anche nella dimostrazione del teorema che dice che unione numerabile di numerabili è numerabile. Quello che intendi te si può fare anche senza AC direi, perchè si può definire per ogni intervallo un razionale in particolare, per l'appunto il minimo, come ho fatto nel mio altro messaggio.
Ok, grazie mille otta, volevo conferma, ed è quanto diceva anche 3m0o.
Sì, sì, per quanto riguarda il teorema che l'unione numerabile di numerabili è numerabile, lì ci vuole l'assioma della scelta.
Grazie ancora a entrambi,
Sì, sì, per quanto riguarda il teorema che l'unione numerabile di numerabili è numerabile, lì ci vuole l'assioma della scelta.
Grazie ancora a entrambi,
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