Assioma della scelta nelle categorie
Ho un dubbio puerile: l'equivalente categorico dell'assioma della scelta cioè l'affermazione "Every epi splits" è vero in generale in tutte le categorie di insiemi strutturati (penso a Posets, Groups, Top etc etc) ?? Io non mi sento di darlo per scontato, vorrei una conferma o un controesempio. Grazie mille! 
Risposte
Intendi se è vero in generale che un morfismo epi ammette un inverso destro?
E' falso, prendi per esempio il morfismo suriettivo di gruppi additivi [tex]\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/tex] (dico "il" perché ce n'è uno solo). Il nucleo è l'unico sottogruppo proprio non banale del dominio, quindi questo epi non può spezzare (una qualsiasi freccia non banale nell'altra direzione dovrebbe mappare sul nucleo).
Questo è il problema principale della teoria coomologica dei gruppi. In generale il problema principale di tutta la teoria dei gruppi è il problema delle estensioni: come costruire un gruppo conoscendo un sottogruppo normale e il relativo quoziente? Se l'estensione spezza siamo felici perché riusciamo a fare i conti, ma se non spezza non sappiamo bene cosa fare. La presenza di controesempi alla tua domanda si traduce nel fatto che ci sono gruppi di coomologia che non svaniscono.
Questo per quanto riguarda i gruppi, spero che qualcuno possa risponderti in modo più "unificativo".
E' falso, prendi per esempio il morfismo suriettivo di gruppi additivi [tex]\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/tex] (dico "il" perché ce n'è uno solo). Il nucleo è l'unico sottogruppo proprio non banale del dominio, quindi questo epi non può spezzare (una qualsiasi freccia non banale nell'altra direzione dovrebbe mappare sul nucleo).
Questo è il problema principale della teoria coomologica dei gruppi. In generale il problema principale di tutta la teoria dei gruppi è il problema delle estensioni: come costruire un gruppo conoscendo un sottogruppo normale e il relativo quoziente? Se l'estensione spezza siamo felici perché riusciamo a fare i conti, ma se non spezza non sappiamo bene cosa fare. La presenza di controesempi alla tua domanda si traduce nel fatto che ci sono gruppi di coomologia che non svaniscono.
Questo per quanto riguarda i gruppi, spero che qualcuno possa risponderti in modo più "unificativo".
"Martino":
Intendi se è vero in generale che un morfismo epi ammette un inverso destro?
Si esatto, mi scuso di essere stato poco chiaro.
"Martino":
Questo è il problema principale della teoria coomologica dei gruppi. In generale il problema principale di tutta la teoria dei gruppi è il problema delle estensioni: come costruire un gruppo conoscendo un sottogruppo normale e il relativo quoziente? Se l'estensione spezza siamo felici perché riusciamo a fare i conti, ma se non spezza non sappiamo bene cosa fare. La presenza di controesempi alla tua domanda si traduce nel fatto che ci sono gruppi di coomologia che non svaniscono.
Grazie per queste delucidazioni. Premetto che non so nulla di coomologia, cmq questo discorso che fai c'entra con quello che trovo scritto qui sul fatto che un'estensione spezza se e solo se è un prodotto semidiretto? Collegato a quella pagina ho trovato anche questo lemma sugli split nelle categorie abeliane. Bello!
... Ok quindi in Groups la risposta è no. A questo punto mi verrebbe naturale chiedere: che condizioni si devono verificare affinchè in una categoria esistano gli inversi a destra per ogni epi ? Ma temo che la risposta vada oltre le mie possibilità! 
Tu sei interessato alle condizioni per cui ogni epimorfismo e' split, che e' "il" modo di usare l'assioma della scelta in una categoria: http://ncatlab.org/nlab/show/axiom+of+choice
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo