Antinomia di russell
buongiorno,
(spero sia la sezione giusta)
qualcuno mi potrebbe spiegare perché il paradosso di russell non prova semplicemente l'impossibilità dell'insieme di tutti gli insiemi che non contengono sé stessi come elementi? perché russell etc hanno dovuto tentare di "risolvere" l'antinomia anziché dedurre banalmente che un tale insieme non può esistere?
immagino, da profano in matematica, che il motivo sia che l'assioma, per quanto paradossale, sia necessario per la teoria degli insiemi di cantor (ma mi sfugge come). è giusto? sto sbagliando qualcosa?
grazie mille
(spero sia la sezione giusta)
qualcuno mi potrebbe spiegare perché il paradosso di russell non prova semplicemente l'impossibilità dell'insieme di tutti gli insiemi che non contengono sé stessi come elementi? perché russell etc hanno dovuto tentare di "risolvere" l'antinomia anziché dedurre banalmente che un tale insieme non può esistere?
immagino, da profano in matematica, che il motivo sia che l'assioma, per quanto paradossale, sia necessario per la teoria degli insiemi di cantor (ma mi sfugge come). è giusto? sto sbagliando qualcosa?
grazie mille
Risposte
Cos'è un insieme? Se dici "il dominio di verità di un predicato", incorri in un paradosso (quello di Russell) non appena lasci il predicato troppo libero. Cioè, non puoi dire che "per ogni proprietà \(\phi\) la collezione degli \(x\) tali che \(\phi\) è un insieme", perché non è vero.
Qual è il problema? Nessuno, oggi; basta stare attenti o usare una fondazione dove gli insiemi non sono l'unico oggetto che è possibile castare. Del resto il fatto che oggi non ci sia nessun problema in tal senso è proprio merito di Russell (e altri).
Qual è il problema? Nessuno, oggi; basta stare attenti o usare una fondazione dove gli insiemi non sono l'unico oggetto che è possibile castare. Del resto il fatto che oggi non ci sia nessun problema in tal senso è proprio merito di Russell (e altri).
innanzitutto grazie per la risposta.
un insieme è il dominio di verità di un predicato, ma non tutti gli insiemi esistono/non tutti i predicati sono veri,o sbaglio?
cioè la mia domanda è: perché bisogna classificare l'antinomia di russell come una antinomia e nom come una dimostrazione che un insieme così formato, molto banalmente, non esiste? perché russell ha dovuto produrre la teoria dei tipi per "salvare" quell'insieme? io capisco "a naso" che quell'insieme era importante per qualcos'altro, ma non capisco esattamente cosa...
un insieme è il dominio di verità di un predicato, ma non tutti gli insiemi esistono/non tutti i predicati sono veri,o sbaglio?
cioè la mia domanda è: perché bisogna classificare l'antinomia di russell come una antinomia e nom come una dimostrazione che un insieme così formato, molto banalmente, non esiste? perché russell ha dovuto produrre la teoria dei tipi per "salvare" quell'insieme? io capisco "a naso" che quell'insieme era importante per qualcos'altro, ma non capisco esattamente cosa...
Il predicato è \(x\notin x\).
Considera l'insieme definito da tale predicato; chiamalo $P$.
Domanda: $P\in P$? Viene fuori che $P\in P$ se e solo se \(P\notin P\). Nessun sistema formale può dimostrare sia \(\phi\) che \(\lnot\phi\) senza "esplodere", cioè senza essere banale, cioè senza essere tale che tutto è vero e tutto è falso.
Considera l'insieme definito da tale predicato; chiamalo $P$.
Domanda: $P\in P$? Viene fuori che $P\in P$ se e solo se \(P\notin P\). Nessun sistema formale può dimostrare sia \(\phi\) che \(\lnot\phi\) senza "esplodere", cioè senza essere banale, cioè senza essere tale che tutto è vero e tutto è falso.
ma la tua proposizione
"X non∈ X"
è diversa da
"esiste P tale per cui se X non∈ X allora ogni X ∈ P"
cioè a me va benissimo che esista un P (che esiste indipendentemente dal paradosso) che inclide solo X, ma questo non è il caso del paradosso dove P (inesistente) include tutti gli X.
sto sbagliando qualcosa?
"X non∈ X"
è diversa da
"esiste P tale per cui se X non∈ X allora ogni X ∈ P"
cioè a me va benissimo che esista un P (che esiste indipendentemente dal paradosso) che inclide solo X, ma questo non è il caso del paradosso dove P (inesistente) include tutti gli X.
sto sbagliando qualcosa?
ma la tua proposizioneIndubbiamente; e quindi?
"X non∈ X"
è diversa da
"esiste P tale per cui se X non∈ X allora ogni X ∈ P"
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