Anello quoziente
Salve a tutti, sono nuovo del forum 
Ho cercato il mio quesito tra i thread precedenti ma non ho trovato nulla, nel caso chiedo scusa.
L'esercizio che non riesco a svolgere è: si consideri l'anello $Z[x]$ e i suoi ideali $A=(7)$ e $B=(5x)$
Provare che l'anello quoziente $(Z[x])/(A+B)$ è un campo.
Ora, dalla teoria so che un quoziente è un campo se e solo se l'ideale su cui quoziento è massimale. So anche che un ideale è massimale se non esiste un altro ideale proprio tra lui e l'anello.
Quindi per avere la tesi mi basterebbe dimostrare che non esistono ideali tra $A+B$ e $Z[x]$. A me però questo ideale sembra non massimale, dato che non ci sono condizioni sui gradi maggiori di 1 e quindi, per avere un ideale che lo contiene basterebbe sommare per esempio $C=(x^2)$.
D'altra parte, per come è scritto il testo dell'esercizio, sembra che l'anello sia effettivamente un campo, quindi quello che ho detto è probabilmente sbagliato ma non riesco a capire dove né a trovare eventualmente un'altra strada per dimostrarlo..
Grazie e chi mi potrà aiutare!
EDIT: scusate ma non sono molto pratico del linguaggio per inserire le formule, quello che intendo con $Z[x]$ è l'anello dei polinomi a coefficienti interi.
Ho cercato il mio quesito tra i thread precedenti ma non ho trovato nulla, nel caso chiedo scusa.
L'esercizio che non riesco a svolgere è: si consideri l'anello $Z[x]$ e i suoi ideali $A=(7)$ e $B=(5x)$
Provare che l'anello quoziente $(Z[x])/(A+B)$ è un campo.
Ora, dalla teoria so che un quoziente è un campo se e solo se l'ideale su cui quoziento è massimale. So anche che un ideale è massimale se non esiste un altro ideale proprio tra lui e l'anello.
Quindi per avere la tesi mi basterebbe dimostrare che non esistono ideali tra $A+B$ e $Z[x]$. A me però questo ideale sembra non massimale, dato che non ci sono condizioni sui gradi maggiori di 1 e quindi, per avere un ideale che lo contiene basterebbe sommare per esempio $C=(x^2)$.
D'altra parte, per come è scritto il testo dell'esercizio, sembra che l'anello sia effettivamente un campo, quindi quello che ho detto è probabilmente sbagliato ma non riesco a capire dove né a trovare eventualmente un'altra strada per dimostrarlo..
Grazie e chi mi potrà aiutare!
EDIT: scusate ma non sono molto pratico del linguaggio per inserire le formule, quello che intendo con $Z[x]$ è l'anello dei polinomi a coefficienti interi.
Risposte
$x^2=3x\cdot 5x -2x^2\cdot 7$ e quindi $x^2$ sta in $A+B$.
Grazie dell'aiuto!
Forse ho capito il mio problema: il "non ci sono ideali intermedi" della definizione di massimale mi faceva pensare che l'ideale dovesse essere tutto l'anello ma (come in questo caso) non è così.
Ci dovrebbero essere altri ideali che hanno come termine noto i coprimi con 7 ma questi ideali non sono contenuti in $A+B$ né lo contengono, hanno solo in comune tutti i polinomi senza termine noto. Quindi
Se aggiungo alla somma $A+B$ un altro ideale $C=(7k)$ ottengo lo stesso ideale perchè il generatore è un multiplo di quello che già ho, mentre se aggiungo un coprimo, trovo nell'ideale un polinomio con termine noto $1$ e quindi tutto $Z[x]$. Perciò l'ideale è massimale.
E' corretto?
Forse ho capito il mio problema: il "non ci sono ideali intermedi" della definizione di massimale mi faceva pensare che l'ideale dovesse essere tutto l'anello ma (come in questo caso) non è così.
Ci dovrebbero essere altri ideali che hanno come termine noto i coprimi con 7 ma questi ideali non sono contenuti in $A+B$ né lo contengono, hanno solo in comune tutti i polinomi senza termine noto. Quindi
Se aggiungo alla somma $A+B$ un altro ideale $C=(7k)$ ottengo lo stesso ideale perchè il generatore è un multiplo di quello che già ho, mentre se aggiungo un coprimo, trovo nell'ideale un polinomio con termine noto $1$ e quindi tutto $Z[x]$. Perciò l'ideale è massimale.
E' corretto?
Ideali non hanno termini noti. Non so chi sia $k$ e non so cosa sia "un coprimo".
Userei piuttosto la teoria. Il "terzo teorema di isomorfismo" dice
che $R=ZZ[X]//(A+B)$ e' isomorfo a l'anello $ZZ[X]//A$ modulo
il suo ideale $(A+B)//A$.
Cioe', $R$ e' isomorfo a $ZZ_7[X]$ modulo l'ideale generato da $\overline{5}X$.
Poiche' $\overline{5}$ e' un elemento invertibile di $ZZ_7[X]$, abbiamo
che $(\overline{5}X)=(X)$ e quindi $ZZ_7[X]//(\overline{5}X)=ZZ_7[X]//(X)$.
E questo e' isomorfo al campo $ZZ_7$ degli interi modulo $7$.
Userei piuttosto la teoria. Il "terzo teorema di isomorfismo" dice
che $R=ZZ[X]//(A+B)$ e' isomorfo a l'anello $ZZ[X]//A$ modulo
il suo ideale $(A+B)//A$.
Cioe', $R$ e' isomorfo a $ZZ_7[X]$ modulo l'ideale generato da $\overline{5}X$.
Poiche' $\overline{5}$ e' un elemento invertibile di $ZZ_7[X]$, abbiamo
che $(\overline{5}X)=(X)$ e quindi $ZZ_7[X]//(\overline{5}X)=ZZ_7[X]//(X)$.
E questo e' isomorfo al campo $ZZ_7$ degli interi modulo $7$.
Ok grazie della spiegazione dettagliata, ora mi è chiaro!
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