Anello dei polinomi
Salve volevo chiedervi:
perchè (R[x],+,.) anello dei polinomi, non puo' mai essere un campo??
grazie
perchè (R[x],+,.) anello dei polinomi, non puo' mai essere un campo??
grazie
Risposte
Si potrebbe dire così: pensa i polinomi come elementi di [tex]\bigoplus_{i \in \mathbb N} A_i[/tex] dove ciascun [tex]A_i[/tex] è una copia isomorfa di [tex]R[/tex]. Allora da un punto di vista puramente formale l'unico inverso rispetto al prodotto di [tex]1 - X = (1, -1, 0, 0, \ldots, 0, \ldots)[/tex] è [tex](1,1,\ldots, 1, \ldots)[/tex], che non appartiene mai all'anello [tex]R[X][/tex].
allora andiamo con ordine che non ho capito granchè non ho le conoscenze adatte..
io so da un teorema che se R è un dominio di integrita in R[x] gli invertibili sono tutti e soli i polinomi costanti..
ma se R non è un dominio di integrità R[x] ammette anche come elementi invertibili che sono polinomi non costanti ti trovi con queste mie affermazioni??
io so da un teorema che se R è un dominio di integrita in R[x] gli invertibili sono tutti e soli i polinomi costanti..
ma se R non è un dominio di integrità R[x] ammette anche come elementi invertibili che sono polinomi non costanti ti trovi con queste mie affermazioni??
Sì. Si possono caratterizzare abbastanza facilmente le unità dell'anello dei polinomi [tex]R[X][/tex]. Ti propongo questo esercizio:
Esercizio. Sia [tex]R[/tex] un anello commutativo unitario con [tex]1_R \ne 0_R[/tex]. Sia [tex]R[X][/tex] l'anello dei polinomi a coefficienti in [tex]R[/tex]. Sia [tex]f(X) = a_0 + a_1 X + \ldots + a_n X^n[/tex].
Esercizio. Sia [tex]R[/tex] un anello commutativo unitario con [tex]1_R \ne 0_R[/tex]. Sia [tex]R[X][/tex] l'anello dei polinomi a coefficienti in [tex]R[/tex]. Sia [tex]f(X) = a_0 + a_1 X + \ldots + a_n X^n[/tex].
1. [tex]f[/tex] è nilpotente se e solo se sono nilpotenti tutti i suoi coefficienti [tex]a_i[/tex];
2. [tex]f[/tex] è un'unità se e solo se [tex]a_0[/tex] è un'unità e [tex]a_i[/tex] è nilpotente per [tex]i = 1, \ldots, n[/tex];
3. [tex]f[/tex] è uno zero-divisore se e solo se esiste [tex]a \in R[/tex] tale che [tex]a f(X) = 0[/tex].
[/list:u:1foxaoje]
si ok se ti trovi con le mie affermazioni, prima di vedere l'esercizio che tra l'altro richiede conoscenze che non ho, vorrei capire perchè l'anello dei polinomi R[x] non puo mai essere un campo.. io c ho scritto sugli appunti che non puo mai esserlo perchè qulunque sia R, il polinomio x appartenente a R[x] non è mai invertibile.. è cosi??
se si, cosa si intende per polinomi x appartenente a R[x]?
grazie
se si, cosa si intende per polinomi x appartenente a R[x]?
grazie
cmq sono arrivato a questa conclusine:
siccome ogni campo è un dominio di integrità, seppure R fosse un campo avremo che gli elementi invertibili di R[x] sarebbero tutti e soli i polinomi costanti, ma non tutti i polinomi appartenenti a R[x] e quindi R[x] non puo mai essere un campo..
che ne dici?
siccome ogni campo è un dominio di integrità, seppure R fosse un campo avremo che gli elementi invertibili di R[x] sarebbero tutti e soli i polinomi costanti, ma non tutti i polinomi appartenenti a R[x] e quindi R[x] non puo mai essere un campo..
che ne dici?
Va bene anche [tex]X[/tex]... alla luce dell'esercizio precedente. Non si intende niente di particolare con "polinomio appartenente a [tex]R[X][/tex]", solo "elemento di [tex]R[X][/tex]". Il tuo docente ha utilizzato quelle parole per sottolineare il fatto che l'inverso di [tex]X[/tex] non può esistere in [tex]R[X][/tex]!
Sì, comunque quando [tex]R[/tex] è un campo va bene anche il ragionamento che hai fatto dopo. Il punto è che in ogni caso esiste sempre un elemento il cui inverso non appartiene all'anello!
Sì, comunque quando [tex]R[/tex] è un campo va bene anche il ragionamento che hai fatto dopo. Il punto è che in ogni caso esiste sempre un elemento il cui inverso non appartiene all'anello!
si però io hjo un esempio in cui in Z4[x] esiste un elemento invertibile da un polinomio e non da una costante perchè?
esempio:
(3+2x) (3+2x)=1 ...
ps:allora puo accadere..che non sia costante il polinomio per essere invertibile..
esempio:
(3+2x) (3+2x)=1 ...
ps:allora puo accadere..che non sia costante il polinomio per essere invertibile..
"Leonardo20":
si però io hjo un esempio in cui in Z4[x] esiste un elemento invertibile da un polinomio e non da una costante perchè?
esempio:
(3+2x) (3+2x)=1 ...
ps:allora puo accadere..che non sia costante il polinomio per essere invertibile..
"maurer":
Esercizio. Sia [tex]R[/tex] un anello commutativo unitario con [tex]1_R \ne 0_R[/tex]. Sia [tex]R[X][/tex] l'anello dei polinomi a coefficienti in [tex]R[/tex]. Sia [tex]f(X) = a_0 + a_1 X + \ldots + a_n X^n[/tex].
1. [tex]f[/tex] è nilpotente se e solo se sono nilpotenti tutti i suoi coefficienti [tex]a_i[/tex];
2. [tex]f[/tex] è un'unità se e solo se [tex]a_0[/tex] è un'unità e [tex]a_i[/tex] è nilpotente per [tex]i = 1, \ldots, n[/tex];
3. [tex]f[/tex] è uno zero-divisore se e solo se esiste [tex]a \in R[/tex] tale che [tex]a f(X) = 0[/tex].
[/list:u:1y04pw40]
Ti inviterei a soffermarti un po' di più sulle cose che ti vengono dette. L'esercizio che ti ho proposto risolve completamente il tuo dubbio: in [tex]\mathbb Z / 4 \mathbb Z[/tex] il polinomio [tex]3 +2x[/tex] ha termine noto invertibile e poi [tex]2[/tex] è un elemento nilpotente ([tex]2^2 = 4 = 0[/tex]). Quindi il punto 2. implica chiaramente che il tuo polinomio sia un'unità.
Quello che importa è che [tex]X[/tex] (o [tex]1 - X[/tex]) non soddisfa mai le condizioni del punto 2. e quindi non è mai invertibile!
ma scusa io con questo:
(3+2x) (3+2x)=1 ...
non ho dimostrato che esiste un polinomio appartenente a R[x] che è invertibile?
ps: il tuo esempio non l ho capisco è troppo avanzato per piacere.. parla piu' semplice non dirmi niente..
(3+2x) (3+2x)=1 ...
non ho dimostrato che esiste un polinomio appartenente a R[x] che è invertibile?
ps: il tuo esempio non l ho capisco è troppo avanzato per piacere.. parla piu' semplice non dirmi niente..
Sì, è chiaro, hai dimostrato che c'è un polinomio non costante che è invertibile. Ma non capisco il tuo dubbio.
Se ti stai chiedendo perché a volte è possibile trovare polinomi non costanti invertibili e a volte questo non si può fare, la risposta è semplice: tutto dipende dalla struttura dell'anello [tex]R[/tex] che si sceglie. [tex]\mathbb Z / 4 \mathbb Z[/tex] non è un dominio integro, perché ad esempio [tex]2 \cdot 2 = 0[/tex] e [tex]2 \ne 0[/tex]; quando sei in un campo questo fenomeno invece non può succedere.
Se invece dimostrare che [tex]R[X][/tex] non è mai un campo, ti basta dimostrare che esiste almeno un elemento non invertibile, sei d'accordo? Bene, ti dico che [tex]X[/tex] non è mai invertibile, qualche che sia l'anello [tex]R[/tex] scelto. Per vederlo, puoi supporre per assurdo che esista un polinomio [tex]f(X) = a_0 + a_1 X + \ldots + a_n X^n[/tex], con [tex]a_n \ne 0[/tex] tale che [tex]X f(X) = 1[/tex]. Questo è assurdo perché sviluppando i conti si ottiene che [tex]X f(X) = a_0 X + \ldots + a_n X^{n+1}[/tex] e [tex]a_n \ne 0[/tex]; inoltre [tex]n+1 \ge 1[/tex], sicché l'assurdo scatta per il principio di identità dei polinomi.
Ti ho chiarito i dubbi?
Se ti stai chiedendo perché a volte è possibile trovare polinomi non costanti invertibili e a volte questo non si può fare, la risposta è semplice: tutto dipende dalla struttura dell'anello [tex]R[/tex] che si sceglie. [tex]\mathbb Z / 4 \mathbb Z[/tex] non è un dominio integro, perché ad esempio [tex]2 \cdot 2 = 0[/tex] e [tex]2 \ne 0[/tex]; quando sei in un campo questo fenomeno invece non può succedere.
Se invece dimostrare che [tex]R[X][/tex] non è mai un campo, ti basta dimostrare che esiste almeno un elemento non invertibile, sei d'accordo? Bene, ti dico che [tex]X[/tex] non è mai invertibile, qualche che sia l'anello [tex]R[/tex] scelto. Per vederlo, puoi supporre per assurdo che esista un polinomio [tex]f(X) = a_0 + a_1 X + \ldots + a_n X^n[/tex], con [tex]a_n \ne 0[/tex] tale che [tex]X f(X) = 1[/tex]. Questo è assurdo perché sviluppando i conti si ottiene che [tex]X f(X) = a_0 X + \ldots + a_n X^{n+1}[/tex] e [tex]a_n \ne 0[/tex]; inoltre [tex]n+1 \ge 1[/tex], sicché l'assurdo scatta per il principio di identità dei polinomi.
Ti ho chiarito i dubbi?
ah ok ma quindi i polinomi invertibili non sono costanti sempre..
dipende dalla struttura questo..
dipende dalla struttura questo..
Sì, la struttura è il vero discriminante, ed è bene avere chiaro questo concetto.
In ogni caso, l'enunciato dell'esercizio che ti ho proposto non richiede nessuna conoscenza che trascende il corso di Algebra 1 di qualsiasi corso di laurea in Matematica. Ti invito a leggerlo con attenzione; magari potresti avere delle difficoltà a svolgerlo, ma esaurisce completamente la discussione intorno a questi argomenti.
Per inciso è tratto dall'Atiyah-MacDonald. Potrebbe esserti d'aiuto il seguente lemma, nel caso ti volessi cimentare nella soluzione:
Lemma. Sia [tex]R[/tex] un anello commutativo unitario. Se [tex]x[/tex] è un elemento nilpotente allora [tex]1 + x[/tex] è un elemento invertibile. Più in generale, la somma di un elemento invertibile ed un nilpotente è sempre invertibile.
(qui ho dato una soluzione parziale...)
In ogni caso, l'enunciato dell'esercizio che ti ho proposto non richiede nessuna conoscenza che trascende il corso di Algebra 1 di qualsiasi corso di laurea in Matematica. Ti invito a leggerlo con attenzione; magari potresti avere delle difficoltà a svolgerlo, ma esaurisce completamente la discussione intorno a questi argomenti.
Per inciso è tratto dall'Atiyah-MacDonald. Potrebbe esserti d'aiuto il seguente lemma, nel caso ti volessi cimentare nella soluzione:
Lemma. Sia [tex]R[/tex] un anello commutativo unitario. Se [tex]x[/tex] è un elemento nilpotente allora [tex]1 + x[/tex] è un elemento invertibile. Più in generale, la somma di un elemento invertibile ed un nilpotente è sempre invertibile.
(qui ho dato una soluzione parziale...)
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