Anelli di polinomi - ex herstein

[Kashaman]

Es 1
Sia $F=RR$ un campo.
Dimostrare che $(F[x])/(x^2+1)$ è un campo isomorfo al campo dei complessi $CC$.
Svolgimento.

Io ho ragionato cosi.
lemma 1 $ f(x)=x^2+1$ è irriducibile su $RR$
dim lemma Sia $\alpha in RR$.
Se $\alpha $ è radice di $f(x)$ allora $f(\alpha)=0=>\alpha^2=-1 => alpha=sqrt-1 $ assurdo.
Essendo di grado due, e non avendo radici in $RR$ , $f(x)$ risulta essere irriducibile su $RR[x]$.
lemma 2 $CC$ è isomorfo all'anello $RRxRR$ , ove per $RRxRR$ si intende l'anello munito delle seguenti operazioni:
(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')
(a,b)(a',b')=(aa'-bb',ab'+a'b)

dim teorema
Dal lemma 1 si evince che $(F[x])/(x^2+1)$ è un campo.
I cui elementi sono dati da $(F[x])/(x^2+1) = { [a+bx]_f | a,b in RR , x^2-=-1(modf)}$
pertanto ha senso chiedersi se esiste $f : (F[x])/(x^2+1) -> CC$ isomorfismo.
Poiché $CC~=RRxRR$
E' equivalente trovare $\phi : (F[x])/(x^2+1) -> RRxRR$ isomorfismo
Definisco $\phi$ al seguente modo :
$[a]_f->(a,0)$
$[bx]_f -> (0,b)$
$[a+bx]_f -> (a,0)+(0,b)=(a,b)$
$\phi$ è sicuramente iniettiva, in quanto se $[a+bx]_f ,[c+dx]_f in (F[x])/(x^2+1)$
$\phi([a+bx]_f)=\phi([c+dx]_f) => (a,b)=(c,d) <=> a=c ^^ b=d$ e quindi $[c+dx]_f=[a+bx]_f$.
Inoltre $\phi$ è anche suriettiva essendo $Im\phi=RRxRR = CC$
Inoltre $\phi$ è un omomorfismo, infatti
$\phi([a+bx]_f +[c+dx]_f) = ..=(a+c,b+d)=(a,b)+(c,d) = \phi([a+bx]_f)+\phi([c+dx]_f)$ e
$\phi([a+bx]_f *[c+dx]_f) = ..=(ac-bd,ad+cb)=(a,b)(c,d)= \phi([a+bx]_f)*\phi([c+dx]_f)$
Pertanto $\phi$ è un isomorfismo. Dunque, poiché $RRxRR ~= CC , (F[x])/(x^2+1)~=RRxRR => (F[x])/(x^2+1)~=CC$ la tesi

che ne pensate? saluti e grazie

[Kashaman]

Raga un'altro problemino.
Dimostrare che $x^3-9 in ZZ_31[x]$ è irriducibile.

..essendo di grado tre, mi verrebbe da pensare che dovrei valutarlo $AA \alpha in ZZ_31$ , ma ne sono un poco troppi.. c'è qualcosa che posso fare senza ricorrere alla forza bruta? Un piccolo aiuto...
grazie mille

[martina.c1]

Provo a risolvere il secondo esercizio.

Poichè il grado del polinomio è 3, le uniche due possibili fattorizzazioni sono il prodotto di tre polinomi di grado 1 e il prodotto di un polinomio di grado 1 e uno di grado 2; in ogni caso deve esserci almeno un polinomio di grado 1, ossia deve esistere una radice di $x^3 - 9$ in $\mathbb{Z_(31)}$.
Osservo in primo luogo che $0$ (da ora in poi intendo sempre sottinteso "classe di.. in $\mathbb{Z_(31)}$") non soddisfa l'equazione data. Inoltre, poichè $\mathbb{Z_(31)}$ è un campo, $(\mathbb{Z_(31)})^(\star)$ contiene tutti gli elementi di $\mathbb{Z_(31)}$ tranne $0$. Allora, $\forall x \in \mathbb{Z_(31)}$ escluso lo zero $x^30=1$, poichè l'ordine di $(\mathbb{Z_(31)})^(\star)$ (gruppo moltiplicativo) è 30 $\Rightarrow \forall x \in \mathbb{Z_(31)} \backslash {0} \ \ (x^3)^10=1$.
Supponiamo che esista $\overline{x} \ne 0 \in \mathbb{Z_(31)} : \overline{x}^3=9$. Allora $\(overline{x}^3)^10=9^10=5$ che è impossibile.

Pensi che possa andar bene? Spero di non aver scritto troppe stupidaggini!

[Kashaman]

ciao martina.c , Penso che ciò che hai detto va bene.
In sostanza hai detto questo.
il polinomio $f(X)=x^3-9 in ZZ_31[x]$ è irriducibile $<=>$ $\nexists \alpha in ZZ_31 | f(\alpha)=0$ , visto che il polinomio dato è di grado tre.
$\alpha=0$ non è radice di $f(x)$ infatti $f(0)=-9!=0$
supponiamo $\alpha !=0$ . Poichè $31$ è primo , allora $ZZ_31$ è un campo. Pertanto $AA \alpha in ZZ*_31 : \alpha^30=1$ e cioè $(\alpha^3)^10=1$ (1). (per il piccolo teorema di fermat)
In particolare si ha che $f(\alpha)=\alpha^3-9=0 <=> \alpha^3=9$
ora se $9$ è un cubo, soddisfa la (1). Ma si ha che $(\alpha^3)^10=1=9^10=5 => 1=5$assurdo.
Ciò mostra che $f(X)$ è irriducibile in $ZZ_31$.
Che ne dici?

[Leonardo891]

Anche secondo me la dimostrazione di martina.c è perfetta.
Kashaman in realtà tu e lei non dite esattamente la stessa cosa: lei usa un risultato della teoria dei gruppi mentre tu usi il piccolo teorema di Fermat. Va bene comunque.

Non va bene, invece, la tua dimostrazione in spoiler di quell'isomorfismo: la funzione \(\displaystyle \phi \) ha come dominio un insieme di classi di equivalenza e tu la definisci su dei rappresentanti di quelle classi di equivalenza senza preoccuparti che la funzione sia indipendente dai rappresentanti di quelle classi di equivalenza. In breve, non è detto che la funzione \(\displaystyle \phi \) sia ben definita. Hai ben chiaro questo punto?
In realtà il modo standard di risolvere quell'esercizio sfrutta il teorema fondamentale di isomorfismo tra gli anelli, lo conosci?

[Kashaman]

No Leonardo non lo conosco, quell'esercizio in realtà lo svolse il mio professore tempo fa nel corso di Algebra 1. L'ha portato come esempio. L'ho rincontrato e ho provato a svolgerlo ricalcando un po i suoi passi. (ammetto che sugli appunti che ho, non è fatto bene, son stati presi un po male..)
Effettivamente , però hai ragione.
Non mi sono accertato che se $[a+bx]_f = [a+bx+f]_f $$=>$$ \phi([a+bx]_f)=\phi([a+bx+f]_f)$ , cioè non mi sono preoccupato del fatto di mostrare che quella sia veramente una funzione.
Come posso rimediare a ciò?
Necessita davvero conoscere il teorema fondamentale di isomorfismo?

[Leonardo891]

"Kashaman":$[a+bx]_f = [a+bx+f]_f $$=>$$ \phi([a+bx]_f)=\phi([a+bx+f]_f)$

Scusa ma questa è una banalità perché \(\displaystyle [a+bx]_f = [a+bx+f]_f \). Quello che devi dimostare è che \(\displaystyle [a+bx]_f = [c+dx]_f \Rightarrow \phi([a+bx]_f)=\phi([c+dx]_f) \).

"Kashaman":Come posso rimediare a ciò?
Necessita davvero conoscere il teorema fondamentale di isomorfismo?

Devi usare il primo teorema di isomorfismo per gli anelli e sì, necessita davvero conoscerlo, è l'abc dell'abc dell'algebra.
Sinceramente, mi sembra inutile discuterne qui: sicuramente il libro di algebra (quale?) che stai seguendo gli dedicherà pagina e pagine. Prima prova a studiartelo, poi ne parliamo.

Forse, dico forse, si potrebbe anche evitare di usare il teorema per questo esercizio ma, probabilmente, dovresti comunque ridimostrare una parte del teorema per risolvere l'esercizio. Non ne vale proprio la pena, tanto il teorema dovresti impararlo comunque.

[martina.c1]

"Leonardo89":
Kashaman in realtà tu e lei non dite esattamente la stessa cosa: lei usa un risultato della teoria dei gruppi mentre tu usi il piccolo teorema di Fermat. Va bene comunque.

Esatto, io ho usato il fatto che $|(\mathbb{Z_31})^\star| = 30$, quindi ogni elemento di $(\mathbb{Z_31})^\star$ (cioè ogni elemento di $\mathbb{Z_31}$ escluso lo zero dato che $\mathbb{Z_31}$ è un campo) elevato alla 30 è uguale a 1 (questo perchè ogni elemento di un gruppo ha ordine che divide l'ordine del gruppo e $(\mathbb{Z_31})^\star$ è un gruppo moltiplicativo).
Tu invece hai fatto ricorso al piccolo teorema di Fermat, va comunque bene!

[Kashaman]

"Leonardo89":[quote="Kashaman"]$[a+bx]_f = [a+bx+f]_f $$=>$$ \phi([a+bx]_f)=\phi([a+bx+f]_f)$

Scusa ma questa è una banalità perché \(\displaystyle [a+bx]_f = [a+bx+f]_f \). Quello che devi dimostare è che \(\displaystyle [a+bx]_f = [c+dx]_f \Rightarrow \phi([a+bx]_f)=\phi([c+dx]_f) \).

"Kashaman":Come posso rimediare a ciò?
Necessita davvero conoscere il teorema fondamentale di isomorfismo?

Devi usare il primo teorema di isomorfismo per gli anelli e sì, necessita davvero conoscerlo, è l'abc dell'abc dell'algebra.
Sinceramente, mi sembra inutile discuterne qui: sicuramente il libro di algebra (quale?) che stai seguendo gli dedicherà pagina e pagine. Prima prova a studiartelo, poi ne parliamo.

Forse, dico forse, si potrebbe anche evitare di usare il teorema per questo esercizio ma, probabilmente, dovresti comunque ridimostrare una parte del teorema per risolvere l'esercizio. Non ne vale proprio la pena, tanto il teorema dovresti impararlo comunque.[/quote]
Uso di norma il Piacentini - Cattaneo e l'Herstein . Allora temo di rinunciare a risolvere quell'esercizio tenendomelo per il futuro. Mi sa che ho alzato di troppo il tiro.
Purtroppo per i Th di isomorfismo di anelli, da quello che ho capito, necessita sapere nozioni di Ideale e quant'altro, cosa ancora non fatte al corso, se ho tempo studierò per conto mio tali cose, e ne riparleremo. o al più tra qualche mese, quando le avrò affrontate,spero che a quel tempo sarai disponibile.
vi ringrazio ragazzi per l'aiuto che mi state dando.

[Leonardo891]

"Kashaman":Uso di norma il Piacentini - Cattaneo e l'Herstein .

Il primo dovrebbe essere un buon libro introduttivo, per quanto ho sentito dire, perché non l'ho letto personalmente. Il secondo è un libro meraviglioso ma difficile per iniziare. Capiamoci: non sto dicendo che non puoi usarlo, puoi e forse devi, ma è difficile, e penso che tu lo stia sperimentando con i problemi sui gruppi.

"Kashaman":Allora temo di rinunciare a risolvere quell'esercizio tenendomelo per il futuro. Mi sa che ho alzato di troppo il tiro.
Purtroppo per i Th di isomorfismo di anelli, da quello che ho capito, necessita sapere nozioni di Ideale e quant'altro, cosa ancora non fatte al corso, se ho tempo studierò per conto mio tali cose, e ne riparleremo. o al più tra qualche mese, quando le avrò affrontate,spero che a quel tempo sarai disponibile.
vi ringrazio ragazzi per l'aiuto che mi state dando.

Ripeto, i vari teoremi di isomorfismo sono argomenti di base che vanno conosciuti, niente di trascendentale o difficile. Ammetto, però, che l'Herstein non è il massimo della chiarezza per studiarli la prima volta. Probabilmente sul Piacentini - Cattaneo sono spiegati più chiaramente.

Ti consiglio di continuare a seguire questi due libri senza pescare esercizi dagli appunti che, sul momento, potresti non saper risolvere.

Quando avrai capito bene il primo teorema di isomorfismo il mio aiuto per risolvere questo esercizio non ti servirà, comunque rivitalizza il topic e qualcuno risponderà, forse io stesso.

[Kashaman]

Ringrazio per il vostro aiuto, posto qui un'altro esercizio.
Es n° 5 pag 175 Herstein.
Sia $\alpha in Q$ e $x-\alpha$ divide un polinomio intero e monico, dimostrare che $\alpha $ deve essere un intero.
svolgimento.

Per ipotesi abbiamo che , denotato $f(X)$ il polinomio dell'esercizio, e sia $n=deg(f)$
$f(X)$ è della forma
$f(X)=x^n+a_(n-1)x^(n-1)+a_(n-2)X^(n-2)+......+a_0$ ove $a_(n-1),a_(n-1),....,a_0 in ZZ$
Sia ora $\alpha = m/n ( m,n in ZZ , (n,m)=1,n!=0) in Q$ . Ora per ipotesi $x-\alpha|f(X)$, da cui per il teorema di ruffini segue che $\alpha$ è radice di $f(X)$ in $QQ$.
Quindi si ha che
$f(\alpha)=0 => m|a_0 ^^ n|a_n=1 => n in {+1,-1}$ . Ove la prima implicazione è conseguenza del criterio di esistenza di radici razionali.
Pertanto $\alpha = +-m in ZZ$.
Ciò mostra che se $f(X) $ è monico, se $f(X)$ ha radici razionali, allora questa è un intero.

che ve ne pare?

[Leonardo891]

"Kashaman":che ve ne pare?

Mi sembra giusto ma non riesco a capire cosa intendi con questa frase

"Kashaman":Ove la prima implicazione è conseguenza del criterio di esistenza di radici razionali.

Hai già dimostrato che \(\displaystyle \alpha \) è una radice grazie a Ruffini, no?

[Kashaman]

"Leonardo89":[quote="Kashaman"]che ve ne pare?

Mi sembra giusto ma non riesco a capire cosa intendi con questa frase

"Kashaman":Ove la prima implicazione è conseguenza del criterio di esistenza di radici razionali.

Hai già dimostrato che \(\displaystyle \alpha \) è una radice grazie a Ruffini, no?[/quote]
Esatto Leonardo. Ma il criterio di esistenza lo applico qui , quando dico
$f(\alpha)=0 => m|a_0 ^^ n|a_n$
Il teorema è questo :
Sia $f(X) = \sum_(i=0)^na_ix^i in ZZ[X]$ E sia $\alpha = r/s$ ( $r,s in ZZ $ , $(r,s)=1 , s!=0$) una sua radice . Allora
$s|a_n ^^ r|a_0$
Ruffini lo uso per dire che se $x-\alpha | f(X) $ allora $f(\alpha)=0$,

[Leonardo891]

"Kashaman":il criterio di esistenza lo applico qui , quando dico
$f(\alpha)=0 => m|a_0 ^^ n|a_n$
Il teorema è questo :
Sia $f(X) = \sum_(i=0)^na_ix^i in ZZ[X]$ E sia $\alpha = r/s$ ( $r,s in ZZ $ , $(r,s)=1 , s!=0$) una sua radice . Allora
$s|a_n ^^ r|a_0$

Capisco, va bene, non sapevo nemmeno che si chiamasse così. Pensavo avessi dimostrato quel passaggio sul momento e che lo avessi ritenuto troppo banale per includerlo nel post.

[Kashaman]

"Leonardo89":
Capisco, va bene, non sapevo nemmeno che si chiamasse così. Pensavo avessi dimostrato quel passaggio sul momento e che lo avessi ritenuto troppo banale per includerlo nel post.

Alla fine , è un po il procedimento che si insegna alle superiori alla ricerca di radici con ruffini quando si scompongo i polinomi, ricordi? Solo che qui è un po formalizzato. E' uno dei tre /quattro criteri pratici che conosco che mi permettono di decidere l'irriducibilità / scomporre un polinomio

Comunque, tanto per esser formali, lo dimostro. Tanto è sempre un buon esercizio
Teorema (Esistenza radici razionali)
Sia $f(X) = \sum_(i=0)^na_ix^i in ZZ[X]$ E sia $\alpha = r/s$ ( $r,s in ZZ $ , $(r,s)=1 , s!=0$) una sua radice . Allora
$s|a_n ^^ r|a_0$
dim
Per ipotesi, $\alpha=r/s$ con $(r,s)=1 ^^ s!=0$ e
$f(\alpha) = \sum_(i=0)^na_i\alpha^i=0$
Da cui, si ha ovviamente che
$s^n0=0=f(\alpha)=s^n\sum_(i=0)^na_i(r^i/s^i)=sum_(i=0)^na_ir^is^(n-i)= a_0s^n+sum_(i=1)^(n-1)a_ir^is^(n-i)+a_nr^n$
Ora, $s|\sum$ e tutti i termini di indice compreso tra $0$ e $n-1$ , pertanto segue che $s|a_nr^n$.
Ma poiché $(s,r)=1$ segue che $s$ non divide $r^n$. Pertanto $s|a_n$.
D'altro canto $r|\sum$ e tutti i termini di indice tra $1$ ed $n$.
Quindi $r|a_0s^n$ ma allora $r|a_0$
Ciò completa la dimostrazione.
EDIT : Per $\sum$ intendo l'intera somma.

[Kashaman]

piccolo esercizio . (non tratto dall'Herstein)
Sia $f(X)=\sum_(i=0)^n a_ix^i in Z[x]$ , con $n=deg(f)>=1$. Sia $p$ un primo tale che $p$ non divide $a_n$.
Sia $g(X) = \sum_(i=0)^n[a_i]_px^i in ZZ_p[x]$ la riduzione modulo $p$ di $f(X)$
E sia $A=(Z_p[x])/(g(X))$ (Nota : Tali anelli mi sono stati presentati in tal modo.)
Allora se $AA \alpha in A\\{0}$ $(\prod_(alpha in A^*)\alpha)^2!=0$ $=>$ $f(X)$ irriducibile in $Q[X]$

svolgimento

Consideriamo $f(X) = \sum_(i=0)^na_iX^i in Z_[x}$ tale che $n=deg(f)>=1$.
Dalle ipotesi date, poiché $p$ non divide $a_n$ segue che anche $g(X)=\sum_(i=0)[a_i]_pX^i$ ha grado $n$ come $f$.
L'anello $A$ risulta essere un anello commutativo unitario.
La condizione che $(\prod_(alpha in A^*)\alpha)^2!=0$ ci dice che non esistono
$a,b in A $ entrambi diversi da zero tali che $ab=0$. Pertanto $A$ è un integro, in particolare un campo.
Quindi si deduce che $g(x)$ è irriducibile in $ZZ_p[X]$. Pertanto, per il criterio di riduzione modulo $p$ segue che $f(X) $ è irriducibile in $Q[x]$

che ve ne pare?

[Kashaman]

Altro due esercizi. Tratti da prova d'esame.
Dato il polinomio $f(X)=x^3+x^2+x+1 in ZZ_5[X}$
a) Determinare una sua fattorizzazione
b) dire se $[x]_f$ è invertibile in $(ZZ_5[X})/( f(X))$ e in caso affermativo determinarne un suo inverso.

punto a Determino prima le radici di $f(X)$.
Noto che $f([4]_5) = [0]_5 , f([2]_5)=[0]_5 , f([3])=[0]_5$
pertanto i polinomi $x-4 = x+1 ^^ x-2=x+3 ^^ x-3=x+2 | f(X)$ in $ZZ_5[x]$ e dunque, essendo a due a due coprimi segue che $(x+1)(x+2)(x+3)|f(X) <=> f(X)=h(X)(x+1)(x+2)(x+3)$ per qualche $h(X) in ZZ_5[x]$
ora dalle formule del grado si evince che $deg(h)=0$ pertanto $h(X)$ è costante, ma allora rappresenta il coefficiente direttore di $f(X)$ . E poichè $f(X)$ è monico segue che $h(X)=1$
pertanto la fattorizzazione di $f(X)$ in $ZZ_5[X]$ risulta essere $f(X)=(x+1)(x+2)(x+3)$
b) Poiché $X$ non appartiene alla fattorizzazione di $f(X)$ segue che $x$ non divide $f(X)$ ed essendo $X$ irriducibile, segue che $(X, f(X)) =1$ e pertanto $[x]_f$ è invertibile in $(ZZ_5[X})/( f(X))$.
Poiché $x^3+x^2+x+1-=0(modf) <=> x^3+x^2+x-=4(modf) <=> 4(x^3+x^2+x)-=1(mod f) <=> $
$x(4x^2+4x+4)-=1(mod f)$

da cui si evince che $[x]_f^(-1)= [4x^2+4x+4]_f$

es due
Dato il polinomio $f(X) = X^3+X^2+X+1 in ZZ_2[x]$
E sia $A= (ZZ_2[x])/(f(X))$
a) Determinare tutti gli elementi invertibili di $A$.
b) Dire se $A$ è isomorfo all'anello prodotto diretto $ZZ_2\timesZZ_4$

Si nota facilmente che $f(X) = (x+1)^3$
infatti $(x+1)^3 = x^3+3x^2+3x+1=x^3+x^2+x+1=f(X)$
Pertanto $A$ non è integro e quindi non è un campo.
consideriamo $A = { [r(X)]| r[X] in ZZ_2[x] , r(x) = 0 vv r(x)!=0 ^^ deg(r) $={[0];[1];[x+1];[x];[x^2+x+1];[x+x^2];[1+x^2];[x^2]}$
Poiché $f(X)=(x+1)^3=(x+1)(x^2+1)-=0(mod(f(X))$
segue che $[x+1] ^^ [x^2+1]$sono zero divisori di $A$ e quindi non sono invertibili.
D'altro canto gli elementi $[1],[x],[x^2+x+1],[x+x^2],[x^2]$ sono tutti invertibili in $A$ visto che i polinomi
$1,x,x^2+x+1,x+x^2,x^2$ sono a due a due coprimi con $f(X)$.
Segue allora che
$U(A) = { [1];[x];[x^2+x+1];[x+x^2];[x^2] }$.
In particolare $|U(A)|=5$
punto b
Notiamo che gli elementi invertibili di $ZZ_2\timesZZ_4$ sono solo gli elementi $([1]_2,[1]_4) ^^ ([1]_2,[3]_4)$ e che quindi $U(ZZ_2\timesZZ_4) { ([1]_2,[1]_4) ,([1]_2,[3]_4)}$
In particolare segue che $|U(ZZ_2\timesZZ_4)|=2$
Se esiste un isomorfismo tra $ZZ_2\timesZZ_4$ e $A$ allora sussiste anche un isomorfismo di gruppi moltiplicativi tra $U(A)$ e $U(ZZ_2\timesZZ_4)$ ma ciò non è possibile, visto che hanno cardinalità diversa.
Pertanto $A$ e $ZZ_2\timesZZ_4$ non sono isomorfi.

che ve ne pare? grazie mille

[Kashaman]

Ancora , questo problema mi ha lasciato un poco perplesso.
Sia $n>1$ intero positivo. Dimostrare che il polinomio $f(X)=x^(2n)-2x^(2n-4)-2^(n-1)$ possiede un fattore irriducibile di grado due in $Q[x]$

Diciamo che devo dimostrare che esiste un $g(X) ax^2+bx^2+c in Q[x]$ irriducibile tale che $g(X)| f(X)$
..
ora guardando il polinomio, per $n=2$ ho che $f_2(X)=x^4-4=(x^2-2)(x^2+2)$ quindi ha due fattori irriducibili quadrati ...
Ora mi verrebbe da supporre che il polinomio $x^2+2$ oppure $x^2+2$ sia sempre presente nella fattorizzazione generale di $f(X)$.. ma come lo mostro se è corretto tutto ciò?
Un piccolo hint perfavore?

EDIT : Errore nella traccia, corretto

[Gi81]

Sicuro che il polinomio è proprio $x^(2n) -x^(2n-4) -2^(n-1)$?

[Kashaman]

c'era un errore nella traccia, ho corretto

[Gi81]

Direi che il fattore è $x^2-2$ (ho fatto con wolframalpha il caso $n=3$)

Intanto noterei che per ogni $alpha in RR$ si ha $f(alpha)= f(-alpha)$,
quindi se trovo una radice $alpha$ di $f$ ho che $(x^2-alpha^2)|f(x)$

E quanto fa $f(sqrt2)$?