Anelli di polinomi
Salve, questo periodo volevo rinfrescare un po' la teoria degli anelli volevo chiedervi una opinione su questi (in teoria facili, uno dei primi) esercizi sugli anelli di polinomi, che ho preso dal libro "Algebra" di Herstein.
Voi come li avreste fatti? Esistono tecniche più standard di quelle che uso? Mostro le mie soluzioni, che usano sostanzialmente sempre la stessa tecnica, che spero sia corretta. L'ultimo punto in realtà mi sembra abbia il testo sbagliato sulla mia edizione....
Dimostrare che:
(a) $x^2+x+1$ è irribucibile su $F_2$, il campo degli interi mod 2.
Sol: supponiamo che per assurdo $x^2+x+1=p(x)=(ax+b)*(cx+d) [1]$, con $a,c$ diversi da 0. Questo sarebbe possibile se il polinomio fosse riducibile. Consideriamo la funzione polinomiale: $f: F_2 \rightarrow F_2 , x \rightarrow p(x)$. L'uguaglianza tra polinomi $[1]$ implica che $f$ ha uno zero (pari a $a^{-1}b$). D'altronde $f(1)=f(0)=1$, quindi la scomposizione non è possibile.
(b) $x^2+1$ è irriducibile su $F_7$.
Sol: Analogamente a prima è condizione necessaria è che esista una soluzione al problema $x^2=-1$ in $F_7$. Questo però significa che $x^6=(x^2)^3=-1$, ma il piccolo teorema di Fermat ci dice che $x^6=1$ per ogni $x$ diverso da $0$. L'unica possibilità quindi è che $x=0$, che però non è soluzione.
(c) $x^3-9$ non è riducibile su $F_{31}$.
Sol: se fosse $x^3-9=(ax+b)(cx^2+dx+e)$, esisterebbe come al solito un $x$ t.c. $x^3=9$ modulo $31$. Ma allora per Fermat per $x$ diverso da 0 (0 non è soluzione )$1=x^30=(x^3)^{10}=9^10$. Ora un calcolo diretto che si può svolgere a mano ci porta a dire che $9^{10}=5$ modulo 31. Quindi non esistono soluzioni e il polinomio è irriducibile su $F_31$.
(d) $x^3-9$ non è riducibile su $F_{11}$.
Sol: io trovo una soluzione mi pare: $x^{3}-9=(x+4)(x^2+7x+5)$, che mostra che il polinomio è riducibile, mi pare in contraddizione con il testo?.
Volevo aggiungere un punto che mi pare di avere dimostrato cercando di risolvere il punto (d). Volevo chiedervi se è scontato (io ho dovuto fare i conti, sempre che non li abbia sbagliati). Non essendo nel libro lo propongo qui come esercizio:
(BONUS) dimostrare che il polinomio $x^3-9$ è riducibile su $F_p$ con $p$ primo se e solo se esiste un $x$ t.c. $x^3=9$ modulo $p$.
Sostanzialmente che la condizione sia necessaria è stato usato varie volte e mi sembra corretto. Il fatto che sia anche sufficiente mi pare che debba essere verificato e non credo sia vero per un generico polinomio.
Qualsiasi commento è benvenuto, vorrei solo capire se mi sto muovendo bene
.
Voi come li avreste fatti? Esistono tecniche più standard di quelle che uso? Mostro le mie soluzioni, che usano sostanzialmente sempre la stessa tecnica, che spero sia corretta. L'ultimo punto in realtà mi sembra abbia il testo sbagliato sulla mia edizione....
Dimostrare che:
(a) $x^2+x+1$ è irribucibile su $F_2$, il campo degli interi mod 2.
Sol: supponiamo che per assurdo $x^2+x+1=p(x)=(ax+b)*(cx+d) [1]$, con $a,c$ diversi da 0. Questo sarebbe possibile se il polinomio fosse riducibile. Consideriamo la funzione polinomiale: $f: F_2 \rightarrow F_2 , x \rightarrow p(x)$. L'uguaglianza tra polinomi $[1]$ implica che $f$ ha uno zero (pari a $a^{-1}b$). D'altronde $f(1)=f(0)=1$, quindi la scomposizione non è possibile.
(b) $x^2+1$ è irriducibile su $F_7$.
Sol: Analogamente a prima è condizione necessaria è che esista una soluzione al problema $x^2=-1$ in $F_7$. Questo però significa che $x^6=(x^2)^3=-1$, ma il piccolo teorema di Fermat ci dice che $x^6=1$ per ogni $x$ diverso da $0$. L'unica possibilità quindi è che $x=0$, che però non è soluzione.
(c) $x^3-9$ non è riducibile su $F_{31}$.
Sol: se fosse $x^3-9=(ax+b)(cx^2+dx+e)$, esisterebbe come al solito un $x$ t.c. $x^3=9$ modulo $31$. Ma allora per Fermat per $x$ diverso da 0 (0 non è soluzione )$1=x^30=(x^3)^{10}=9^10$. Ora un calcolo diretto che si può svolgere a mano ci porta a dire che $9^{10}=5$ modulo 31. Quindi non esistono soluzioni e il polinomio è irriducibile su $F_31$.
(d) $x^3-9$ non è riducibile su $F_{11}$.
Sol: io trovo una soluzione mi pare: $x^{3}-9=(x+4)(x^2+7x+5)$, che mostra che il polinomio è riducibile, mi pare in contraddizione con il testo?.
Volevo aggiungere un punto che mi pare di avere dimostrato cercando di risolvere il punto (d). Volevo chiedervi se è scontato (io ho dovuto fare i conti, sempre che non li abbia sbagliati). Non essendo nel libro lo propongo qui come esercizio:
(BONUS) dimostrare che il polinomio $x^3-9$ è riducibile su $F_p$ con $p$ primo se e solo se esiste un $x$ t.c. $x^3=9$ modulo $p$.
Sostanzialmente che la condizione sia necessaria è stato usato varie volte e mi sembra corretto. Il fatto che sia anche sufficiente mi pare che debba essere verificato e non credo sia vero per un generico polinomio.
Qualsiasi commento è benvenuto, vorrei solo capire se mi sto muovendo bene
.
Risposte
Ho letto solo il primo esercizio: un pò lungo ma dovrebbe essere corretto!
Perfetto, grazie mille j18eos!
In ogni caso il bonus mi sono accorto essere banale, in quanto dovrebbe vale il fatto più generale:
Prop. Sia $p(x)$ polinomio. Se esiste una radice $a$ di p (ovvero t.c. $p(a)=0$), allora il polinomio è riducibile.
Il fatto è una conseguenza dell'algoritmo di divisione (e al liceo quanto si studiano i polinomi su campo reale, si chiama teorema di Ruffini mi sembra). Per i polinomi di terzo grado al più la condizione di avere uno zero è anche necessaria per la riducibilità.
In ogni caso il bonus mi sono accorto essere banale, in quanto dovrebbe vale il fatto più generale:
Prop. Sia $p(x)$ polinomio. Se esiste una radice $a$ di p (ovvero t.c. $p(a)=0$), allora il polinomio è riducibile.
Il fatto è una conseguenza dell'algoritmo di divisione (e al liceo quanto si studiano i polinomi su campo reale, si chiama teorema di Ruffini mi sembra). Per i polinomi di terzo grado al più la condizione di avere uno zero è anche necessaria per la riducibilità.
Ti rispondendo col conta goccie... 
Punto b: bella soluzione col trucco!
Punto b: bella soluzione col trucco!
Grazie mille!.... don't worry, non ho particolare fretta.. 
Esercizio 3: mi fido della tua capacità di svolgere i calcoli!
Si lì ce ne stanno un pò, anche se si fanno abbastanza in fretta senza calcolatrice 
.. Fammi sapere se ti vengono in mente dimostrazioni alternative... il libro non fa alcun esempio su questo quindi non conosco quali siano i metodi standard di soluzione...
.. Fammi sapere se ti vengono in mente dimostrazioni alternative... il libro non fa alcun esempio su questo quindi non conosco quali siano i metodi standard di soluzione...
Ho lasciato l'Herstein a Trieste... non so se sai che un polinomio \(\displaystyle p\) a coefficienti in un dominio di integrità \(\displaystyle D\) è riducibile se (e non solo se) ammette almeno una radice in \(\displaystyle D\); questa proprietà ti da un'altra soluzione per l'esercizio \(\displaystyle 1\).
Ancora, c'è un teorema che afferma: \(\displaystyle -1\) è un quadrato in un campo finito di ordine primo \(\displaystyle p\) se e solo se \(\displaystyle p\equiv1(\mod 4)\) (se non ricordo male!) e questo ti aiuta per l'esercizio \(\displaystyle 2\).
Ancora, c'è un teorema che afferma: \(\displaystyle -1\) è un quadrato in un campo finito di ordine primo \(\displaystyle p\) se e solo se \(\displaystyle p\equiv1(\mod 4)\) (se non ricordo male!) e questo ti aiuta per l'esercizio \(\displaystyle 2\).
"j18eos":
Ho lasciato l'Herstein a Trieste... non so se sai che un polinomio \( \displaystyle p \) a coefficienti in un dominio di integrità \( \displaystyle D \) è riducibile se (e non solo se) ammette almeno una radice in \( \displaystyle D \); questa proprietà ti da un'altra soluzione per l'esercizio \( \displaystyle 1 \).
Yes me ne sono accorto (vedi post sopra in cui cito Ruffini). Ma non ho capito come possa dare una soluzione diversa al punto 1...
"j18eos":
Ancora, c'è un teorema che afferma: \( \displaystyle -1 \) è un quadrato in un campo finito di ordine primo \( \displaystyle p \) se e solo se \( \displaystyle p\equiv1(\mod 4) \) (se non ricordo male!) e questo ti aiuta per l'esercizio \( \displaystyle 2 \).
ottimo! Si conosco il teorema... in realtà l'Herstein mi sembra mostri solo una freccia di questa proprietà... (ma i simboli di Legendre confermano quanto dici
)... grazie cmq per il suggerimento!!!
Esercizio 1: Basta notare che \(\displaystyle x^2+x\) è il polinomio fondamentale di \(\displaystyle\mathbb{F}_2\) e...
Esercizio 4: Stai affermando che \(\displaystyle(-4)^3-9\equiv0(\mod11)\) ma a me risulta (via calcolatrice) che \(\displaystyle(-4)^3\equiv2(\mod11)\) e quindi hai sbagliato tu qualcosa...
Esercizio 4: Stai affermando che \(\displaystyle(-4)^3-9\equiv0(\mod11)\) ma a me risulta (via calcolatrice) che \(\displaystyle(-4)^3\equiv2(\mod11)\) e quindi hai sbagliato tu qualcosa...
Nel (d) hai scomposto $x^3+9$ e non $x^3-9$, ecco perché compare quella radice
Perfetto avete ragione ho sbagliato io il conto grazie mille! 
"j18eos":
Esercizio 1: Basta notare che \(\displaystyle x^2+x\) è il polinomio fondamentale di \(\displaystyle\mathbb{F}_2\) e...
e che sommando $1$ al polinomio fondamentale si ottiene qualcosa che non ha radici?
Sì, esatto!
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