Ancora sui campi (l'insieme dei campi)
Avevo sentito qualche tempo fa che l'"insieme" dei campi non è in realtà un insieme, sapete come si può dimostrare?
Risposte
"otta96":che vuoi dire? Come definisci un oggetto "non insieme"? Ingenuamente ti basta un campo che insieme non è, o dimostrare una equivalenza tra un campo ed una classe propria (penso ai surreali ad esempio) per concludere che l insieme dei campi insieme non è, tuttavia dire "insieme dei campi" è mooolto impreciso se poi alla fine "insieme" non è.... meglio se chiarisci l assiomatica/universo dove ti poni.
Avevo sentito qualche tempo fa che l'"insieme" dei campi non è in realtà un insieme, sapete come si può dimostrare?
E' implicito tu ti riferisca alla definizione di campo che si dà nella teoria assiomatica degli insiemi di Godel-Bernays-Von Neumann (click).
Per dimostrare che la classe dei campi è una classe propria basta dimostrare che dato un cardinale $\alpha$ esiste un campo che ha cardinalità maggiore di $\alpha$; fatto questo, siccome la classe dei cardinali è una classe propria, e una classe \(\mathfrak K\) è un insieme se e solo se esiste una iniezione \(\mathfrak K \hookrightarrow \alpha\) per un cardinale $\alpha$, deve essere una classe propria anche quella dei campi.
Se $\alpha$ è finito o numerabile, basta prendere $\mathbb R$, e questa osservazione motiva il fatto che si può prendere \(|I| \ge 2^{\aleph_0}\) nel seguente
Lemma. Sia $I$ un insieme, $K$ un campo, e $K(I)$ il campo dei quozienti dell'anello dei polinomi in $|I|$ variabili \(\{X_i\}_{i\in I}\). Allora
\[
|K(I)| = \max\{|K|, |I|\}
\] In particolare, prendendo $K$ finito o numerabile, $|K(I)|=|I|$.
La dimostrazione di tale fatto è immediata:
\[
|K(I)| = \left| \bigoplus_{i\in I} K \right| = |K|\cdot |I| = \max\{|K|, |I|\}
\] (vedi qui per l'ultima uguaglianza).
Ora, dato $\alpha \ge 2^{\aleph_0}$, è sufficiente prendere $K=\mathbb R$ e $I=2^\alpha$ per concludere che $K(I)$ ha cardinalità più grande di $\alpha$.
Per dimostrare che la classe dei campi è una classe propria basta dimostrare che dato un cardinale $\alpha$ esiste un campo che ha cardinalità maggiore di $\alpha$; fatto questo, siccome la classe dei cardinali è una classe propria, e una classe \(\mathfrak K\) è un insieme se e solo se esiste una iniezione \(\mathfrak K \hookrightarrow \alpha\) per un cardinale $\alpha$, deve essere una classe propria anche quella dei campi.
Se $\alpha$ è finito o numerabile, basta prendere $\mathbb R$, e questa osservazione motiva il fatto che si può prendere \(|I| \ge 2^{\aleph_0}\) nel seguente
Lemma. Sia $I$ un insieme, $K$ un campo, e $K(I)$ il campo dei quozienti dell'anello dei polinomi in $|I|$ variabili \(\{X_i\}_{i\in I}\). Allora
\[
|K(I)| = \max\{|K|, |I|\}
\] In particolare, prendendo $K$ finito o numerabile, $|K(I)|=|I|$.
La dimostrazione di tale fatto è immediata:
\[
|K(I)| = \left| \bigoplus_{i\in I} K \right| = |K|\cdot |I| = \max\{|K|, |I|\}
\] (vedi qui per l'ultima uguaglianza).
Ora, dato $\alpha \ge 2^{\aleph_0}$, è sufficiente prendere $K=\mathbb R$ e $I=2^\alpha$ per concludere che $K(I)$ ha cardinalità più grande di $\alpha$.
"killing_buddha":
E' implicito tu ti riferisca alla definizione di campo che si dà nella teoria assiomatica degli insiemi di Godel-Bernays-Von Neumann (click).
Diciamo di si.
Per dimostrare che la classe dei campi è una classe propria basta dimostrare che dato un cardinale $ \alpha $ esiste un campo che ha cardinalità maggiore di $ \alpha $; fatto questo, siccome la classe dei cardinali è una classe propria, e una classe \( \mathfrak K \) è un insieme se e solo se esiste una iniezione \( \mathfrak K \hookrightarrow \alpha \) per un cardinale $ \alpha $, deve essere una classe propria anche quella dei campi.
Mi torna.
Se $ \alpha $ è finito o numerabile, basta prendere $ \mathbb R $, e questa osservazione motiva il fatto che si può prendere \( |I| \ge 2^{\aleph_0} \) nel seguente
Lemma. Sia $ I $ un insieme, $ K $ un campo, e $ K(I) $ il campo dei quozienti dell'anello dei polinomi in $ |I| $ variabili \( \{X_i\}_{i\in I} \). Allora \[ |K(I)| = \max\{|K|, |I|\} \] In particolare, prendendo $ K $ finito o numerabile, $ |K(I)|=|I| $.
Cos'è il campo dei quozienti dell'anello dei polinomi (etc etc)? Cioè, l'anello ho capito qual è, ma che cosa si fa, si prendono tutti i quozienti possibili??? E la struttura di anello come gli si dà?
La dimostrazione di tale fatto è immediata:
\[ |K(I)| = \left| \bigoplus_{i\in I} K \right| = |K|\cdot |I| = \max\{|K|, |I|\} \] (vedi qui per l'ultima uguaglianza).
Ora, dato $ \alpha \ge 2^{\aleph_0} $, è sufficiente prendere $ K=\mathbb R $ e $ I=2^\alpha $ per concludere che $ K(I) $ ha cardinalità più grande di $ \alpha $.
Questa non l'ho capita per il dubbio di prima, inoltre il + con una circonferenza intorno non so cosa sia, mentre l'ultimo passaggio invece l'ho capito.
"otta96":
Se $ \alpha $ è finito o numerabile, basta prendere $ \mathbb R $, e questa osservazione motiva il fatto che si può prendere \( |I| \ge 2^{\aleph_0} \) nel seguente
Lemma. Sia $ I $ un insieme, $ K $ un campo, e $ K(I) $ il campo dei quozienti dell'anello dei polinomi in $ |I| $ variabili \( \{X_i\}_{i\in I} \). Allora \[ |K(I)| = \max\{|K|, |I|\} \] In particolare, prendendo $ K $ finito o numerabile, $ |K(I)|=|I| $.
Cos'è il campo dei quozienti dell'anello dei polinomi (etc etc)? Cioè, l'anello ho capito qual è, ma che cosa si fa, si prendono tutti i quozienti possibili??? E la struttura di anello come gli si dà?
E' una costruzione classica; nomina un libro di algebra astratta abbastanza completo che hai sottomano e ti dico dove si trova: le referenze classiche (quelle che ho sul tavolo io) sono Lang, Serge. "Algebra revised third edition.", II.§4, p. 110 e Grillet, Pierre Antoine. "Abstract algebra", p. 118, Prop. 4.10, poco prima della quale scrive esplicitamente la struttura di anello sul campo dei quozienti di un dominio di integrità $R$.
[quote]La dimostrazione di tale fatto è immediata:
\[ |K(I)| = \left| \bigoplus_{i\in I} K \right| = |K|\cdot |I| = \max\{|K|, |I|\} \] (vedi qui per l'ultima uguaglianza).
Ora, dato $ \alpha \ge 2^{\aleph_0} $, è sufficiente prendere $ K=\mathbb R $ e $ I=2^\alpha $ per concludere che $ K(I) $ ha cardinalità più grande di $ \alpha $.
il + con una circonferenza intorno non so cosa sia[/quote]
$\oplus$ indica la somma diretta di $K$-moduli.
Ti posso dire l'Artin e l'Herstein, possono andare bene?
Ma è lungo da spiegare? In alternativa, non c'è su Wikipedia?
Ma è lungo da spiegare? In alternativa, non c'è su Wikipedia?
"otta96":
Ti posso dire l'Artin e l'Herstein, possono andare bene?
Ma è lungo da spiegare? In alternativa, non c'è su Wikipedia?
Ovviamente c'è su wikipedia, che domande.
(Se ti interessa, e se l'Algebra di Artin ce l'hai in inglese: la costruzione del campo dei quozienti viene fatta nel capitolo 10, alla sezione 6. E l'Herstein buttalo.)
Ahhhhh, forse intendi ciò che io conosco (anche se non benissimo) sotto il nome di campo delle frazioni! Ecco perché non avevo capito subito! Ora rileggo i messaggi precedenti e ti faccio sapere se mi torna.
L'ultima cosa che non ho capito sono i primi 2 passaggi della dimostrazione del lemma, come funzionano?
Scusa, quando hai tempo potresti gentilmente spiegarmi i primi 2 passaggi della dimostrazione?
Rileggendolo mi rendo conto di essere stato impreciso, nel senso che mancano un po' di pezzi a rendere la dimostrazione vera e propria. Te lo riscrivo meglio
Ora, (1) è vera perché $K(I)$ è definito come un quoziente delle coppie \(K\times (K \setminus \{0\})\), ed è in principio solo una disuguaglianza; il motivo per cui \(|K|=|\oplus_I K|\) è evidente per come è definito l'anello dei polinomi; (2) è vera perché quando $X$ è un insieme infinito $|X^2|=|X|$; (3) è vera perché in una categoria di moduli la somma diretta è contenuta nel prodotto diretto, e per il prodotto $\prod_I K$ vale ovviamente che $|\prod_I K|=|I|\cdot |K|$.
Dovresti dimostrare anche che \(\max\{|K|, |I|\}\le |K(I)|\), del resto questo è evidente (esiste una funzione iniettiva $I \to K(I)$ che manda $i$ nella variabile $X_i$).
\[
|K(I)| \overset{(1)}\le
\left| \left(\bigoplus_{i\in I} K\right)\times \left(\bigoplus_{i\in I} K\right) \right| \overset{(2)}=
\left| \bigoplus_{i\in I} K \right| \overset{(3)}\le
|K|\cdot |I| \overset{(4)}=
\max\{|K|, |I|\}
\]
Ora, (1) è vera perché $K(I)$ è definito come un quoziente delle coppie \(K\times (K \setminus \{0\})\), ed è in principio solo una disuguaglianza; il motivo per cui \(|K|=|\oplus_I K|\) è evidente per come è definito l'anello dei polinomi; (2) è vera perché quando $X$ è un insieme infinito $|X^2|=|X|$; (3) è vera perché in una categoria di moduli la somma diretta è contenuta nel prodotto diretto, e per il prodotto $\prod_I K$ vale ovviamente che $|\prod_I K|=|I|\cdot |K|$.
Dovresti dimostrare anche che \(\max\{|K|, |I|\}\le |K(I)|\), del resto questo è evidente (esiste una funzione iniettiva $I \to K(I)$ che manda $i$ nella variabile $X_i$).
Diciamo che ora ho capito, grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo